F第五讲 主干考点 三角函数.doc
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1、第五讲 主干考点 三角函数【名师高考导航名师高考导航】高考对三角函数的考查主要围绕三个方面:一是三角恒等变换,如切化弦、角的变换及边角转换等;二是三角函数的图象和性质,如两域(定义域、值域) ,四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性) ,三角函数的图象变换(平移、伸缩)等;三是利用正、余弦定理解三角形问题其中的难点是:如何利用三角函数的图象及其性质解决求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题;如何利用三角恒等变换的技巧,解决角变换、函数名称转换等问题;利用正、余弦定理及其变形技巧进行优化选择,解决边角关系、面积、测量、航海、几何、物理以及与其他知识的交汇综合应用等问题【考点思维脑图考点思维脑图】
2、【重要考点串讲重要考点串讲】一、三角函数一、三角函数1(1)三角函数的定义三角函数的定义设是一个任意角,它的终边与单位同交于点,( , )P x y则,sinycosxtany x一般地,设角终边上任一点的坐标为,它与原点的距离为,( , )x yr则,siny rcosx rtany x三角函数值在各象限内的符号,即一全正,二正弦,三正切,四余弦(2)同角三角函数的基本关系式平方关系:;商数关系:22sincos1sintan(,)cos2kkZ(3)诱导公式公式一二三四五六角2k22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan
3、【记忆口诀】 “奇变偶不变,符号看象限” (即公式中的角可以表示为的形式, “奇、偶”是指的奇偶性;“符号”是指把角看作是锐角时()2kkZk原函数值的符号)2两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式(l)sin()sincoscossin(2)cos()coscossinsin(3) ()tantantan()1tantan,2kk Z3二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)(2),sin22sincos2222cos2cossin2cos11 2sin (3) (且,)22tantan21tan2k24kkZ4三角函数的几种常用化简途径三角函
4、数的几种常用化简途径(1)常值代换常值可作特殊角的三角函数值来代换1233,1, 32232特别是“1”的代换,如等221cossintan45(2)项的分拆与角的配凑如分拆项:;222222sin2cos(sincos)cos1 cosxxxxxx 配凑角:,22()1()()2,等1()()2()424特殊的角也看成已知角,如()44(3)将次与升次,如,21 cos2sin22cos22cos1(4)化弦(切)法利用同角三角函数的基本关系,将不同名的三角函数化成同名的三角函数经常用的手段是“切化弦”和“弦化切” (5)引入辅助角22sincossin()abab这里辅助角所在的象限由、的
5、符号确定,值由确定,abtanb a二、三角函数的图象和性质二、三角函数的图象和性质1三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质函数sinyxcosyxtanyx图象定义域xRxR且xR,2kkZ值域 1,1 1,1R单调性2,222kk上递增,;kZ32,222kk上递减,kZ上(21) ,2kk递增,;kZ上2,(21) kk递减,kZ(,)22kk上递增,;kZ最值(22xkkZ)时;max1y(22xk )时,kZmin1y (2xkkZ)时;max1y(2xk)时,kZmin1y 无最值奇偶性奇偶奇对称中心(,0)k(,0)2k(,0)2k对称性对称轴2xkxk无对称轴最小正周期222
6、三角函数的两种常见变换三角函数的两种常见变换(1)先平移后伸缩:sinyx(0)(0) | | 向左或向右 平移个单位sin()yx1 横坐标变为原来的倍纵坐标不变sin()yxA 纵坐标变为原来的倍 横坐标不变sin()yAx(0,0)A(2)先伸缩后平移:sinyx1 横坐标变为原来的倍纵坐标不变sinyx(0)(0)| 向左或向右平移个单位sin()yxA 纵坐标变为原来的倍 横坐标不变sin()yAx(0,0)A三、正弦定理和余弦定理三、正弦定理和余弦定理1正弦定理正弦定理(为外接圆半径)2sinsinsinabcRABCRABC【变式】,;2 sinaRA2 sinbRB2 sinc
7、RC;: :sin:sin:sina b cABC,sin2aARsin2bBRsin2cCRsinsinsinsinsinsinabcabc ABCABC2余弦定理余弦定理;2222cosabcbcA222 cos2bcaAbc;2222cosbacacB222 cos2acbBac2222coscbabaC222 cos2abcCab3面积公式面积公式基本公式:111111sinsinsin222222abcSahb hchabCbcAacB(,分别为BC,AC,AB边上的高)ahbhch导出公式:(为ABC外接圆的半径) 4abcSRR(为ABC内切圆的半径) 1()2Sabc rr(其
8、中) ()()()Sp papbpc2abcp4解三角形的四种类型及求解方法解三角形的四种类型及求解方法在ABC中,(1)已知、和,由求,由正弦定理求、ABCABCCab(2)已知、和,由余弦定理求,由正弦定理求较短边所对的角,由abCc求另一角ABC(3)已知、,由余弦定理求、abcABC(4)已知、和,由正弦定理求,由求,由正弦或余弦定理求abABABCCc【提醒】求时,要注意对解的情况进行讨论,讨论的根据:一是所求的正弦值是否B小于等于l,当正弦值小于1时,还应判断各角之和与的关系;二是两边的大小关180系在解题中,注意三角形中其他条件的应用,三角形内角和定理:,任意两边之和大于第三边,
9、任意两边之差小于第三边在三角形中ABC大边对大角,大角对大边5利用正、余弦定理解三角形应用题的基本思路及一般步骤利用正、余弦定理解三角形应用题的基本思路及一般步骤(1)基本思路原 原原 原 原 原 原 原原 原 原原 原 原 原原 原 原 原 原 原原 原 原 原 原 原原 原 原 原原 原 原 原(2)一般步骤分析:分清已知与未知,画出示意图,建模:把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型求解:利用正弦或余弦定理解出三角形,求得数学模型的解,检验:检验所求的结果是否具有实际意义,从而得解,【方法技巧突破方法技巧突破】必考点必考点1 三角函数式的化简求值三角函数式
10、的化简求值【典例 1】(2017 北京) 在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终xOyOx边关于轴对称若,则=_y1sin3cos()【解析】角与角的终边关于轴对称,所以,y2kkZ所以,;1sinsin(2)sin3kcoscos 222cos()coscossinsincossin2sin1 2172 ( )139 【典例 2】(2016 全国卷)若 ,则 3tan42cos2sin2A B C1 D64 2548 2516 25【解析】解法一 由,sin3tancos422cossin1得,或,3sin54cos53sin5 4cos5 所以,24sin22sincos25则,故
11、选A2164864cos2sin2252525解法二 2 2 222cos4sincos14tan1 364cos2sin29sincos1tan25116故选A【典例3】已知,则=R10sin2cos2tan2A B C D4 33 43 44 3【解析】由,得,10sin2cos210sin2cos2又,22sincos1联立,解得,或,3 10sin10 10cos10 10sin10 3 10cos10 所以或sintan3cos1 3当时,;tan3222tan2 33tan21tan1 34 当时,1tan3 2212 ()2tan33tan211tan41 ()3 综上,故选C3
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