E第四讲 主干考点 函数与导数.doc
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1、第四讲第四讲 主干考点主干考点 函数与导数函数与导数【名师高考导航名师高考导航】对于函数部分的备考,应先掌握基本概念和基本运算,牢记基本初等函数的图象与性质,重视函数与方程、数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法在解题中的应用,导数是高中数学知识的一个重要知识点,主要考查与导数有关的概念、计算和应用,利用导数的工具性研究函数的有关性质,把导数应用于函数的单调性、极值、最值等常规问题求解的同时,进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明等有关导数问题的求解过程又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法,这些对培养考生的应用能力和创新意识都大有益处【考点思维脑图考点思维脑图
2、】【重要考点串讲重要考点串讲】一、函数一、函数1函数及其表示函数及其表示(1)概念:非空数集非空数集的对应(中有唯一与中的对应)Af 对应关系BByAx(2)三要素:定义域、值域()、对应关系ACCBf(3)表示方法:解析法、图象法、列表法求函数定义域的主要依据分式的分母不为零;偶次方根被开方数不小于零;对数函数的真数必须大于零,且当对数函数或指数函数的底数中含变量时,底数需大于0且不等于l;由有限个基本初等函数运算合成的函数,其定义域一般是各基本初等函数定义域的交集;由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义【注意】对于复合函数的定义域,应遵循先内后外的原则,若已
3、知 ( )yf g x的定义域为,则的定义域由求出,若已知的( )f x , a b ( )f g x( )ag xb ( )f g x定义域为 ,则的定义域为在 上的值域 , a b( )f x( )g x , a b求函数值域的常用方法直接法:利用常见函数的值域来求,如:()的定义域为,值域yaxb0a R为()的定义域为,当时,值域为R2( )f xaxbxc0a R0a ;当时,值域为;24 |3acby ya0a 24 |3acby ya配方法:利用二次函数的特征来求值域,常化为,2( )f xaxbxc的形式;( , )xm n换元法:利用化归思想通过变量代换转化为容易求值域的函数
4、;三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数的有界性来求值域;基本不等式法:转化成的形式,利用基本不等式来求值域不(0)kyxkx过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧;单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性,进而求其最值和值域要特别注意定义域对值域的制约作用;数形结合法:画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围;分离常数法:即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域2函数的性质函数的性质(1)单调性 注意:先求出定义域,单调区间是定义域的子集(2)判断方法:定义法:设,且,作差,确定差值的符号若为12
5、,x xA12xx12()()f xf x负,;若为正,( )f x A( )f x A导数法:若在区间内可导,则( )f x( , )a b( )0( ) ( )0( )fxf x fxf x A A 【提醒】复合函数的单调性遵循“同增异减”法则 ( )yf g x一些有用的结论在公共定义域内:增+增=增;减+减=减;增减=增;减增=增函数在,上单调递增;(0,0)byaxabx(,b a ,)b a在,上单调递减,0)b a(0,b a单调函数的等价定义:,且,12,x xA12xx12 1212 12()()( )0 ()()()0f xf xf xf xf xxxxxA12 1212
6、12()()( )0 ()()()0f xf xf xf xf xxxxxA(2)奇偶性对于先判定函数的定义域是否关于原点对称奇偶性定义:对于函数的定义域内任意一个都有( )f xx()( )fxf x 图象特征:关于原点对称,且在对称区间上的单调性相同【注意】若的定义域中有0,则必有,但是为奇函数的( )f x(0)0f(0)0f( )f x必要不充分条件偶函数定义:对于函数的定义域内任意一个都有( )f xx()( )fxf x图象特征:关于轴对称,且在对称区间上的单调性相反y判定函数奇偶性的常用方法及思路定义法N()( ) Yfxf xAA非奇非偶函数定义域关于确定定义域确定原点对称与的
7、关 系结论图象法( )( )( )f xf xyf xA A关于原点对称为奇函数的图象关于轴对称为偶函数性质法在公共定义域内:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇【提醒】判断分段函数的奇偶性,要注意定义域内取值的任意性,应分段讨论,讨x论时可依据的范围相应地化简解析式,判断与的关系,得出结论,也可以x( )f x()fx利用图象判断(3)周期性周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现,注意从代数变换角度分析抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出,常见的有以下几种情形:若,则的一个周期是()()f xaf xb()ab( )f x|Tab若,则的一个周期是()
8、( )f xaf x ( )f x2|Ta若或,则的一个周期是1()( )f xaf x1()( )f xaf x ( )f x2|Ta(4)函数图象的对称性一个函数图象的对称性a若满足,即,则的图象关( )yf x()()f axf ax( )(2)f xfax( )f x于直线对称xab若满足,则的图象关于直线对( )yf x()()f axf bx( )f x2abx称c若满足,则的图象关于点成中心对( )yf x( )2(2)f xbfax( )f x( , )a b称两个函数图象的对称性a函数与的图象的对称轴为,并非直线()yf ax()yf ax0x xab函数与的图象的对称轴为(
9、)yf ax()yf bx2baxc函数与的图象关于点 对称()yf xab()yf axb ( , )a b(5)图象变换平移变换;0| | 0| |( )()hh hhyf xyf xh ,右移个单位 ,左移个单位0| | 0| |( )( )kk kkyf xyf xk ,右移个单位 ,左移个单位对称变换;( )( )xyf xyf x 关于轴对称;( )()yf xyfx 关于y轴对称;( )(2)x ayf xyfax 关于对称( )()yf xyfx 关于原点对称伸缩变换;10111( )()yf xyfx ,横坐标伸长到原来的倍,横坐标缩短到原来的倍01 1( )( )AA AA
10、yf xyAf x ,纵坐标缩短到原来的倍 ,纵坐标伸长到原来的倍翻折变换a左右翻折变换:( )( )(|)f xyyf xyfx先画出在轴右侧的图象 再将此部分图象关于y轴翻折b上下翻折变换:( )( )|( )|f x xxyf xyf x 先画出的图象 再将轴下方的图象关于轴翻折二、函数的图象和性质二、函数的图象和性质1二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质0a 0a 图象定义域R值域24,)4acb a24(,4acb a单调性在上递减(,2b a 在上递增,)2b a在上递增(,2b a 在上递减,)2b a奇偶性时为偶函数,时非奇非偶函数0b 0b 图象特点对称轴:;顶点2bxa
11、 24(,)24bacb aa2指数函数、对数函数的图象和性质指数函数、对数函数的图象和性质指数函数(0,xyaa1,)axR对数函数logayx(0,a 1,)axR值域(0,)(,) 图象不变性恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)增减性时为增函数,1a 时为减函数01a时为减函数,1a 时为增函数01a3幂函数幂函数的图象和性质的图象和性质ayx(1)所有的幂函数在上都有定义,且都过点(0,)(1,1)(2)时,图象通过原点,并且在上是增函数,0a 0,)特别地,当时,图象下凸;当时,图象上凸1a 01a(3)时,图象在上是减函数,在第一象限内,当从右边趋向原点时,0a (0,)x图象在轴
12、右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限yyxx地逼近轴正半轴x4对数的运算性质对数的运算性质;logloglogaaaMMNNlog ()loglogaaaMNMN;loglogn aaMnMlogaNaN(且,)0a 1a 0M 0N 换底公式:(,均大于零且不等于1,) logloglogc a cbbaac0b 三、函数与方程三、函数与方程1函数的零点函数的零点方程有实数根的图象与轴有交点有零点( )0f x ( )yf xx( )yf x【注】有根,函数才有零点,一个实数,即的图象与轴交点的横坐( )yf xx标函数的零点问题与的图象交点问题( )( )( )yF xf x
13、g x( )yf x( )yg x2二次函数二次函数()的图象与零点的关系的图象与零点的关系2yaxbxc0a 0 0 0 二次函数2yaxbxc()的图象0a 与轴的交点x,1( ,0)x2(0)x1( ,0)x无交点零点个数2103判断函数零点的主要方法判断函数零点的主要方法零点定理法:根据连续函数满足,判断函数在内( )yf x( )( )0f af b( , )a b存在零点数形结合法:函数的零点是函数的图象与轴交点的横坐标,( )yf x( )f xx【注意】利用零点定理法求解时,满足条件的零点可能不唯一;不满足条件时,也可能有零点四、导数四、导数1导数的几何意义导数的几何意义(1)
14、 在处的导数就是在点处的切线的斜率,( )yf x0xx( )fx( )yf x00(,()xf x即0()kfx(2)在点处的切线方程为( )yf x00(,()xf x000()()()yf xfxxx【提醒】求曲线的切线时要注意“过点的切线”与“在点处的切线”的差异,过PP点的切线,点不一定是切点,点也不一定在已知曲线上,而在点处的切线,必PPPP以点为切点P2导数的正负与函数单调性的关系导数的正负与函数单调性的关系(l)是为增函数的充分不必要条件,即为增函数,反( )0fx( )f x( )0fx( )f x之不成立如函数在上单调递增,但3( )f xx(,) ( )0fx(2)是为增
15、函数的必要不充分条件,即在内单调递增( )0fx( )f x( )f x( , )a b,反之不成立当函数在某个区间内恒有时,则为常数,不具( )0fx( )0fx( )f x有单调性3导数的运算法则导数的运算法则. ( )( )( )( )f xg xfxg x. ( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x( )( )Cf xCfx()2( )( ) ( )( )( )( )( )f xfx g xf x g x g xgx ( )0g x ()21( )( )( )g x g xgx ( )0g x 复合函数求导:设,则( )yf u( )uxxuxyy
16、u 4导数的应用导数的应用(1)利用导数研究函数单调性的思维导图(2)利用导数研究函数极值的思维导图(3)利用导数研究函数最值的思维导图求在闭区间上的最值( )f x , a b求导数求内所有使的根求出根所对应的函数值与端( )fx( , )a b( )0fx点处的函数值比较大小得结论求在非闭区间上的最值( )f x求导数判断的单调性下结论( )fx( )f x【注意】(1)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有(2)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值【方法技巧突破方法技巧突破】必考点必
17、考点1 有关函数图象问题的求解有关函数图象问题的求解【典例 1】(2017 全国卷)函数的部分图像大致为sin2 1 cosxyx【解析】由题意知,函数为奇函数,故排除B;当时,排除sin2 1 cosxyxx0y D;当时,因为,所以,故1x sin2 1 cos2y 22sin20cos20,排除A故选C0y 【思路点拨】破解此类由函数的解析式判断函数的图象问题的技巧:一是活用性质,常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项;二是利用特殊点,排除不适合的选项,从而得出合适的选项【典例 2】(2016 全国卷) 函数在2,2的图像大致为2| |2xyxeA BC D【解析】当时,令函数,则
18、,易知0x02( )2xf xxe( )4xfxxe( )fx在0,)上单调递增,在,2上单调递减,ln4ln4又,(0)10f 1( )202fe(1)40fe2(2)80fe所以存在是函数的极小值点,即函数在上单调递减,01(0, )2x ( )f x( )f x0(0,)x在上单调递增,且该函数为偶函数,符合条件的图像为D0(,2)x【思路点拨】破解已知函数的解析式判断函数的图象题时,不仅要会用特殊点法排除,而且要会利用导数法,判断图象的单调性或利用导数的几何意义去识别【典例3】若函数且的图象如图所示,则下列函数图象正确的是logayx(0a 1)a A B C D【解析】因为函数的图象
19、过点,所以,解得,所以函数logayx(3,1)1log 3a3a 的图象不可能过点,排除A;函数的图象不可能过3xy(1,3)33()yxx 点,排除C;函数的图象不可能过点,排除D故选B(1,1)3log ()yx( 3, 1)【方法探究】求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,求出参数的值;二是利用特殊点法或函数的单调性来判断函数图象总之,有关函数图象的判断题常利用“特殊点”与“函数的性质”来求解【典例4】如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点,角的始边为射线OAPx,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为将点到直线OAOPPOAMM的距离表示成的函数,则在的图象
20、大致为 ( )OPx( )f x( )yf x0, A B C D【解析】由题意知,,当时,; ( ) |cos| sinf xxx0,2x1( )cossinsin22f xxxx当时,故选B(, 2x1( )cossinsin22f xxxx 【典例5】已知函数,则的图象大致为1( )ln(1)f xxx( )yf x【解析】解法一(函数性质法)函数满足,且,即 ( )f x10x ln(1)0xx1x 且设,则由于,ln(1)0xx( )ln(1)g xxx1( )11g xx10x 显然当时,当时,所以函数在10x ( )0g x0x ( )0g x( )g x0x 处取得极大值,也是
21、最大值,故,当且仅当时,( )(0)0g xg0x ( )0g x 所以函数的定义域是,且函数在上的值( )f x( 1.0)(0,)( )g x( 1.0)(0,)域为,故函数的值域也是,且在附近函数值无限小,观察(,0)( )f x(,0)0x 各选项中的函数图象,只有选项B中的图象符合要求,解法二(特殊值检验法) 当时,函数无意义,排除选项D中的图象,0x 当时,11xe11(1)011ln(1 1)(1)fee ee 除选项A、C中的图象,故只能是选项B中的图象【方法探究】研究函数的图象要从研究函数的性质入手,即研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点等,通过函数的性质判
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