高考理科数学一轮函数导数及其应用.doc
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1、第二篇 函数、导数及其应用A第 1 讲 函数的概念及其表示最新考纲1了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念2在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数,并能简单地应用.知 识 梳 理1函数的基本概念(1)函数的定义一般地,设 A,B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应;那么就称:f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作 yf(x),xA.(2)函数的定义域、值域在函数 yf(x),xA 中,x 叫做自变
2、量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(3)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系(4)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图象法(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数2函数定义域的求法类型x 满足的条件,nN*2nfxf(x)0与f(x)01fxf(x)0logaf(x)f(x)0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际
3、问题有意义3函数值域的求法方法示例示例答案配方法yx2x2y94,)性质法yexy(0,)单调性法yxx2y2,)换元法ysin2 xsin x1y34,3分离常数法yxx1y(,1)(1,)辨 析 感 悟1对函数概念的理解(1)(教材习题改编)如图:以 x 为自变量的函数的图象为.()(2)函数 y1 与 yx0是同一函数()2函数的定义域、值域的求法(3)(2013江西卷改编)函数 yln(1x)的定义域为(0,1)()x(4)(2014杭州月考改编)函数 f(x)的值域为(0,1()11x23分段函数求值(5)(2013济南模拟改编)设函数 f(x)Error!则 f(f(3).()13
4、9学生用书第 10 页(6)(2014浙江部分重点中学调研改编)函数 f(x)Error!若 f(a) ,则实数 a 的12值为 或2.()124函数解析式的求法(7)已知 f(x)2x2x1,则 f(x1)2x25x2.()(8)已知 f(1)x,则 f(x)(x1)2.()x感悟提升1一个方法 判断两个函数是否为相同函数一是定义域是否相同,二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简),如(2)2三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义,如(3);二是分段函数求值时,一定要分段讨论,注意验证结果是否在自变量的取值范围内,如(6);三是用换元法求函数解析式时,一定
5、要注意换元后的范围,如(8).考点一 求函数的定义域与值域【例 1】 (1)(2013山东卷)函数 f(x)的定义域为( )12x1x3A(3,0 B(3,1 C(,3)(3,0 D(,3)(3,1(2)函数 y的值域为_x3x1解析 (1)由题意Error!解得3x0.(2)y1,因为0,x3x1x14x14x14x1所以 11.即函数的值域是y|y14x1答案 (1)A (2)y|y1规律方法 (1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可(2)求函数的值域:当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可考虑用分离常数法;若与二次函
6、数有关,可用配方法;当函数的图象易画出时,可以借助于图象求解【训练 1】 (1)函数 yln的定义域为_(11x)1x2(2)函数 f(x)Error!的值域为_解析 (1)根据题意可知,Error!Error!0x1,故定义域为(0,1(2)当 x1 时,log x0;当 x1 时,02x2,故值域为(0,2)(,012(,2)答案 (1)(0,1 (2)(,2)考点二 分段函数及其应用【例 2】 (1)(2014东北三校联考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)Error!,则f(3)的值为( )A1 B2 C1 D2(2)已知实数 a0,函数 f(x)Error!若 f(1a)f
7、(1a),则 a 的值为_解析 (1)依题意,30,得 f(3)f(31)f(32)f(2)f(1),又 20,所以 f(2)f(21)f(22)f(1)f(0);所以 f(3)f(1)f(0)f(1)f(0),又 f(0)log2(40)2,所以 f(3)f(0)2.(2)当 a0 时,1a1,1a1.此时 f(1a)2(1a)a2a,f(1a)(1a)2a13a.由 f(1a)f(1a),得 2a13a,解得 a .32不合题意,舍去当 a0 时,1a1,1a1,此时 f(1a)(1a)2a1a,f(1a)2(1a)a23a.由 f(1a)f(1a),得1a23a,解得 a .34综上可知
8、,a 的值为 .34答案 (1)B (2)34规律方法 (1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现 f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围【训练 2】 (2014烟台诊断)已知函数 f(x)Error!则 ff(2 013)( )A. B C1 D133解析 f(2 013)22 0132 0082532,所以 ff(2 013)f(32)2cos 2cos 3231.23答案
9、 D学生用书第 11 页考点三 求函数的解析式【例 3】 (1)已知 flg x,求 f(x)的解析式(2x1)(2)f(x)为二次函数且 f(0)3,f(x2)f(x)4x2.试求出 f(x)的解析式(3)定义在(1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x1),求函数 f(x)的解析式解 (1)令 1t,由于 x0,t1 且 x,2x2t1f(t)lg ,即 f(x)lg (x1)2t12x1(2)设 f(x)ax2bxc(a0),又 f(0)c3.f(x)ax2bx3,f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.Error!Error!f
10、(x)x2x3.(3)当 x(1,1)时,有 2f(x)f(x)lg(x1)以x 代替 x 得,2f(x)f(x)lg(x1)由消去 f(x)得,f(x) lg(x1) lg(1x),x(1,1)2313规律方法 求函数解析式常用方法(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;(2)换元法:已知复合函数 f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(3)方程法:已知关于 f(x)与 f或 f(x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外(1x)一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x)【训练 3】 (1)若 f(x1)2x21,则 f(x)_.(
11、2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0x1 时,f(x)x(1x),则当1x0 时,f(x)_.解析 (1)令 tx1,则 xt1,所以 f(t)2(t1)212t24t3.所以 f(x)2x24x3.(2)当1x0 时,有 0x11,所以 f(1x)(1x)1(1x)x(1x),又 f(x1)2f(x),所以 f(x) f(1x).12xx12答案 (1)2x24x3 (2)xx121函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质的基础因此,我们一定要树立函数定义域优先意识2函数有三种表示方法列表法、图象法和解析法,三者之间是可以互相转化的;
12、求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等,特别要注意将实际问题转化为函数问题,通过设自变量,写出函数的解析式并明确定义域教你审题 1分段函数中求参数范围问题【典例】 (2013新课标全国卷)已知函数 f(x)Error!若|f(x)|ax,则 a的取值范围是( )A(,0 B(,1C2,1 D2,0(1)审题一审条件:f(x)Error!转化为一元二次函数与对数函数的图象问题如图(1)二审条件:|f(x)|ax,由 f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2)(2)三审图形:观察 yax 的图象总在 y|f(x)|的下方,则当 a0 时,不合题意;当a0 时,符合题意
13、;当 a0 时,若 x0,f(x)x22x0,所以|f(x)|ax 化简为 x22xax,即 x2(a2)x,所以 a2x 恒成立,所以 a2.综上2a0.答案 D反思感悟 (1)问题中参数值影响变形时,往往要分类讨论,需有明确的标准、全面的考虑;(2)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求【自主体验】(2014德州模拟)已知函数 f(x)Error!则 f(a)f(1)0,则实数 a 的值等于( )A3 B1 或 3 C1 D3 或 1解析 因为 f(1)lg 10,所以由 f(a)f(1)0 得 f(a)0.当 a0 时,f(a)lg a0,所以 a1
14、.当 a0 时,f(a)a30,解得 a3.所以实数 a 的值为 a1 或 a3,选D.答案 D对应学生用书 P227基础巩固题组(建议用时:40 分钟)一、选择题1下列各组函数表示相同函数的是( )Af(x),g(x)()2x2xBf(x)1,g(x)x2Cf(x)Error!g(t)|t|Df(x)x1,g(x)x21x1解析 A 选项中的两个函数的定义域分别是 R 和0,),不相同;B 选项中的两个函数的对应法则不一致;D 选项中的两个函数的定义域分别是 R 和x|x1,不相同,尽管它们的对应法则一致,但也不是相同函数;C 选项中的两个函数的定义域都是 R,对应法则都是 g(x)|x|,
15、尽管表示自变量的字母不同,但它们依然是相同函数答案 C2(2013临沂一模)函数 f(x)ln的定义域为( )xx1x21A(0,) B(1,)C(0,1) D(0,1)(1,)解析 要使函数有意义,则有Error!即Error!解得 x1.答案 B3(2013昆明调研)设 Mx|2x2,Ny|0y2,函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x)的图象可以是( )解析 A 项定义域为2,0,D 项值域不是0,2,C 项对定义域中除 2 以外的任一 x 都有两个 y 与之对应,都不符合条件,故选 B.答案 B4(2014江西师大附中、鹰潭一中联考)已知函数 f(x)Error!则 f(
16、log27)( )A. B. C. D.716787472解析 因为 log271,log21,0log21,所以 f(log27)f(log271)f(log2)727472f(log21)f(log2)2log2 .72747474答案 C5函数 f(x)(x )满足 f(f(x)x,则常数 c 等于( )cx2x332A3 B3 C3 或3 D5 或3解析 f(f(x)x,即 x(2c6)x9c20,c(cx2x3)2(cx2x3)3c2x2cx6x9所以Error!解得 c3.答案 B二、填空题6(2014杭州质检)函数 f(x)ln的定义域是_x2x1解析 由题意知0,即(x2)(x
17、1)0,解得 x2 或 x1.x2x1答案 x|x2,或 x17(2014石家庄模拟)已知函数 f(x)Error!若 f(f(0)4a,则实数 a_.解析 f(f(0)f(2)42a4a,解得 a2.答案 28已知 f,则 f(x)的解析式为_(1x1x)1x21x2解析 令 t,由此得 x(t1),1x1x1t1t所以 f(t),1(1t1t)21(1t1t)22t1t2从而 f(x)的解析式为 f(x)(x1)2x1x2答案 f(x)(x1)2x1x2三、解答题9设二次函数 f(x)满足 f(2x)f(2x),且 f(x)0 的两个实根的平方和为10,f(x)的图象过点(0,3),求 f
18、(x)的解析式解 f(2x)f(2x),f(x)的图象关于直线 x2 对称于是,设 f(x)a(x2)2k(a0),则由 f(0)3,可得 k34a,f(x)a(x2)234aax24ax3.ax24ax30 的两实根的平方和为 10,10x x (x1x2)22x1x216,2 12 216aa1.f(x)x24x3.10某人开汽车沿一条直线以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地在B 地停留 1 h 后,再以 50 km/h 的速度返回 A 地,把汽车与 A 地的距离 s(km)表示为时间 t(h)(从 A 地出发开始)的函数,并画出函数的图象解 由题意知:sE
19、rror!其图象如图所示能力提升题组(建议用时:25 分钟)一、选择题1设 f(x)lg,则 ff的定义域为( )2x2x(x2)(2x)A(4,0)(0,4) B(4,1)(1,4)C(2,1)(1,2) D(4,2)(2,4)解析 0,2x2,2 2 且2 2,取 x1,则 2 不合2x2xx22x2x题意(舍去),故排除 A,取 x2,满足题意,排除 C、D,故选 B.答案 B2已知函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称,且当 x(0,)时,有 f(x) ,则当 x(,2)时,f(x)1x的解析式为( )Af(x) Bf(x)1x1x2Cf(x) Df(x)1x21x2解析 当 x(
20、,2)时,则2x(0,),f(x).1x2答案 D二、填空题3(2013潍坊模拟)设函数 f(x)Error!则满足 f(x) 的 x 值为_14解析 当 x(,1时,2x 22,x2(舍去);14当 x(1,)时,log81x ,即 x3.1481411443答案 3三、解答题4若函数 f(x) x2xa 的定义域和值域均为1,b(b1),求 a,b 的值12解 f(x) (x1)2a ,1212其对称轴为 x1,即函数 f(x)在1,b上单调递增f(x)minf(1)a 1,12f(x)maxf(b) b2bab,12又 b1,由解得Error!a,b 的值分别为 ,3.32学生用书第 1
21、2 页第 2 讲 函数的单调性与最值最新考纲1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的单调性.知 识 梳 理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2定义当 x1x2时,都有 f(x1)f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1x2时,都有 f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间 D 上是减函数续表图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数,
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- 高考 理科 数学 一轮 函数 导数 及其 应用
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