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1、反比例函数一、选择题1(2016黑龙江大庆)已知 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是反比例函数 y=上的三点,若 x1x2x3,y2y1y3,则下列关系式不正确的是( )Ax1x20 Bx1x30 Cx2x30 Dx1+x20【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】根据反比例函数 y=和 x1x2x3,y2y1y3,可得点 A,B 在第三象限,点 C在第一象限,得出 x1x20x3,再选择即可【解答】解:反比例函数 y=中,20,在每一象限内,y 随 x 的增大而减小,x1x2x3,y2y1y3,点 A,B 在第三象限,点 C 在第一象限,x1x20x3,x1x20,故
2、选 A【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性,本题是逆用,难度有点大2(2016湖北十堰)如图,将边长为 10 的正三角形 OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中,C 是 AB 边上的动点(不与端点 A,B 重合),作 CDOB 于点 D,若点 C,D 都在双曲线 y=上(k0,x0),则 k 的值为( )A25B18C9D9【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;平行线的性质;等边三角形的性质【分析】过点 A 作 AEOB 于点 E,根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点A、B、E 的坐标,再由 CDOB,AEOB 可找出 CDAE,即得出
3、,令该比例=n,根据比例关系找出点 D、C 的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 k、n 的二元一次方程组,解方程组即可得出结论【解答】解:过点 A 作 AEOB 于点 E,如图所示OAB 为边长为 10 的正三角形,点 A 的坐标为(10,0)、点 B 的坐标为(5,5),点 E 的坐标为(,)CDOB,AEOB,CDAE,设=n(0n1),点 D 的坐标为(,),点 C 的坐标为(5+5n,55n)点 C、D 均在反比例函数 y=图象上,解得:故选 C【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及等边三角形的性质,解题的关键是找出点 D、C 的坐标本题属于
4、中档题,稍显繁琐,解决该题型题目时,巧妙的借助了比例来表示点的坐标,根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键3. (2016新疆 )已知 A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数 y=(k0)图象上的两个点,当 x1x20 时,y1y2,那么一次函数 y=kxk 的图象不经过( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;一次函数图象与系数的关系【分析】首先根据 x1x20 时,y1y2,确定反比例函数 y=(k0)中 k 的符号,然后再确定一次函数 y=kxk 的图象所在象限【解答】解:当 x1x20 时,y1y2,k0,k0,一次函数
5、 y=kxk 的图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限,故选:B【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系,解决此题的关键是确定 k 的符号4. (2016云南 )位于第一象限的点 E 在反比例函数 y=的图象上,点 F 在 x 轴的正半轴上,O 是坐标原点若 EO=EF,EOF 的面积等于 2,则 k=( )A4 B2 C1 D2【考点】反比例函数系数 k 的几何意义【分析】此题应先由三角形的面积公式,再求解 k 即可【解答】解:因为位于第一象限的点 E 在反比例函数 y=的图象上,点 F 在 x 轴的正半轴上,O 是坐标原点若 EO=EF,EOF 的面
6、积等于 2,所以,解得:xy=2,所以:k=2,故选:B【点评】主要考查了反比例函数系数 k 的几何意义问题,关键是由三角形的面积公式,再求解 k5. (2016四川达州3 分)下列说法中不正确的是( )A函数 y=2x 的图象经过原点B函数 y=的图象位于第一、三象限C函数 y=3x1 的图象不经过第二象限D函数 y=的值随 x 的值的增大而增大【考点】正比例函数的性质;一次函数的性质;反比例函数的性质【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案【解答】解:A、函数 y=2x 的图象经过原点,正确,不合题意;B、函数 y=的图象位于第一、三象限,正确,不合题意;C、函数 y=3
7、x1 的图象不经过第二象限,正确,不合题意;D、函数 y=的值,在每个象限内,y 随 x 的值的增大而增大,故错误,符合题意故选:D6. (2016四川乐山3 分)如图 5,在反比例函数的图象上有一动点,连接2yx A并延长交图象的另一支于点,在第一象限内有一点,满足,当点AOBCACBC运动时,点始终在函数的ACkyx图象上运动,若,则的值为tan2CABk( )A2( )B4( )C6()D8答案:D解析:连结 CO,由双曲线关于原点对称,知 AOBO,又 CACB,所以,COAB,因为,所以,2tan2CABCO AO作 AEx 轴,CDx 轴于 E、D 点。则有OCDOEA,所以,AE
8、OEAO ODCDOC1 2图 5yxBOCA设 C(m,n) ,则有 A() ,11,22nm所以, knm12 12 2m n 解得:k87. (2016四川凉山州4 分)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,则反比例函数与一次函数 y=bxc 在同一坐标系内的图象大致是( )ABCD【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象;二次函数的图象【分析】根据二次函数的图象找出 a、b、c 的正负,再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论【解答】解:观察二次函数图象可知:开口向上,a0;对称轴大于 0,0,b0;二次函数图象与 y 轴交点在 y 轴的正半轴,c0反比例函数
9、中 k=a0,反比例函数图象在第二、四象限内;一次函数 y=bxc 中,b0,c0,一次函数图象经过第二、三、四象限故选 C8. (2016,湖北宜昌 ,15,3 分) 函数 y=的图象可能是( )A B C D【考点】反比例函数的图象【分析】函数 y=是反比例 y=的图象向左移动一个单位,根据反比例函数的图象特点判断即可【解答】解:函数 y=是反比例 y=的图象向左移动一个单位,即函数 y=是图象是反比例 y=的图象双曲线向左移动一个单位故选 C【点评】此题是反比例函数的图象,主要考查了反比例函数的图象是双曲线,掌握函数图象的平移是解本题的关键9. (2016 吉林长春,8,3 分)如图,在
10、平面直角坐标系中,点 P(1,4)、Q(m,n)在函数 y=(x0)的图象上,当 m1 时,过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足为点A,B;过点 Q 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足为点 C、DQD 交 PA 于点 E,随着 m 的增大,四边形 ACQE 的面积( )A减小 B增大 C先减小后增大 D先增大后减小【考点】反比例函数系数 k 的几何意义【分析】首先利用 m 和 n 表示出 AC 和 AQ 的长,则四边形 ACQE 的面积即可利用 m、n表示,然后根据函数的性质判断【解答】解:AC=m1,CQ=n,则 S四边形 ACQE=ACCQ=(m1)n=mnnP(1,4)、Q(m,
11、n)在函数 y=(x0)的图象上,mn=k=4(常数)S四边形 ACQE=ACCQ=4n,当 m1 时,n 随 m 的增大而减小,S四边形 ACQE=4n 随 m 的增大而增大故选 B【点评】本题考查了二次函数的性质以及矩形的面积的计算,利用 n 表示出四边形 ACQE的面积是关键10. (2016 兰州,2,4 分)反比例函数的图像在() 。(A)第一、二象限(B)第一、三象限(C)第二、三象限(D)第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数 的图象受到的影响,当 k 大于 0 时,图象位于第一、三象限,当 k 小于 0 时,图象位于第二、四象限,本题中 k 2 大于 0,图象位于第一、三象限
12、,所以答案选 B。【考点】反比例函数的系数 k 与图象的关系【考点】:反比例函数的性质 11.(2016广东广州)一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以 80 千米小时的平均速度用了 4 小时到达乙地。当他按照原路返回时,汽车的速度 v 千米小时与时间 t 小时的函数关系是( )A、v=320t B、 C、v=20t D、v 320 tv 20 t难易 较易考点 反比例函数,行程问题解析 由路程速度时间,可以得出甲乙两地的距离为 320 千米,返程时路程不变,由路程速度时间,得 速度路程时间,所以v 320 t参考答案 B12.(2016广西贺州)抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则一次
13、函数 y=ax+b 与反比例函数 y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )A B C D【考点】二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象【专题】压轴题【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定 a0,b0,c0,根据一次函数和反比例函数的性质确定答案【解答】解:由抛物线可知,a0,b0,c0,一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限,反比例函数 y=的图象在第二、四象限,故选:B【点评】本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系,掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键13(2016江苏连云港)姜老师给出一个函数表达式,甲、乙、丙三位同学分别正
14、确指出了这个函数的一个性质甲:函数图象经过第一象限;乙:函数图象经过第三象限;丙:在每一个象限内,y 值随 x 值的增大而减小根据他们的描述,姜老师给出的这个函数表达式可能是( )Ay=3xBCDy=x2【分析】可以分别写出选项中各个函数图象的特点,与题目描述相符的即为正确的,不符的就是错误的,本题得以解决【解答】解:y=3x 的图象经过一三象限过原点的直线,y 随 x 的增大而增大,故选项 A 错误;的图象在一、三象限,在每个象限内 y 随 x 的增大而减小,故选项 B 正确;的图象在二、四象限,故选项 C 错误;y=x2的图象是顶点在原点开口向上的抛物线,在一、二象限,故选项 D 错误;故
15、选 B【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、二次函数的性质,解题的关键是明确它们各自图象的特点和性质14 (2016江苏苏州)已知点 A(2,y1) 、B(4,y2)都在反比例函数y=(k0)的图象上,则y1、y2的大小关系为( )Ay1y2By1y2Cy1=y2D无法确定【考点 】反比例函数图象上点的坐标特征【分析 】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案【解答 】解: 点 A(2,y1) 、B(4,y2)都在反比例函数y=(k0)的图象上,每个象限内, y 随 x 的增大而增大,y1y2,故选: B15(2016辽宁沈阳)如图,在平面直角坐标系中,点 P 是反比例函数 y=(
16、x0)图象上的一点,分别过点 P 作 PAx 轴于点 A,PBy 轴于点 B若四边形 OAPB 的面积为3,则 k 的值为( )A3 B3 C D【考点】反比例函数系数 k 的几何意义【分析】因为过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积 S 是个定值,即S=|k|再由函数图象所在的象限确定 k 的值即可【解答】解:点 P 是反比例函数 y=(x0)图象上的一点,分别过点 P 作 PAx 轴于点 A,PBy 轴于点 B若四边形 OAPB 的面积为 3,矩形 OAPB 的面积 S=|k|=3,解得 k=3又反比例函数的图象在第一象限,k=3故选 A【点评】本题主要考查了反比例函数 y
17、=中 k 的几何意义,即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解 k 的几何意义二、填空题1 (2016湖北鄂州)如图,已知直线 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点,与 y=bxky1的图像相交于 A(2,m) 、B(1,n)两点,连接 OA、OB. 给出下列结论: k-xk21k20时,图像分别位于第一、三象限,每一个象限内,从左往右,y 随 x 的增大而减小;当 k (填“”或“=”或“m-3,从而比较 y 的大小解答:在反比函数中,mm-3,所以 1y2y14(2016上海)函数 y=的定
18、义域是 x2 【考点】函数自变量的取值范围【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案【解答】解:函数 y=的定义域是:x2故答案为:x2【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围,正确把握相关性质是解题关键15(2016上海)已知反比例函数 y=(k0),如果在这个函数图象所在的每一个象限内,y 的值随着 x 的值增大而减小,那么 k 的取值范围是 k0 【考点】反比例函数的性质【分析】直接利用当 k0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一象限内 y 随 x的增大而减小;当 k0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而增大,进而得出答案【解答】解:反比例函数
19、 y=(k0),如果在这个函数图象所在的每一个象限内,y 的值随着 x 的值增大而减小,k 的取值范围是:k0故答案为:k0【点评】此题主要考查了反比例函数的性质,正确记忆增减性是解题关键16 (2016江苏无锡)若点 A(1,3) ,B(m,3)在同一反比例函数的图象上,则 m 的值为 1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】由 A、B 点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 m 的一元一次方程,解方程即可得出结论【解答】解:点 A(1,3) ,B(m,3)在同一反比例函数的图象上,1(3)=3m,解得:m=1故答案为:117(2016江苏省扬州如图,点 A 在函数 y
20、=(x0)的图象上,且 OA=4,过点 A 作ABx 轴于点 B,则ABO 的周长为 2+4 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】由点 A 在反比例函数的图象上,设出点 A 的坐标,结合勾股定理可以表现出OA2=AB2+OB2,再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出 ABOB 的值,根据配方法求出(AB+OB)2,由此即可得出 AB+OB 的值,结合三角形的周长公式即可得出结论【解答】解:点 A 在函数 y=(x0)的图象上,设点 A 的坐标为(n, ) (n0) 在 RtABO 中,ABO=90,OA=4,OA2=AB2+OB2,又ABOB=n=4,(AB+OB)2=AB2+OB2
21、+2ABOB=42+24=24,AB+OB=2,或 AB+OB=2(舍去) CABO=AB+OB+OA=2+4故答案为:2+418(2016呼和浩特)已知函数 y=,当自变量的取值为1x0 或 x2,函数值 y的取值 y1 或y0 【考点】反比例函数的性质【分析】画出图形,先计算当 x=1 和 x=2 时的对应点的坐标,并描出这两点,根据图象写出 y 的取值【解答】解:当 x=1 时,y=1,当 x=2 时,y=,由图象得:当1x0 时,y1,当 x2 时,y0,故答案为:y1 或y019(2016 大连,10,3 分)若反比例函数 y=的图象经过点(1,6),则 k 的值为 【考点】反比例函
22、数图象上点的坐标特征【分析】直接把点(1,6)代入反比例函数 y=,求出 k 的值即可【解答】解:反比例函数 y=的图象经过点(1,6),k=1(6)=6故答案为:6【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键三、解答题1(2016黑龙江大庆)如图,P1、P2是反比例函数 y=(k0)在第一象限图象上的两点,点 A1的坐标为(4,0)若P1OA1与P2A1A2均为等腰直角三角形,其中点 P1、P2为直角顶点(1)求反比例函数的解析式(2)求 P2的坐标根据图象直接写出在第一象限内当 x 满足什么条件时,经过点 P1、P2
23、的一次函数的函数值大于反比例函数 y=的函数值【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;等腰直角三角形【分析】(1)先根据点 A1的坐标为(4,0),P1OA1为等腰直角三角形,求得 P1的坐标,再代入反比例函数求解;(2)先根据P2A1A2为等腰直角三角形,将 P2的坐标设为(4+a,a),并代入反比例函数求得 a 的值,得到 P2的坐标;再根据 P1的横坐标和 P2的横坐标,判断 x 的取值范围【解答】解:(1)过点 P1作 P1Bx 轴,垂足为 B点 A1的坐标为(4,0),P1OA1为等腰直角三角形OB=2,P1B=OA1=2P1的坐标为(2,2)将 P1的坐标代入反比例函数 y=(k0
24、),得 k=22=4反比例函数的解析式为(2)过点 P2作 P2Cx 轴,垂足为 CP2A1A2为等腰直角三角形P2C=A1C设 P2C=A1C=a,则 P2的坐标为(4+a,a)将 P2的坐标代入反比例函数的解析式为,得a=,解得 a1=,a2=(舍去)P2的坐标为(,)在第一象限内,当 2x2+时,一次函数的函数值大于反比例函数的值【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点 P1和 P2的坐标等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具备等腰三角形和直角三角形的所有性质2. (2016湖北黄冈)(满分 8 分)如图,已知点 A(1, a)是
25、反比例函数 y= -的图像上x3一点,直线 y= -x+与反比例函数 y= -的图像在第四象限的交点为 B.21 21 x3(1)求直线 AB 的解析式;(2)动点 P(x, o)在 x 轴的正半轴上运动,当线段 PA 与线段 PB 之差达到最大时,求点 P 的坐标.(第 2 题)【考点】反比例函数,一次函数,最值问题.【分析】(1)因为点 A(1, a)是反比例函数 y= -的图像上一点,把 A(1, a)代入 y=x3中, 求出 a 的值,即得点 A 的坐标;又因为直线 y= -x+与反比例函数 y= -的图x3 21 21 x3像在第四象限的交点为 B,可求出点 B 的坐标;设直线 AB
26、 的解析式为 y=kx+b,将 A,B 的坐标代入即可求出直线 AB 的解析式;(2) 当两点位于直线的同侧时,直接连接两点并延长与直线相交,则两线段的差的绝对值最大。连接 A,B,并延长与 x 轴交于点 P,即当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时,PAPB最大.【解答】解:(1)把 A(1, a)代入 y=中,得 a=3. 1 分x3A(1, 3). .2 分又B,D 是 y= x+与 y=的两个交点,3 分21 21 x3B(3, 1). .4 分设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,由 A(1, 3),B(3, 1),解得 k=1,b=4.5 分直线 AB 的解析式为 y=x4.
27、.6 分(2)当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时,PAPB最大7 分由 y=0, 得 x=4,P(4, 0). .8 分3. (2016湖北咸宁)(本题满分 8 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y=2x 与反比例函数 y=在第一象限内的图像交于点 A(m,2) ,将直线 y=2x 向下平移后与反比例函数xky=在第一象限内的图像交于点 P,且POA 的面积为 2.xk(1)求 k 的值;(2)求平移后的直线的函数解析式.【考点】反比例函数与一次函数的综合题,平移.【分析】(1)将点 A(m,2)代入 y=2x,可求得 m 的值,得出 A 点的坐标,再代入反比例函数 y=,即可求出 k
28、 的值;xk(2)设平移后的直线与 y 轴交于点 B,连接 AB,则 SAOB=SPOA=2【解答】解:(1)点 A(m,2)在直线 y=2x 上,2=2m,m=1,点 A(1,2).2 分又点 A(1,2)在反比例函数 y=的图像上,xkk=2. .4 分(2)设平移后的直线与 y 轴交于点 B,连接 AB,则SAOB=SPOA=2 .5 分过点 A 作 y 轴的垂线 AC,垂足为点 C,则 AC=1.OBAC=2,21OB=4. .7 分平移后的直线的解析式为 y=2x-4. .8 分【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题,平移. 要注意,在图像上的点的坐标满足这个图像的解析式;问
29、题(2)中,设平移后的直线与 y 轴交于点 B,得出 SAOB=SPOA=2 工过点 A 作 y 轴的垂线 AC 是解题的关键.4. (2016四川资阳 )如图,在平行四边形ABCD 中,点 A、B、C 的坐标分别是( 1,0) 、 (3,1) 、 (3,3) ,双曲线 y=(k0,x0)过点 D(1)求双曲线的解析式;(2)作直线 AC 交 y 轴于点 E,连结 DE,求 CDE 的面积【考点 】反比例函数与一次函数的交点问题;平行四边形的性质【分析 】 (1)根据在平行四边形ABCD 中,点 A、B、C 的坐标分别是(1,0) 、 (3,1) 、 (3,3) ,可以求得点D 的坐标,又因为
30、双曲线y=(k0,x0)过点 D,从而可以求得k 的值,从而可以求得双曲线的解析式;(2)由图可知三角形CDE 的面积等于三角形EDA 与三角形 ADC 的面积之和,从而可以解答本题【解答 】解:( 1)在平行四边形ABCD 中,点 A、B、C 的坐标分别是(1,0) 、 (3,1) 、 (3,3) ,点 D 的坐标是( 1,2) ,双曲线 y=(k0,x0)过点 D,2=,得 k=2,即双曲线的解析式是:y=;(2)直线 AC 交 y 轴于点 E,SCDE=SEDA+SADC=,即CDE 的面积是 35. (2016四川自贡 )如图,已知 A(4,n),B(2,4)是一次函数 y=kx+b
31、和反比例函数 y=的图象的两个交点(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出方程 kx+b=0 的解;(3)求AOB 的面积;(4)观察图象,直接写出不等式 kx+b0 的解集【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;反比例函数的性质【分析】(1)把 B (2,4)代入反比例函数 y=得出 m 的值,再把 A(4,n)代入一次函数的解析式 y=kx+b,运用待定系数法分别求其解析式;(2)经过观察可发现所求方程的解应为所给函数的两个交点的横坐标;(3)先求出直线 y=x2 与 x 轴交点 C 的坐标,然后利用 SAOB=SAOC+SBOC进行计算;(4)观察函数图象得到当 x
32、4 或 0x2 时,一次函数的图象在反比例函数图象上方,即使 kx+b0【解答】解:(1)B(2,4)在 y=上,m=8反比例函数的解析式为 y=点 A(4,n)在 y=上,n=2A(4,2)y=kx+b 经过 A(4,2),B(2,4),解得:一次函数的解析式为 y=x2(2):A(4,n),B(2,4)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y=的图象的两个交点,方程 kx+b=0 的解是 x1=4,x2=2(3)当 x=0 时,y=2点 C(0,2)OC=2SAOB=SACO+SBCO=24+22=6;(4)不等式 kx+b0 的解集为4x0 或 x2【点评】本题考查了反比例函数与
33、一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式6. (2016云南 )如图,直线 y=x与 x,y 轴分别交于点 A,B,与反比例函数y=(k0)图象交于点 C,D,过点 A 作 x 轴的垂线交该反比例函数图象于点 E(1)求点 A 的坐标(2)若 AE=AC求 k 的值试判断点 E 与点 D 是否关于原点 O 成中心对称?并说明理由【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】(1)令一次函数中 y=0,解关于 x 的一元一次方程,即可得出结论;(2)过点 C 作 CFx 轴于点 F,设 AE=AC=t,由此
34、表示出点 E 的坐标,利用特殊角的三角形函数值,通过计算可得出点 C 的坐标,再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于 t 的一元二次方程,解方程即可得出结论;根据点在直线上设出点 D 的坐标,根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于点D 横坐标的一元二次方程,解方程即可得出点 D 的坐标,结合中点 E 的坐标即可得出结论【解答】解:(1)当 y=0 时,得 0=x,解得:x=3点 A 的坐标为(3,0):(2)过点 C 作 CFx 轴于点 F,如图所示设 AE=AC=t,点 E 的坐标是(3,t),在 RtAOB 中,tanOAB=,OAB=30在 RtACF 中,CAF=30,CF=
35、t,AF=ACcos30=t,点 C 的坐标是(3+t, t)(3+t)t=3t,解得:t1=0(舍去),t2=2k=3t=6点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称,理由如下:设点 D 的坐标是(x, x),x(x)=6,解得:x1=6,x2=3,点 D 的坐标是(3,2)又点 E 的坐标为(3,2),点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解一元二次方程以及反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)令一次函数中 y=0 求出 x 的值;(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征得出一元二次方程本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目
36、时,根据反比例函数图象上点的坐标特征找出关于点的横坐标的一元二次方程是关键7. (2016四川成都9 分)如图,在平面直角坐标 xOy 中,正比例函数 y=kx 的图象与反比例函数 y=的图象都经过点 A(2,2) (1)分别求这两个函数的表达式;(2)将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后与 y 轴交于点 B,与反比例函数图象在第四象限内的交点为 C,连接 AB,AC,求点 C 的坐标及ABC 的面积【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】 (1)将点 A 坐标(2,2)分别代入 y=kx、y=求得 k、m 的值即可;(2)由题意得平移后直线解析式,即可知点 B 坐标,联立方程组求解
37、可得第四象限内的交点 C 得坐标,割补法求解可得三角形的面积【解答】解:(1)根据题意,将点 A(2,2)代入 y=kx,得:2=2k,解得:k=1,正比例函数的解析式为:y=x,将点 A(2,2)代入 y=,得:2=,解得:m=4;反比例函数的解析式为:y=;(2)直线 OA:y=x 向上平移 3 个单位后解析式为:y=x+3,则点 B 的坐标为(0,3) ,联立两函数解析式,解得:或,第四象限内的交点 C 的坐标为(4,1) ,SABC=(1+5)45221=68. (2016四川广安6 分)如图,一次函数 y1=kx+b(k0)和反比例函数 y2=(m0)的图象交于点 A(1,6) ,B
38、(a,2) (1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)根据图象直接写出 y1y2时,x 的取值范围【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】 (1)把点 A 坐标代入反比例函数求出 k 的值,也就求出了反比例函数解析式,再把点 B 的坐标代入反比例函数解析式求出 a 的值,得到点 B 的坐标,然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式;(2)找出直线在一次函数图形的上方的自变量 x 的取值即可【解答】解:(1)把点 A(1,6)代入反比例函数 y2=(m0)得:m=16=6,将 B(a,2)代入得:2=,a=3,B(3,2) ,将 A(1,6) ,B(3,2)代入一次函数 y1=kx+b
39、得:y1=2x+4(2)由函数图象可得:x1 或 0x39. (2016四川乐山10 分)如图 12,反比例函数与一次函数的图象kyxyaxb交于点、.(2,2)A1( , )2Bn(1)求这两个函数解析式;(2)将一次函数的图象沿轴向下平移个单位,使平移后的图象与反比yaxbym例函数的图象有且只有一个交点,求的值.kyxm图 12yxOAB解析:(1)在反比例函数的图象上,.(1 分)(2,2)Akyx4k反比例函数的解析式为.4yx又在反比例函数的图象上,得,1( , )2Bn4yx421n8n(2 分)由、在一次函数的图象上,(2,2)A1( ,8)2Byaxb得,解得.(4 分) b
40、aba21822 10, 4ba一次函数的解析式为.(5 分)104 xy(2)将直线向下平移个单位得直线的解析式为,104 xymmxy104(6 分)直线与双曲线有且只有一个交点,mxy1044yx令,得,xmx410404)10(42xmx,解得或.(10 分)064)10(2m2m1810.(2016广东梅州)如图,已知在平面直角坐标系中,是坐标原点,O点 A(2,5)在反比例函数的图象上一次函数的图象过点xky bxyA,且与反比例函数图象的另一交点为 B(1)求和的值; kb(2)设反比例函数值为,一次函数值为,求时的取值范1y2y21yy x围考点:反比例函数,一次函数的图象及其
41、性质。解析:(1)把 A(2,5)分别代入和, xky bxy得, 2 分(各 1 分) 5252 bk解得,; 3 分10k3b(2)由(1)得,直线 AB 的解析式为,3 xy反比例函数的解析式为 4xy10分由,解得:或 5 分 310xyxy 52yx 25yx则点 B 的坐标为)2, 5(11.(2016广东广州)已知 22(ab) 4abA(a,b0且ab)ab(ab)(1)化简A(2)若点在反比例函数的图像上,求的值.P(a, b)5y-xA【难易】容易【考点】整式的运算,因式分解,反比例函数【解析】 (1)分子用完全平方公式进行化简,因式分解,再与分母进行约分,化到最简。(2)
42、根据(1)中的化简结果,利用反比例函数的性质,求出 ab 的乘积,代入即可求出 A 的值。【参考答案】(1)22)(4)(baababbaA222)(42 baababbaba 222)(2- baabbaba 22)()(baabbaab1(2)点 P(a,b)在反比例函数的图像上xy5ab55ab51 511abA12.(2016广东茂名)如图,一次函数 y=x+b 的图象与反比例函数 y=(k 为常数,k0)的图象交于点 A(1,4)和点 B(a,1)(1)求反比例函数的表达式和 a、b 的值;(2)若 A、O 两点关于直线 l 对称,请连接 AO,并求出直线 l 与线段 AO 的交点坐
43、标【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;解二元一次方程组;待定系数法求一次函数解析式【分析】(1)由点 A 的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征,即可求出 k 值,从而得出反比例函数解析式;再将点 A、B 坐标分别代入一次函数 y=x+b 中得出关于 a、b 的二元一次方程组,解方程组即可得出结论;(2)连接 AO,设线段 AO 与直线 l 相交于点 M由 A、O 两点关于直线 l 对称,可得出点 M 为线段 AO 的中点,再结合点 A、O 的坐标即可得出结论【解答】解:(1)点 A(1,4)在反比例函数 y=(k 为常数,k0)的图象上,k=14=4,反比例函数解析式为 y=把点 A(1
44、,4)、B(a,1)分别代入 y=x+b 中,得:,解得:(2)连接 AO,设线段 AO 与直线 l 相交于点 M,如图所示A、O 两点关于直线 l 对称,点 M 为线段 OA 的中点,点 A(1,4)、O(0,0),点 M 的坐标为(,2)直线 l 与线段 AO 的交点坐标为(,2)【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组以及中点坐标公式,解题的关键是:(1)由点的坐标利用待定系数法求函数系数;(2)得出点 M 为线段 AO 的中点本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,巧妙的利用了中点坐标公式降低了难度13(2016四川巴中)已知,如图
45、,一次函数 y=kx+b(k、b 为常数,k0)的图象与 x轴、y 轴分别交于 A、B 两点,且与反比例函数 y=(n 为常数且 n0)的图象在第二象限交于点 CCDx 轴,垂直为 D,若 OB=2OA=3OD=6(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)求两函数图象的另一个交点坐标;(3)直接写出不等式;kx+b的解集【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】 (1)先求出 A、B、C 坐标,再利用待定系数法确定函数解析式(2)两个函数的解析式作为方程组,解方程组即可解决问题(3)根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方,即可解决问题,注意等号【解答】解:(1)OB=2OA=3OD=6,OB=6,OA=3,OD=2,CDOA,DCOB,=,=,CD=10,点 C 坐标(2,10) ,B(0,6) ,A(3,0) ,解得,一次函数为 y=2x+6反比例函数 y=经过点 C(2,10) ,n=20,反比例函数解析式为 y=(2)由解得或,故另
限制150内