AC第三讲 函数及其表示.doc
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1、名高考数学一轮第三讲 第 1 页共 14 页 第三讲 函数及其表示考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、映射的概念一般地,设 A、B 是两个非空集合,如果按照对应关系(法则),对于集合 A 中的任f何一个元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作:ABf若按照对应关系(法则),集合 A 中的元素与集合 B 中的元素对应,则元素叫faba做的原象,元素叫做的象bba二、函数的概念设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系(法则),使对于集合 A 中的f任意一个数,在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应,那么就称:AB 为
2、从x( )f xf集合 A 到集合 B 的一个函数,记作,A其中叫做自变量,的取值范围( )yf xxxxA 叫做函数的定义域,与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫xy ( )|f xxA做函数的值域显然,值域是集合 B 的子集三、函数的三要素1定义域、值域、对应关系(法则) 在函数,中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域;与( )yf xxAxxA的值相对应的叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域显然,值域xy ( )|f xxA是集合的子集B2函数相同问题的理解判断两个函数是否是同一个函数时,需要从定义域、值域、对应关系(法则)三个方面进行分析,只要有一个不同,即不是同一函数四、
3、函数的表示方法与分段函数1函数的表示方法(1)解析式法:是把变量之间的关系用一个关系式来表示,通过关系式可, x y( )yf x名高考数学一轮第三讲 第 2 页共 14 页 以由的值求出的值,或由的值求出的值xyyx(2)列表法:是将变量的取值列成表格,由表格直接反映出二者的关系, x y(3)图象法:是把之间的关系绘制成图象,图象上每个点的坐标就是相应的变量, x y的值, x y2分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、映射1映射定义的理解对于映射:ABf(1)集合 A,B 均为非空
4、集合,A 中的元素不可剩余,B 中的元素可剩余(2)可以一对一、多对一,不可以一对多(3)映射具有方向性,集合 A 到集合 B 的对应与集合 B 到集合 A 的对应所确定的映射是不同的,原象和象是不能互换的(4)集合 A,集合 B 和对应关系(法则)是映射的三要素,三者是一个有机整体,不可f分割2判断一个对应是映射的方法要判断一个对应是否为映射,只看第一个集合 A,集合 A 中的每一个元素是否都有对应元素,且对应元素是否唯一,至于第二个集合 B 中的每一个元素是否都有原象不作要求二、函数符号的理解( )yf x对应法则是函数概念的核心,的含义是:等于在法则下的对应值,f( )yf xyxf而是
5、对应得以实现的方法和途径,是联系与的纽带,因此是函数关系的本质特征,fxyf至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则,是无关紧要的符号是“是的函数”这句话的数学表示形式,它是数学符号,不是表示( )yf xyx“等于与的乘积” 也不一定是函数解析式的含义与又不同,前yfx( )f x( )f a( )f x名高考数学一轮第三讲 第 3 页共 14 页 者表示自变量=时所得的函数值,它是一个常量,后者是的函数,在通常情况下,是xax一个变量,是的一个特殊值( )f a( )f x三、函数的定义域1自然型当函数是由解析式给出时,则其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,已知函数解析式,求定义
6、域是求使函数式有意义的一切实数的集合,解( )yf x( )yf xx答的主要依据:是整式时,定义域是全体实数( )f x是分式时,定义域是使分母不为零的一切实数的集合( )f x是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负数的实数的集合( )f xx对数函数的真数大于零,当对数函数或指数函数的底数中含有变量时,底数需大于零且不等于 1零指数幂的底数不能为零中,tanyx()2xkkZ若是由有限个基本初等函数的四则运算合成的函数,则其定义域一般是各个( )f x基本初等函数定义域的交集,2抽象型的定义域为,则求出在上的值域即为的定 ( )yfx( , )a b( )x( , )a b( )yf x义
7、域的定义域为,则解不等式可得的定义域,( )yf x( , )a b( )axb ( )yfx此时要注意自身对自变量取值的限制( )x3复合型若已知的定义域,其复合函数的定义域是从外向内层层计算,先( )f x , a b( ( )f g x由不等式确定即复合函数的定义域由外函数的定义域、内函数的值域以( )ag xb及内函数的定义域共同确定四、求函数值域的常用方法名高考数学一轮第三讲 第 4 页共 14 页 1观察法有的函数的结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域,如函数的值域为21 2yx1 |02yy2换元法运用代数或三角代换,将所给函数转化成值域容易确定
8、的另一函数,从而求得原函数的值域,形如:(、均为常数,且)的函数常用yaxbcxdabcd0ac此法求值域3配方法二次函数可转化为形如类的函数求值域问题,均可用配方2( )( )( )F xafxbf xc法,而后面的函数要注意的范围( )f x4不等式法利用基本不等式:,用此法求函数值域时,要注意2abab33abcabc条件“一正二定三相等” ,如利用求某些函数值域(或最值)时,应满足三2abab个条件:(1)0,0;(2)(或)为定值;(3)取等号条件时三个条件缺abababab一不可5导数法设的导数为,由可求得极值点坐标,若函数定义域为,则( )yf x( ) fx( ) fx , a
9、 b最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值6判别式法把函数转化成关于的二次方程,通过方程有实根,判别式0,从而x( , )0F x y求得原函数的值域,形如(、不同时为 0)的函数的值域常用此2 111 2 222a xb xcya xb xc1a2a法求得7单调性法通过确定函数在定义域内(或某个定义域的子集上)的单调性求出函数值域的方法为单调性法8数形结合法名高考数学一轮第三讲 第 5 页共 14 页 利用函数所表示的几何意义,借助几何方法或图象来求函数的值域【提醒】求函数值域没有通用的方法和固定的模式,要靠在学习过程中不断积累,掌握规律,所以要记住各种基本函数的值域;要记住什么
10、结构特点的函数用什么样的方法求值域,即熟悉求函数值域的几种常用方法,但在解决求值域问题时要注意选择最优解法五、求函数的解析式的常用方法1代入法:由已知条件=,可将改写成的表达式,然后以 ( )f g x( )F x( )F x( )g x代替,便得的表达式,常需“凑配” x( )g x( )f x2换元法:由已知条件=,可令,然后反解出代 ( )f g x( )F x( )tg x1( )xgt入 即可得的表达式例如:已知,可令,则( )F x( )f t12()21xf ex1xte(0)tx ,代入已知条件得,即1 lnt22( )2(1 ln )12ln4ln1 f tttt2( )2l
11、nf xx4ln x1(0)x3待定系数法:有些题目给出函数特征,求函数的解析式,可用待定系数法,比如函数是二次函数,可设为,其中、是待定系数,根据题2( ) f xaxbxc(0)aabc设条件,列出方程组,解出、即可abc4函数方程法:将作为一个未知数来考虑建立方程(组) ,消去另外的未知( )f x数便得的表达式,例如:已知,以代替,由条件又得( )f x1( )( )ln1f xfxx1 xx两式中消去,便得1( )( )ln1ff xxx1( )fx21 ln( )1 lnxf xx5赋值法:求抽象函数的解析式,有时需要对自变量赋予某些特殊值,从而求出其解析式六、与分段函数相关问题的
12、处理方法1求分段函数的函数值其常用解法是先确定函数的自变量在定义域中所在的具体范围,然后按相应的对应法则求值2求分段函数的解析式名高考数学一轮第三讲 第 6 页共 14 页 其常用解法是先求出定义域不同的子区间上的解析式,然后进行合并,3分段函数的最值对于分段函数的最值问题,一般是将每一段上的最值分别求出,其中的最大者就是整个函数的最大值,其中的最小者就是整个函数的最小值4分段函数问题的求解策略:求分段函数的函数值时,应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解,有时每段交替使用求值若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是
13、否符合相应段的自变量的取值范围,做到分段函数分段解决5解决分段函数问题的注意要点:特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定时,要分类讨论分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数七、映射与函数的关系对于映射:AB 来说,集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合,而函f数定义中的两个集合必须是非空数集因此,映射是函数概念的一种扩展,即将数集扩展到任意元素的集合,函数是一种特殊的映射所以映射不一定都是函数,而函数都是映射考点分类精讲考点考点 1 映射映射1判定一个对应是否为映射2确定映射的象与原象3确定映射的个数【例 1】为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密)
14、 ,接收方由密文明文(解密) ,已知加密规则为:明文、对应密文、abcd2ab2 bc、.例如,明文 1、2、3、4 对应密文 5、7、18、16.当接收方收到密文23cd4d14、9、23、28 时,则解密得到的明文为( )A7、6、l、4 B6、4、l、7 C4、6、l、7 D1、6、4、7名高考数学一轮第三讲 第 7 页共 14 页 【解析】由已知条件可得明文与密文的对应关系为方程组,解之得,+214 29 2323 428 ab bc cd d6a,从而得解密后得到的明文为 6、4、1、7,故应选 B4b1c7d点拨:解决映射问题,关键在于准确把握映射的概念,就是要抓住“取元任意性、成
15、象唯一性” ,即对于 A 到 B 的映射,必须是 A 中任意一个元素都要取到,而 A 中每一个f元素对应到 B 中的象必须是唯一的x【例 2】映射:,满足,则这样的映射函数共有( )f1,2,31,2,3 ( )( )f f xf xA1 个 B4 个 C8 个 D10 个【解析】如图 1,若在的映射中,要使得三个元素与三个元素对应,只有 ( )f f x满足( ) f xx1 2 33211 2 33211 2 3321图 1 图 2 图 3若象集中有两个元素,则第三个元素的象可在这两个元素中任选其一,如图 2,它们都满足,有个 ( )( )f f xf x21 32C C6若象集中仅有一个
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