有限域有限域的结构有限域特征.ppt
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1、第二章第二章 有有 限限 域域 结结 构构1n有限域的特征有限域的特征特征的含特征的含义义无零因子含幺无零因子含幺环环的特征的特征:0 或者素数或者素数素域:素域:Q 和和 Z/(p)=0,1,p 1定理定理 设设F 是域是域,P 是是 F 的素域的素域.n若若char F=p,则则 P Z/(p).n若若char F=0,则则 P Q.有限域的特征是素数有限域的特征是素数无限域的特征一定是无限域的特征一定是 0 吗吗?2n有限域的元素个数有限域的元素个数n特征特征为为 p的有限域的有限域F 都是都是Fp上的有限(上的有限(维维数)数)扩张扩张。|F|=pn,n=F:Fp.n任意任意给定素数定
2、素数 p和正整数和正整数n,是否一定存在是否一定存在 pn元有限域?元有限域?n如何构造有限域?如何构造有限域?3n有限域的存在性与唯一性有限域的存在性与唯一性n存在性存在性定理定理 对对每个素数每个素数 p和每个整数和每个整数n,存在存在 pn元有限域元有限域.证证明明nq=pn,F是是xq x在在Fp上的分裂域上的分裂域.nS=a F|aq a=0nS=F.4n唯一性唯一性定理定理 设设F 是是q=pn元有限域元有限域,则则 F 是同构于是同构于xq x在在Fp上的上的分裂域分裂域.q元有限域元有限域记为记为FqCharacterization of Finite Fields5n子域的存
3、在唯一性子域的存在唯一性定定理理 设设q=pn,若若E是是Fq的的子子域域,则则|E|=pm,其其中中m是是n的的正正因因子子;反反之之,若若m是是n的的正正因因子子,则则Fq 有有唯唯一一的的 pm元子域。元子域。例:例:F230的全体子域的全体子域6n设 f(x)是是Fp上的上的 n次不可次不可约多多项式式nFpx中的同余关系中的同余关系a(x)b(x)mod f(x)f(x)|a(x)b(x)over Fpn任意任意给定的定的g(x)Fpx与与Fpx中某个次数小于中某个次数小于n的多的多项式式(包括(包括0)同余)同余g(x)=f(x)q(x)+r(x),r(x)=0 或或deg(r(x
4、)n g(x)r(x)mod f(x)nFpx模模 f(x)的全体两两不同余的代表元的全体两两不同余的代表元为r(x)Fpx|r(x)=0 或或deg(r(x)n pn7n设 f(x)是是Fp上的上的n次不可次不可约多多项式式nF=r(x)Fpx|r(x)=0 或或deg(r(x)n n多多项式的加式的加:g(x)+h(x)n模模 f(x)的乘法的乘法:g(x)h(x)(mod f(x)n是否域?是否域?F关于加法构成群关于加法构成群F0关于乘法构成群关于乘法构成群F是是 pn元有限域元有限域Fpx/(f(x)F 8n16元有限域元有限域F24nf(x)=x4+x+1是是F2上的不可上的不可约
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- 有限 结构 特征
限制150内