AS第十八讲 数列的概念与简单表示法.doc
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1、 高考数学一轮第十八讲 第 1 页共 10 页 第十八讲 数列的概念与简单表示法考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、数列的概念1数列概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类标准类型满足条件有穷数列项数有限 项数 无穷数列项数无限递增数列1nnaa递减数列1nnaa常数列1nnaa=其中N*n单调性摆动数列从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和公式法4数列的通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫nann做这个数列的
2、通项公式二、数列的递推公式和与的关系nanS1数列的递推公式如果已知数列的第 1 项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前na一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递1na推公式2与的关系nanS若数列的前 n 项和为,通项公式为,则nanSnana11,(1) ,(2)nnSn SSn 【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、数列的概念高考数学一轮第十八讲 第 2 页共 10 页 1数列是按一定次序排成的一列数,一个数列不仅与组成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序也有关因此,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的
3、数列2数列与数集的区别与联系:数列与数集都是具有某种共同属性的数的全体数列中的数是有序的,而数集中的元素是无序的;同一个数在数列中可以重复出现,而数集中的元素是互异的3并不是每一个数列一定有通项公式,如果一个数列有通项公式,那么它的通项公式在形式上可以不止一个,数列的通项公式是研究个数列的关键,应切实掌握求通项公式的各种方法【提示】数列是一类特殊的函数,定义域是正整数集或者其有限子集,值域是由通项公式来确定的函数二、数列的性质1因为数列可以看做是一类特殊的函数,因而数列也具有一般函数应具有的性质2求数列的最大(小)项,一般可以先研究数列的单调性,可以用或11nnnnaa aa ,也可以转化为函
4、数的最值问题或利用数形结合来求解11nnnnaa aa 三、求通项公式的基本方法1观察法:观察法就是观察数列的特征,找出各项共同的构成规律,横向看各项之间的关系结构,纵向看各项与项数的关系,从而确定出数列的通项公式n2构造法:构造法就是根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式,进行变形整理,构造出一个新的等差或等比数列,利用等差或等比数列的通项公式求解3猜归法:猜归法就是由已知条件先求出数列的前项,一般是,等,n1a2a3a4a由此归纳猜想出,然后用数学归纳法证明na【提示】(1)观察法是求数列通项公式的一个最基础的方法,它一般适用于给出了数列的前项,n根据这些项来写出该数列的通项公式的情况,
5、一般来说,所给数列的前项规律性特别强n并且规律也比较明显,要么能直接看出,要么需略作变形即可高考数学一轮第十八讲 第 3 页共 10 页 (2)待定系数法求通项公式同函数中用待定系数法求函数解析式类似,它要求必须已知或者能够由条件判断出通项公式(解析式)的结构类型(3)数列的通项公式与递推公式是表达数列特征与构造的两种方法观察法和猜想法一般适合于选择题和填空题;如果在解答题中用猜想法,则一定要用数学归纳法加以证明而待定系数法一般适合于已知数列的类型的题目考点分类精讲考点考点 1 数列的概念数列的概念1根据数列的前几项写出一个数列的通项公式2数列与函数关系的把握3观察、归纳、猜想【例 1】根据下
6、面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式:(1),;2 34 156 358 6310 99(2)5,55,555,5 555,;(3)2,0,2,0,2,0,2,0,;(4),3 72 55 133 87 194 11【解析】根据数列的前几项写出数列的通项公式时,关键是观察归纳各项与对应的项数之间的联系,通过合理的联想、转化而达到问题的解决(1)这是一个分数数列,其分子构成偶数列,而分母可分解为l3,35,57,79,911,每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的通项公式为2 (21)(21)nnann(2)数列 9,99,999,9 999,可以写成 101,1,l,1,而210310
7、410数列 5,55,555,5 555,可以写成,故599599959999599999所求数列的通项公式为5(101)9n na (3)数列的各项具有周期性,联想基本数列 1,0,1,0,故所求数列的通项公式为2sin2nna高考数学一轮第十八讲 第 4 页共 10 页 (4)这是一个与有关的数列,可将数列写成,( 1)n3 7, ,可知分母为以 3 为公差的等差数列,分子为4 105 136 167 198 22以 1 为公差的等差数列,故所求数列的通项公式为2( 1)34n nnan 点拨:根据数列的前几项求通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:(1)分式中分子、分母的特征
8、;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征:把数列的项分成变化的部分和不变的部分;(4)各项符号特征,若关系不明显时,应将部分项作适当的变形,统一成相同的形式,让规律凸现出来【例 2】(1)根据如图的 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第个图中有_个n点 (2)在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球,第 2,3,4,堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第堆第层就放一个乒乓球,以表示第堆的乒乓球总数,则nn( )f nn=_;= (答
9、案用表示) (3)f( )f nn【解析】(1)图中点的个数为;图中点的个数为;图中点的个数为210221;图中点的个数为;图中点的个数为,故第个图中点232243254n的个数为,=(个) 故填2(1)nn21nn21nn(2),观察图形,不难发现第堆最底层(第一层)的兵兵球数(3)63 110f n高考数学一轮第十八讲 第 5 页共 10 页 ,第堆的兵兵球总数相当于堆兵兵球的底层数之(1)1232nn nan nn和,即=222 1211(1)( )(12)222nn nf naaan(1)(2) 6n nn故填 10,(1)(2) 6n nn【例 3】若数列满足:对任意的,只有有限个正
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