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1、高考数学一轮第四讲 第 1 页共 14 页 第四讲 函数的基本性质考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、函数的单调性与最值1单调函数的定义增函数减函数一般地,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自ID变量的值、1x2x定义当时,都有12xx,那么就说12()()f xf x在区间上是增函数( )f xD当时,都有12xx,那么就说12()()f xf x在区间上是减函数( )f xD图象特征xyOx2x1y=f(x2)y=f(x1)y=f(x)自左向右看图象是上升的xyy=f(x)y=f(x1)y=f(x2)x1x2O自左向右看图象是下降的2函数的最值设函数的定义域为,如果存在实
2、数满足( )yf xIM对任意,都有xI( )f xM对任意,都有xI( )f xM条件存在,使得0xI0()f xM结论为最大值M为最小值M3单调性与单调区间(1)如果函数在某个区间是增函数或减函数,就说在这一区间具有单调( )yf x( )f x性,这一区间叫做的单调区间( )f x高考数学一轮第四讲 第 2 页共 14 页 (2)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性(3)单调性相同的区间需分开书写,不能用“”连接4复合函数的单调性对于复合函数,若称为内层函数,为外层函数,则复 ( )yf g x( )tg x( )yf t合函数的单调性符合下表:外层
3、函数单调性( )yf t内层函数单调性( )tg x函数单调 ( )yf g x性增增 增 减减增减 减 减增即复合函数的单调性符合“同增异减”的原则注:求复合函数单调区间时应首先求出函数的定义域二、奇偶性1奇(偶)函数的定义(1)如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数( )f xx()( )fxf x就叫做偶函数( )f x(2)如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数( )f xx()( )fxf x 就叫做奇函数( )f x(3)如果函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函数具有奇偶性( )f x( )f x2奇偶函数的性质(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称
4、y(2)奇、偶函数的定义域是关于原点对称的,此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件;若一个奇函数在处有意义,那么( )f x0x (0)0f高考数学一轮第四讲 第 3 页共 14 页 (3)在定义域的公共部分内,两奇函数的积(或商)为偶函数;两偶函数的积(或商)为偶函数;一奇一偶函数的积(或商)为奇函数;两奇函数(或两偶函数)的和、差为奇函数(或偶函数) (4)奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间内具有相反的单调性三、函数周期性的判定如果函数是周期函数,那么能找到一个非零常数,使得( )yf xT对定义域内的任何值都成立称为这个函数的周期()( )f xTf
5、 xxT如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫( )f x做的最小正周期(若不特别说明,一般都是最小正周期) ( )f xT对定义域内任一自变量的值:( )f xx(1)若,则;()( )f xaf x 2Ta(2)若,则;1()( )f xaf x2Ta(3)若,则 ()1()( )f xaf x 2Ta0a 【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、函数的单调性判断函数单调性的常用方法1定义法:取值作差变形定号下结论2加减运算或复合函数用转化法:减 减 减 (减 减 )减 减 减 减减 +减 =减减 +减 =减减 减3导数法:求导判断正、负单调性(区间)(
6、)fx4图象法:做图象看升降归纳单调性(区间)高考数学一轮第四讲 第 4 页共 14 页 提示提示(1)在理解函数单调性的定义时,应注意:单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性;单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的、具有任意性,不1x2x能用特殊值替代;由于定义都是充要性命题,因此由是增(减)函数且( )f x12()()f xf x() ,说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之12xx1212()()f xf xxx间的不等关系可以“正逆互推” (2)熟练掌握增、减函数的定义,注意定义的如下两种等价形式,设任意,1x2x且,那么 , a
7、 b12xx在上是增函数;1212()()0f xf x xx( )f x , a b在上是减函数1212()()0f xf x xx( )f x , a b在上是增函数;1212() ()()0xxf xf x( )f x , a b在上是减函数1212() ()()0xxf xf x( )f x , a b(3)若函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果( )yf x( )0fx( )f x,则为减函数( )0fx( )f x(4)函数的单调性是函数在局部上的整体性质;而函数的奇偶性和周期性则是函数的整体性质,即在整个定义域内恒成立的性质二、函数的最值1求简单函数的最值的基本方法可以运
8、用求函数值域的基本方法2有关最值的一个重要结论设在某个集合上有最小值,为常数,则在上恒成立的充要条( )f xDm( )f xmD件是min( )f xm高考数学一轮第四讲 第 5 页共 14 页 设在某个集合上有最大值,为常数,则在上恒成立的充要条( )f xDm( )f xmD件是max( )f xm三、函数的奇偶性1要正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)或( )f x()( )fxf x 是定义域上的恒等式()( )fxf x2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性,有时
9、需要先将函数进行化简,或用定义的等价形式:,()( )fxf x ()( )0fxf x()( )fxf x ()1( )fx f x ( )0f x 3如果是偶函数,那么,反之亦成立( )f x()(|)fxfx4判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法:首先确定定义域是否关于原点对称;其次确定与的关系;得( )f x()fx出结论(2)图象法:的图象关于原点对称,则为奇函数;的图象关于轴对( )f x( )f x( )f xy称,则为偶函数( )f x(3)性质法:奇函数与奇函数奇函数与偶函数偶函数与偶函数和奇函数偶函数差奇函数偶函数积偶函数奇函数偶函数商偶函数奇函数偶函数【提示】
10、“性质法”中的结论只有在两个函数的公共定义域内才成立5一些重要类型的奇偶函数函数为偶函数,函数为奇函数( )xxf xaa( )xxf xaa高考数学一轮第四讲 第 6 页共 14 页 函数(且)为奇函数221( )1xxxxxxaaaf xaaa0a 1a 函数为奇函数1( )log1axf xx函数为奇函数2( )log (1)af xxx任意一个定义域关于原点对称的函数均可写成一个奇函数与一个偶函数( )f x( )g x和的形式,则,( )h x( )()( )2f xfxg x( )()( )2f xfxh x四、函数的周期性1对于定义在上的函数R( )f x若有两条对称轴,则是周期
11、函数且是它的一个周期xaxb( )f x2|ab若有两个对称中心,则是周期函数且是它的一个周期,( ,0)a( ,0)b( )f x2|ab若有一个对称中心和一条对称轴,则是周期函数且是它( ,0)axb( )f x4|ab的一个周期2如果是函数的周期,则T( )yf x判定一个函数是否是周期函数主要通过周期函数的定义若是函数的一个周期,通常()也是函数的周期TnTn*N若已知区间()的图象,则可画出区间(且 , m nmn,mkT nkTkZ)上的图象,0k 五函数图象的对称性函数在整个定义域上满足的关系( )f x图象的对称性()( )fxf x关于轴对称y()( )fxf x 关于原点轴
12、对称()()f axf ax关于直线轴对称xa()()f axf ax 关于对称( ,0)a高考数学一轮第四讲 第 7 页共 14 页 ()()f axf bx关于直线轴对称2abx()()f axf bx 关于对称(,0)2ab考点分类精讲考点考点 1 函数的单调性及其应用函数的单调性及其应用1判断函数的单调性2求函数的单调区间3已知函数的单调性,求参数的取值范围4利用函数的单调性解决有关问题【例 1】(1)设函数,则函数的递减区间是( )1,0( )0,01,0xf xxx 2( )(1)g xx f x( )g xA B C D(,00,1)1,) 1,0(2)如果函数在区间单调递减,2
13、1( )(2)(8)12f xmxnx(0,0)mn122 ,那么的最大值为mnA16 B18 C25 D81 2【解析】(1),如图所示,其递减区间是故选 B22,1 ( )0,1,1xx g xxxx 0,1)xy1O点拨:利用图象法判定函数的单调性形象直观(2) 2m 时,抛物线的对称轴为8 2nxm 据题意,当2m 时,即822n m212mn2262mnm n18mn由2mn且212mn得3,6mn高考数学一轮第四讲 第 8 页共 14 页 当2m 时,抛物线开口向下,据题意得,即81 22n m218mn由2nm且218mn得92m ,2292mnm n81 2mn故应舍去.要使得
14、mn取得最大值,应有218mn(2,8)mn.所以(182 )(182 8) 816mnn n ,所以最大值为 18选 B【例 2】的定义域为,且对一切,都有,( )f x(0,)0x 0y ( )( )( )xff xf yy当时,有1x ( )0f x (1)求的值;(1)f(2)判断的单调性并证明;( )f x(3)若,解不等式(6)1f1(3)( )2f xfx【解析】(1),(1)( )( )( )0xfff xf xx0x (2)设,则由,得,120xx( )( )( )xff xf yy2 21 1()()()xf xf xfx因为,所以211x x21()0xfx所以即在上是增
15、函数21()()0f xf x( )f x(0,)(3)因为,所以,36(6)()(36)(6)6ffff(36)2f原不等式化为:,2(3 )(36)f xxf因为在上是增函数,( )f x(0,),解得23010336xx xx 3 17302x故原不等式的解集为3 173 |02xx点拨:时抽象函数单调性的判断,关键是根据题目所给的性质和符号条件,构造相应高考数学一轮第四讲 第 9 页共 14 页 的关于、的函数值,如本例中构造,再运用性质,1x2x21()0xfx2 21 1()()()xf xf xfx从而比较出与的大小还要注意如下,等变形1()f x2()f x1 12 2xxxx
16、1212()xxxx技巧在解决与抽象函数有关的不等式问题时,要注意利用函数单调性的“可逆”性,来“脱去”函数符号“” f【例 3】已知函数(,常数) ,若在上为增函数,2( )af xxx0x aR( )f x2,)求的取值范围a【解析】法一 设122xx,2212 12121212 1212()()()()xxaaf xf xxxx x xxaxxx x要使函数在上为增函数,则需恒成立( )f xx2,)12()()0f xf x又因为,所以所以的取值范围是124xx1212()16x x xxa(,16法二 当时,显然在上为增函数,当时,反比例函数0a 2( )f xx2,)0a 在上为增
17、函数所以在上为增函数当时,同a x2,)2( )af xxx2,)0a 解法一点拨:单调性的定义法证明要引起重视【例 4】是否存在实数,使函数在区间上是增函数?如果存a2( )log ()af xaxx2,4在,说明可取那些值;如果不存在,请说明理由a【解析】假设存在实数,分,两种情况,由复合函数的单调性求解a1a 01a设,假设符合条件的值存在2( )g xaxxa当时,为使函数在闭区间上是增函数,只需1a 2( )log ()af xaxx2,4( )g x 在上是增函数,故应满足,解得,又,2axx2,4122 (2)420xa ga 1 2a 1a 所以1a 高考数学一轮第四讲 第 1
18、0 页共 14 页 当时,为使函数在闭区间上是增函数,只需01a2( )log ()af xaxx2,4在上是减函数,故应满足,无解2( )g xaxx2,4142 (4)1640xa ga 综上可知,当时,在区间上是增函数(1,)a2( )log ()af xaxx2,4考点考点 2 函数的奇偶性函数的奇偶性1判定函数的奇偶性2已知函数的奇偶性,求有关参数的值3利用函数的奇偶性解决与关于原点对称区间上的有关问题,【例 5】若是偶函数,则_ axexfx1ln3a【解析】函数为偶函数,故,3( )ln(1)xf xeax()( )fxf x即,化简得,33ln(1)ln(1)xxeaxeax3
19、 2 361ln2lnx ax xxeaxeee即,整理得,所以,3 2 361x ax xxeeee32331(1)xaxxxeee 230axx即3 2a 【例 6】已知偶函数在区间上单调增加,则满足的的取( )f x0,)1(21)( )3fxfx值范围是( )A B C D1 2()3 3,1 2 , )3 31 2()2 3,1 2)2 3,【解析】法一:当,即时,由于函数在区间上单调增加,210x 1 2x( )f x0,)则由得,即,故;1(21)( )3fxf1213x 2 3x 12 23x 当,即时,由于函数是偶函数,故,此210x 1 2x ( )f x(21)(1 2
20、)fxfx时,由得,即,故1 20x1(21)( )3fxf11 23x1 3x 11 32x综上知的取值范围是故选 Ax1 2()3 3,法二:因为是偶函数,所以,( )f x( )(|)f xfx高考数学一轮第四讲 第 11 页共 14 页 所以不等式等价于1(21)( )3fxf1(|21|)( )3fxf又在区间上单调增加,所以,( )f x0,)1|21|3x即,即故选 A112133x 12 33x点拨:(1)函数的奇偶性实质上是函数的图象关于原点对称区间上的对称性,因此涉及奇函数或偶函数的问题,我们应充分利用这一对称性来分析解决问题(2)涉及偶函数的不等关系确定变量的取值范围等问
21、题,解题时应注意性质“”的灵活运用( )(|)f xfx【例 7】已知定义在上的奇函数和偶函数满足R( )f x( )g x( )( )2xxf xg xaa(且),若,则=0a 1a (2)ga(2)fA2 B415C417D2a【解析】因为是奇函数, 是偶函数,( )f x( )g x所以由 ( )( )2xxf xg xaa得 ()()2xxfxgxaa+,得,得( )2g x ( )xxf xaa又,所以,所以,(2)ga2a ( )22xxf x所以故选 B2215(2)224f考点考点 3 函数的周期性函数的周期性1判定函数的周期性,求其最小正周期2利用函数的周期性解决有关问题【例
22、 8】定义在上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期若R( )f xT将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为( )( )0f x TT ,nnA0B1C3D5【解析】因为是奇函数且周期为,所以,所以( )f xT(0)0f( )()0f TfT又因为,所以,()()()()2222TTTTffTff ()02Tf()02Tf 高考数学一轮第四讲 第 12 页共 14 页 所以在上至少有 5 个根( )f xTT ,【例 9】设是定义在上且周期为 2 的函数,在区间上,( )f xR 1 1 ,其中若,则的值为 0111 ( )201xxax f xbx x ,abR,13 22ff
23、3ab【解析】因为是定义在上且周期为 2 的函数,所以,从而( )f xR31 22ff又因为=,=,131 222ff 1()2f 112a1( )2f1242 1312bb ,即.由,得=,41132ba 322ab (1)( 1)ff1a 22b故2ba 所以,从而2,4ab 310ab 考点考点 4 图象的对称性图象的对称性1判定图象是否具有某一对称性2由图象具有的对称性得到函数所具有的性质【例 10】已知定义在上的奇函数)(xf,满足(4)( )f xf x ,且在区间上是增R0,2函数,若方程()在区间上有四个不同的根1234,x x x x,则( )f xm0m 8,8_1234
24、=xxxx【解析】因为定义在上的奇函数,满足(4)( )f xf x ,所以(4)()f xfx,所R以,由)(xf为奇函数,所以函数图象关于直线2x 对称且(0)0f,由=(4)f x知(8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为)(xf在区间( )f x上是增函数,所以)(xf在区间上也是增函数如图所示,那么方程0,2 2,0( )f x 在区间上有四个不同的根1234,x x x x,不妨设1234xxxx由m(0)m 8,8高考数学一轮第四讲 第 13 页共 14 页 对称性知1212xx ,344xx,所以12341248xxxx xyf(x)=m(m0)24
25、682468O【例 11】已知函数(,)是奇函数,当21( )axyf xbxc, a cR*bN0a 时有最小值 2,且0x ( )f x5(1)2f(1)求函数的解析式;( )f x(2)函数图象上是否存在关于点对称的两点?若存在,求出点的坐标;若不( )f x(1,0)存在,说明理由【解析】 (1)是奇函数,( )f x,即,所以,所以()( )fxf x 2211axax bxcbxc bxcbxc0c ,当时,有,0,0ab0x 2211( )2axaaf xxbxbbxb当且仅当时等号成立,于是,1xa222a b2ab由得,即,5(1)2f15 2a b215 2b b,解得,又,22520bb122b*bN,故1b 1a 1( )f xxx(2)假设存在一点在的图象上,并且关于点的对称点00(,)xy( )yf x(1,0)也在图象上,00(2,)xy( )yf x高考数学一轮第四讲 第 14 页共 14 页 则,所以消去得,解得2 0 02 02 0 0 01(2)1 2xyxxyx 0y2 00210xx 012x 所以图象上存在两点,关于对称( )yf x(12,2 2)(12, 2 2)(1,0)本专题试题训练详见试题精练
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