高考理科数学一轮几何证明选讲.doc
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1、选修 41 几何证明选讲A第 1 讲 相似三角形的判定及有关性质最新考纲了解平行线等分线段定理和平行截割定理;掌握相似三角形的判定定理及性质定理;理解直角三角形射影定理知 识 梳 理1平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等(2)平行线分线段成比例定理定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似(2
2、)相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项如图,在 RtABC 中,CD 是斜边上的高,则有 CD2ADBD,AC2ADAB,BC2BDAB.诊 断 自 测1. 如图,已知 abc,直线 m,n 分别与 a,b,c 交于点 A,B,C 和A,B,C,如果 ABBC1,AB ,则 BC_.32解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案答案 322.如图,ABCAFE,EF8
3、,且ABC 与AFE 的相似比是 32,则 BC等于_解析 ABCAFE, .BCEF32又 EF8,BC12.答案 123. (2014揭阳模拟)如图,BDAE,C90,AB4,BC2,AD3,则EC_.解析 在 RtADB 中,DB,AB2AD27依题意得,ADBACE,可得 EC2.DBECADACDBACAD7答案 274.如图,C90,A30,E 是 AB 中点,DEAB 于 E,则ADE 与ABC 的相似比是_解析 E 为 AB 中点, ,即 AE AB,在 RtABC 中,A30,AEAB1212ACAB,32又RtAEDRtACB,相似比为.AEAC13故ADE 与ABC 的相
4、似比为 1.3答案 135. (2014湛江模拟)如图,在ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE交于 BC 于 F,则_.BFFC解析 如图,过点 D 作 DGAF,交 BC 于点 G,易得 FGGC,又在BDG中,BEDE,即EF 为BDG 的中位线,故 BFFG,因此 .BFFC12答案 12考点一 平行截割定理的应用【例 1】 如图,在ABC 中,DEBC,EFCD,若BC3,DE2,DF1,则 AB 的长为_解析 由Error! ,又 DF1,AEACAFADDEBC23故可解得 AF2,AD3,又 ,AB .ADAB2392答案 92规律方法 利用平行截割定理解
5、决问题,特别注意被平行线所截的直线,找准成比例的线段,得到相应的比例式,有时需要进行适当的变形,从而得到最终的结果【训练 1】 如图,在梯形 ABCD 中,ABCD,AB4,CD2.E,F 分别为AD,BC 上的点,且 EF3,EFAB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为_解析 如图,延长 AD,BC 交于一点 O,作 OHAB 于点 H. ,得 x2h1, ,得 h1h2. xxh123xh1xh1h234S梯形 ABFE (34)h2 h2, 1272S梯形 EFCD (23)h1 h1,1252S梯形 ABFES梯形 EFCD75.答案 75考点二 相似三角形的判定及性质【例
6、 2】 如图,在 RtABC 中,ACB90,CDAB,E 为 AC 的中点,ED、CB 延长线交于一点 F.求证:FD2FBFC.证明 E 是 RtACD 斜边中点,EDEA,A1,12,2A,FDCCDB2902,FBDACBA90A,FBDFDC,F 是公共角,FBDFDC,FD2FBFC.FBFDFDFC规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等;可间接证明线段相等【训练 2】 (2013陕西卷)如图,AB 与 CD 相交于点 E,过 E 作
7、 BC 的平行线与AD 的延长线交于点 P,已知AC,PD2DA2,则 PE_.解析 PEBC,CPED,又CA,则有APED,又为公共角,所以PDEPEA,即 PE2PDPA236,故 PE.PDPEPEPA6答案 6考点三 直角三角形射影定理及其应用【例 3】 如图所示,AD、BE 是ABC 的两条高,DFAB,垂足为 F,直线FD 交 BE 于点 G,交 AC 的延长线于 H,求证:DF2GFHF.证明 HBAC90,GBFBAC90,HGBF.AFHGFB90,AFHGFB.,HFBFAFGFAFBFGFHF.因为在 RtABD 中,FDAB,DF2AFBF,所以 DF2GFHF.规律
8、方法 (1)在使用直角三角形射影定理时,要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式” (2)证题时,要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法【训练 3】 如图,在 RtABC 中,ACB90,CDAB 于点 D, AD4,sinACD ,则 CD_,BC_.45解析 在 RtADC 中,AD4,sinACD ,得 AC5,CDADAC453,AC2AD2又由射影定理 AC2ADAB,得 AB.AC2AD254BDABAD4 ,25494由射影定理 BC2BDAB ,BC.94254154答案 3 154三角形相似与圆的交汇问题【典例】 如图所示,O 和O相交于 A,B 两
9、点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交O 于点 E,证明:(1)ACBDADAB;(2)ACAE.审题视点 (1)根据待证等式可将各边回归到ACB,DAB 中,再证两三角形相似;(2)本问可先证明EADABD,再结合第(1)问结论得证证明 (1)由 AC 与O相切于 A,得CABADB,同理ACBDAB,所以ACBDAB.从而,ACADABBD即 ACBDADAB.(2)由 AD 与O 相切于 A,得AEDBAD.又ADEBDA,得EADABD.从而,即 AEBDADAB.AEABADBD综合(1)的结论知,ACAE.反思感悟 1.易失分点:(1)证明本题第(
10、2)问时,想不到证明EADABD,从而无法解答(2)证明本题第(2)问时,没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立2防范措施:(1)证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似,若不相似,则进行线段替换或等比替换(2)在有多个结论的题目中,如果结论带有普遍性,已经证明的结论,可作为证明下一个结论成立的条件使用【自主体验】(2013江苏卷)如图,AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,AC 经过圆心 O,且 BC2OC.求证:AC2AD证明 连接 OD,因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,所以ADOACB90.又因为AA,所以 RtA
11、DO RtACB.所以.ADACODBC又 BC2OC2OD,故 AC2AD.一、填空题1如图,BD,CE 是ABC 的高,BD,CE 交于 F,写出图中所有与ACE 相似的三角形为_解析 由 RtACE 与 RtFCD 和 RtABD 各共一个锐角,因而它们均相似,又易知BFEA,故 RtACERtFBE.答案 FCD、FBE、ABD2.(2014西安模拟)如图,在ABC 中,M,N 分别是 AB,BC 的中点,AN,CM交于点 O,那么MON 与AOC 面积的比是_解析 M,N 分别是 AB、BC 中点,故 MN 綉 AC,12MONCOA,2 .S MONS AOC(MNAC)14答案
12、143.(2014渭南模拟)如图,BD,AEBC,ACD90,且AB6,AC4,AD12,则 AE_.解析 由于ACDAEB90,BD,ABEADC,.ABADAEAC又 AC4,AD12,AB6,AE2.ABACAD6 412答案 24.(2014佛山质检)如图,在直角梯形 ABCD 中,DCAB,CBAB,ABADa,CD ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中a2点,则 EF_.解析 连接 DE 和 BD,依题知,EBDC,EBDC ,CBAB,EBCD 为a2矩形,DEAB,又 E 是 AB 的中点,所以ABD 为等腰三角形故ADDBa,E,F 分别是 AD,AB 的中点,EF D
13、B a.1212答案 a25已知圆的直径 AB13,C 为圆上一点,过 C 作 CDAB 于 D(ADBD),若CD6,则 AD_.解析 如图,连接 AC,CB,AB 是O 的直径,ACB90.设 ADx,CDAB 于 D,由射影定理得 CD2ADDB,即 62x(13x),x213x360,解得 x14,x29.ADBD,AD9.答案 96(2013广东卷)如图,在矩形 ABCD 中,AB,BC3,BEAC,垂足为3E,则 ED_.解析 在 RtABC 中,BC3,AB,所以BAC60.因为3BEAC,AB,所以 AE,在EAD 中,EAD30,AD3,由余332弦定理知,ED2AE2AD2
14、2AEADcosEAD 923,343232214故 ED.212答案 2127.(2014茂名模拟)如图,已知 ABEFCD,若 AB4,CD12,则EF_.解析 ABCDEF,ABEFBCCFBCBFCDEF,4EFBCBCBFBCBF12EF4(BCBF)12BF,BC4BF,4,EF3.BCBF12EF答案 38.如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,BD 与 AC 相交于 O,过 O 的直线分别交AB、CD 于 E、F,且 EFBC,若 AD12,BC20,则 EF_.解析 EFADBC,OADOCB,OAOCADBC1220,OAECAB,OEBCOACA1232,EF22015.
15、1232答案 159(2012广东卷)如图,圆 O 的半径为 1,A,B,C 是圆周上的三点,满足ABC30,过点 A 做圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,则PA_.解析 连接 AO,AC,因为ABC30,所以CAP30,AOC60,AOC 为等边三角形,则ACP120,APC30,ACP 为等腰三角形,且 ACCP1,PA21sin 60.3答案 3二、解答题10.如图,已知圆上的弧,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,ACBD证明:(1)ACEBCD;(2)BC2BECD.证明 (1)因为,所以ABCBCD.ACBD又因为 EC 与圆相切于点 C,故ACEABC,
16、所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB,EBCBCD,所以BDCECB,故,BCBECDBC即 BC2BECD.11(2013辽宁卷)如图,AB 为O 的直径,直线 CD 与O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连接 AE,BE.证明:(1)FEBCEB;(2)EF2ADBC.证明 (1)由直线 CD 与O 相切,得CEBEAB.由 AB 为O 的直径,得 AEEB,从而EABEBF ;2又 EFAB,得FEBEBF .2从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由 BCCE,EFAB,FEBCEB,BE 是公共边,得 RtBCERtBF
17、E,所以 BCBF.同理可证 RtADERtAFE,得 ADAF.又在 RtAEB 中,EFAB,故 EF2AFBF,所以 EF2ADBC.12.如图,在等腰梯形 ABCD 中,ADBC,ABDC,过点 D 作 AC 的平行线DE,交 BA 的延长线于点 E,求证:(1)ABCDCB;(2)DEDCAEBD.证明 (1)四边形 ABCD 是等腰梯形,ACBD.ABDC,BCCB,ABCDCB.(2)ABCDCB.ACBDBC,ABCDCB.ADBC,DACACB,EADABC.DACDBC,EADDCB.EDAC,EDADAC.EDADBC,ADECBD.DEBDAECD.DEDCAEBD.第
18、 2 讲 直线与圆最新考纲1理解圆周角定理及其推论;掌握圆的切线的判定定理及性质定理;理解弦切角定理及其推论2掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理;理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.知 识 梳 理1圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论:(i)推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等(ii)推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径(2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数2弦切角的性质弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角3圆的切线的性质及判定定理
19、(1)定理:圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论:推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦 AB、CD 相交于圆内点 P(1)PAPBPCPD(2)ACPBDP(1)在 PA、PB、PC、PD 四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理PAB、PCD 是O 的割线(1)PAPBPCPD(2)PACPDB(1)求线段 PA、PB、PC、PD(2)应用相似求 AC、BD切割线定理PA 切O 于 A,PBC 是O的割线(1)PA2PBPC(2)PABPCA(1)已知 PA、PB、PC 知二
20、可求一(2)求解 AB、AC切线长定理PA、PB 是O 的切线(1)PAPB(2)OPAOPB(1)证线段相等,已知 PA 求PB(2)求角5.圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理定理 1:圆内接四边形的对角互补定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆诊 断 自 测1.如图,ABC 中,C90,AB10,AC6,以 AC 为直径的圆与斜边交于点 P,则 BP 长为_解析 连接 CP.由推论 2 知C
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