G第六讲 主干考点 平面向量.doc
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1、第六讲第六讲 主干考点主干考点 平面向量平面向量【名师高考导航名师高考导航】平面向量是高中数学的重要内容,兼具代数和几何的“双重特性” ,是解决代数问题和几何问题的有力工具,由于其本身的内容十分丰富,又与三角函数、平面解析几何、数列、不等式等板块联系较为紧密,自然就会产生很多应用和运算上的难点问题,主要体现在平面向量的几何意义,平面向量与三角函数、平面解析几何、数列、不等式的综合应用问题中虽然平面向量的概念问题很基础,考生在备考中却不可忽视因此,在注重向量的工具性时,也要注意知识的融会贯通,在应用中把平面向量的基础知识和方法融入到自己的知识结构中去,才能以不变应万变【考点思维脑图考点思维脑图】
2、【重要考点串讲重要考点串讲】1向量的有关概念向量的有关概念(1)零向量:模为 0,方向任意,记作 0和任一向量平行(2)单位向量:长度等于 l,与向量共线的单位向量为a|a a(3)相等向量:长度相等且方向相同(4)平行向量:方向相同或相反,也叫共线向量共线指向量所在的直线平行或重合2平面向量的两个重要定理平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理:向量(0)与共线当且仅当存在唯一一个实数,使aabba(2)平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面1e2e内的任一向量,有且只有一对实数,使,其中,是一组基a121 122a =ee1e2e底3平面向量的两个充要条件平面
3、向量的两个充要条件若两个非零向量,则:11( ,)x ya22(,)xyb(1)12210x yx yabab(2)121200x xy yaba b4平面向量的数量积平面向量的数量积设为与的夹角,ab0, (1)定义:| |cosa bab(2)投影:叫做向量在方向上的投影而不是|cos|a babab|a b a5平面向量的三个性质平面向量的三个性质(1)若,则( , )x ya22|xyaa a(2)若,则11( ,)A x y22(,)B xy22 2121|()()ABxxyy (3)若,为与的夹角,11( ,)x ya22(,)xybab则12122222 1122cos|x xy
4、 yxyxy a b a b当与同向时,;当与反向时,ab| |a babab| | a bab【注意】,夹角为锐角或零角,夹角为直角,且、0a b0a b0a ba不共线时,夹角为钝角b6(1)加减法法则加减法法则三角形法则 共起点的向量的差用三角形法则加法:减法:平行四边形法则 共起点的向量的和用平行四边形法则对于非零向量,此时平行四边形是矩形, a b| |0ababa b(2)若与都是非零向量,则与共线;ab0abab若与不共线,则ab0ab0两个重要结论(1)向量的中线公式:若 P 为线段 AB 的中点,则1()2OPOAOB (2)向量加法的多边形法型:12233411nnnA A
5、A AA AAAA A【方法技巧突破方法技巧突破】必考点必考点 1 平面向量的基本定理的应用平面向量的基本定理的应用【典例】在下列向量组中,可以把向量表示出来的是(3,2)aA B12(0,0),(1,2)ee12( 1,2),(5, 2) eeC D12(3,5),(6,10)ee12(2, 3),( 2,3) ee【解析】解法一 若,则,不能由,表示,排除 A;若12(0,0),(1,2)ee12eea1e2e,因为,所以,不共线,根据平面向量的基本12( 1,2),(5, 2) ee12 521e2e定理,可以把向量表示出来,故选 B(3,2)a解法二 因为,若,不存在实数,使得(3,2
6、)a1(0,0)e2(1,2)e,排除 A;若,设存在实数,使得12a =ee12( 1,2),(5, 2) ee,则,所以,解得,12a =ee(3,2)(5 ,22 ) 35 222 21 所以,故选 B122aee【方法探究】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算,基本方法有两种:(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简,直至用基底表示为止;(2)将待求向量用含参数的基底表示,然后列方程或方程组,利用基底表示向量的唯一性求解必考点必考点 2 平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算【典例 1】(2017 山东)已知,是互
7、相垂直的单位向量,若与的夹角为1e2e123ee12ee,则实数的值是 60【解析】,22 1212112122( 3) ()333eeeeee ee ee,222 12121122|3|( 3)32 32eeeeee ee,22222 12121122|()21eeeeee ee,解得:22321cos6013 3【典例 2】设向量满足=,=,则= ( ), a bab10ab6a bA1 B2 C3 D5【解析】因为=,所以,即 ab102|10ab22210 aa bb又因为,所以 |6ab|=2226 aa bb由-得,则选 A44a b1a b【典例 3】平面向量,() ,且与的夹角
8、等于(1,2)a(4,2)bmcabmRca与的夹角,则cbm A B C D2112【解析】由已知可以得到,且,(4,22)mmccos,cos,c ac b所以,| | |c ac b cacb即, 2222222242(22)4(4)2(22)(4)(22)12(4)(22)42mmmmmmmm 即,解得58820 52 5mm2m 【方法探究】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即| |cos,a baba b(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若,则11( ,)x ya22(,)xyb1212x xy ya b必考点必考点 3 平面向量与
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