专题16 数列求和的方法规律-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱(解析版).doc
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1、一高考命题类型一高考命题类型1.倒序求合法2.裂项求和法3.错位相减求和4.分组求和5.分奇偶数讨论求和6.利用数列周期性求和7.含有绝对值的数列求和二命题陷阱及命题陷阱破解措施二命题陷阱及命题陷阱破解措施1.1.倒序求和倒序求和例 1. 设 1 22xf x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是_【答案】3 2【方法规律总结】:倒序相加法求和,不仅应用在等差数列中,而且在函数以及组合中也有应用。等差数列中主要利用等差数列性质:若*, , ,mnpq m n p qN,则mnpqaaaa;函数中主要利用对称中心性质:若 f x关
2、于,m n对称,则 22f xfmxn;组合中中主要利用组合数性质: nm n mmCC练习 1.已知 11sin22f xx,数列 na满足 12101nnafffffnnn,则2017a_【答案】1009【解析】因为sinyx的图象关于原点对称, 11 22f xsin x的图象由sinyx向上平移1 2个单位,向右平移1 2个单位, 故答案为1009.练习 2.已知函数1 2fx为奇函数, 1g xf x,若2017nnag,则数列 na的前2016项和为( )【答案】【解析】函数1 2fx为奇函数图象关于原点对称,函数 f x的图象关于点(1 2,0)对称,函数 1g xf x的图象关
3、于点(1 2,1)对称, 12g xgx,2017nnag,数列的前项之和为12320152016201620172017201720172017ggggg,故选: 。学科网练习 3. 已知函数 32331 248f xxxx,则201612017kkf的值为 _【答案】2.2.裂项求和裂项求和例 2. 数列 na的前n项和为nS,若1 1nan n,则5S等于( )1 65 61 30【答案】【解析】111 11nan nnn 5111111111512233445566S 选练习 1.数列1 1nn的前项的和为( )111 11 1 11 【答案】【解析】111111nnnnnnnnnn
4、故数列1 1nn的前 10 项的和为102132.111011 1S 选 。学科网练习 2.在等差数列 na中, 357116,8aaaa,则数列341 nnaa的前n项和为( )1 2n n 2n n1n n2 1n n【答案】练习 3. 已知数列 na与 nb的前n项和分别为nS, nT,且0na , 2*63,nnnSaa nN, 12 2121nnnanaab ,若*, nnNkT 恒成立,则k的最小值是( )1 71 4949 8 441【答案】B【解析】当1n 时, 2 11163aaa,解得13a 或10a .由0na 得13a .由263nnnSaa,得2 11163nnnSa
5、a.两式相减得22 111633nnnnnaaaaa.所以11()(3)0nnnnaaaa.因为0na ,所以110,3nnnnaaaa.即数列 na是以 3 为首项,3 为公差的等差数列,所以3313nann.所以11128111 7 818181 812121nnnannnnnnaab .所以2231111111111 111 7 8 181818181817 78149nnnnT.要使*, nnNkT 恒成立,只需1 49k .故选 .学科网练习 4.已知nS为数列 na的前n项和,若12a 且12nnSS,设2lognnba,则1 22 320172018111 bbb bbb的值是(
6、 )4035 20184033 20172017 20182016 2017【答案】1 22 32017201811111111140331 122232016201720172017bbb bbb .故选 B.练习 5.定义12nn ppp为n个正数12,np pp的“均倒数” ,若已知数列 na的前n项的“均倒数”为1 21n,又1 4n nab,则1 22 32015 2016111 bbb bbb( )2013 20142014 20152015 20161 2015【答案】练习 6.数列 na满足11a ,且对于任意的*nN都有11nnaaan,则122017111aaa等于( )2
7、016 20174032 20172017 20184034 2018【答案】D【解析】由题意可得: 11nnaan,则:1213211,2,23,nnaaaaaan,以上各式相加可得: 1 2nn na,则: 11121nann,12201711111111403421223201720182018aaa练习 7.设数列 na满足122,6aa,且2122nnnaaa,若 x表示不超过x的最大整数,则122017201720172017 aaa ( )【答案】解得(1)nan n,111 1nann,121111111111122311naaannn ,122017201720172017
8、aaa2017 2018则122017201720172017 aaa120162018故答案为: 练习 8. 已知幂函数 af xx的图象过点4,2,令 1 1naf nf n(*nN) ,记数列 na的前n项和为nS,则2018S( )20181 20181 20191 20191【答案】【解析】函数 af xx的图象过点4,2,可得42a,解得1 2a , 1 2f xx,则 11111nannf nf nnn ,则201821322019201820191S .故选: .学科网练习 9. 已知数列 na的首项为9,且2 1122nnaaan,若111 2n nnbaa,则数列 nb的前
9、n项和nS _【答案】211 9101n 练习 10.设数列 na的前 项为nS,点,nSnn, *nN均在函数32yx的图象上.(1)求数列 na的通项公式。(2)设13n nnbaa, nT为数列 nb的前 项和.【答案】 (1)*65nannN(2)n3T61n n【解析】 (1)点,nSnn在函数的图象上,232,32n nSnSnnn即 111aS当22 12,32312165nnnnaSSnnnnn时*65nannN (2)133111 65612 6561n nnbaannnn123nnTbbbb111111111 21771313196561nn111261n3 61n n练习
10、 11.已知等差数列 na的前n项和为nS,且5645,60SS.()求数列 na的通项公式na;()若数列 nb满足1*nnnbbanN,且13b ,求1nb的前n项和nT.【答案】(1) 23nan (2) 2 2 2352 ,4128nnnnbnn Tnn【解析】 (1)设等差数列 na的首项为1a,公差为d, 66515ass,所以6151515 51045aadSad,解得15,2,23nadan。练习 12.已知等差数列 na的前n项和为nS,且5645,60SS.()求数列 na的通项公式na;()若数列 nb满足1*nnnbbanN,且13b ,求1nb的前n项和nT.【答案】
11、(1) 23nan (2) 2 2 2352 ,4128nnnnbnn Tnn3.3.错位相减求和错位相减求和例 3.已知数列 na的首项12 3a , 12 1n n naaa, 1,2,3,n (1)证明:数列11na是等比数列;(2)数列nn a的前n项和nS【答案】 (1)证明见解析;(2)2 2nn.【解析】 (1) 12 1n n naaa, 111111 222nnnna aaa, 1111112nnaa ,又12 3a , 11112a ,数列11na是以为1 2首项,1 2为公比的等比数列学¥科网(2)由(1)知1 1111112 22nn na ,即1112nna, 2nn
12、nnna设23123 222nT 2nn, 则23112 222nT 11 22nnnn, 由得21111111111122112222222212nnnnnnnnnnT , 11222nnnnT又123 1 2n nn 数列nn a的前n项和 2124222222nnnn nnnnnS练习 1.已知数列 na, nb, nS为数列 na的前n项和, 214ab, 22nnSa, 2 11nnnbnbnn(*nN)(1)求数列 na的通项公式;(2)证明nb n为等差数列;来源:学科网(3)若数列 nc的通项公式为,2 4nnn nna bn ca bn 为奇数,为偶数,令nT为 nc的前n项
13、的和,求2nT.【答案】 (1)2nna (2)见解析(3)27127499n nnT(3)令212nnnpcc 22212 2212122241 241 424nn nnnnnn 012 2 1231 23 47 411 4414 43 47 411 4454414n n nn nTnTnn ,得0121 233444444441 4nn nTn216443341 41 4n n nTn27127499n nnT练习 2.已知数列 na是首项为正数的等差数列,数列11 nnaa的前n项和为21n n.(1)求数列 na的通项公式;(2)设1 2na nnba,求数列 nb的前n项和nT.【答
14、案】 (1)21n;(2)1431 49nn.来源:Z+xx+k.Com(2)由(1)知24224 ,nn nbnn所以121 42 4.4 ,n nTn 所以23141 42 4.1 44,nn nTnn 两式相减,得121344.44nn nTn114 141 3444,1433n nnnn 所以1 1431 43144.999n n nnnT 练习练习 3.3. 已知等差数列 na中, 2465,22aaa,数列 nb中, 113,212nnbbbn.(1)分别求数列 ,nnab的通项公式;(2)定义 xxx, x是x的整数部分, x是x的小数部分,且 01x.记数列 nc满足1n n
15、nacb,求数列 nc的前n项和.【答案】(1) 21,nan 121n nb;(2) 1525 22nnnS.解析:(1)121,21nnnanbb, 1121nnbb ,1nb是首项为4 ,公比为2的等比数列,112nnb ,121n nb.(2)依题意,当1n 时, 10122 1 122121nn nnCCnn,121 2nnnc,所以234135721 2222nnnS ,令3452135721 22222nnnS,两式相减,得34512211335722132121525 2422222442222nnnnnnnnnS故1525 22nnnS. 来源来源: :学。科。网学。科。网
16、Z Z。X X。X X。KK4.4.分组求和分组求和例 4. 已知数列 na满足0na , 11a , 122nnnn aaa.()求数列 na的通项公式;()求数列35nann的前n项和nS.【答案】() 12nnan;() 237212n nnnS.【解析】试题分析:()结合递推关系可得n nabn是以1为首项,公比为2的等比数列,据此可得通项公式为12nnan.()结合()的结论有135235nnannn,分钟求和可得237212n nnnS.试题解析:()由()可知135235nnannn,故 1123 1 523 25235nn nSn 0112223 125nnn237212nnn
17、.练习 1.数列11114,8,16,3224816,的前n项和为( )1221nn 2223nn1221nn 11221nn 【答案】【解析】分组求和:121114 1 21222,223121 212nn nnn nnnaS。本题选择 选项.练习 2.数列111123248,的前n项和为nS=( )21n n11122nn n 12nn【答案】故选 练习 3. 已知数列an的通项公式是221sin2nnan,则1232018aaaa( )A. 20172018 2B. 2019 2018 2C. 20172017 2D. 2018 2018 2【答案】B【解析】1232018aaaa=22
18、3222123420172018123420172018 2018 120182018 2019 22,选 B.来源:学#科#网 Z#X#X#K5.5.分奇偶数讨论求和分奇偶数讨论求和【中】6.已知函数 22, ,nnf nnn为奇数 为偶数,且 1naf nf n,则1238aaaa ( )2017 2018 2017 【答案】【解析】当 为奇数时,为偶数,则22121nannn ,所以135737 11 1536aaaa ,当 为偶数时,为奇数,则22121nannn 246859 13 1744aaaa,所以1288aaa.来源:学+科+网 Z+X+X+K练习 1. 已知在各项为正的数列
19、 na中, 11a , 22a , * 212loglognnaan nN,则1010 1220172aaa_【答案】【解析】因为212loglognnaan,所以1 1122222nn nnnnnnaaaaaa ,即数列 na隔项成等比,所以10081009 10101010 1220172 1 21 22231 21 2aaa 练习 2. 已知函数 22, ,nnf nnn为奇数 为偶数,且 1naf nf n,则1232017aaaa等于( )A. -2014 B. 2014 C. 2019 D. -2019 【答案】D【解析】若n 是奇数,则221121naf nf nnnn ()()
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