I第八讲 主干考点 不等式.doc
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1、第八讲第八讲 主干考点主干考点 不等式不等式【名师高考导航名师高考导航】不等式部分的内容是高考考查较为稳定的一个热点,对于不等式的综合应用有以下明显的特点:不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数等有关内容结合在一起的综合试题较多,单独考查不等式的问题很少,不等式的证明考得比较频繁,所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法,但放缩法作为一种辅助方法不容忽视对于不等式恒成立问题,若是求参数的取值范围可采用分离参数法,若是证明恒成立问题可通过求函数的最值来证明而线性规划问题的难点在于命题的多样化和不确定性求面积、极值、最值的问题在数列、函数、向量、几何问题中逐步成为命题的热点【考点思维脑图考点思
2、维脑图】【重要考点串讲重要考点串讲】1不等式的基本性质不等式的基本性质;abba,ab bcacabacbc;,0ab cacbc,0ab cacbc(,)0abnnabn*N2n(,)0abnnabn*N2n2一元二次不等式与相应的一元二次方程及二次函数关系求解一元二次不等式与相应的一元二次方程及二次函数关系求解判别式24bac 0 0 0 2yaxbxc(0)a xyO x2x1xyx1= x2OxyO20axbxc(0)a 有两个相异实根,1x2x12()xx有两个相等实根122bxxa 没有实数根20axbxc或1 |x xx2xx |,2bx xxa RR20axbxc12 |x x
3、xx3二元一次不等式表示的平面区域的判定方法二元一次不等式表示的平面区域的判定方法(1)特殊点法以为例,直线不过原点,也不与坐标轴重合,先面0AxByC0AxByC出直线定边界(注意是虚线) ,再取原点检验,将原点坐标代人0AxByC,若满足不等式,则不等式表示的平面区域为原点所在的一AxByC0AxByC侧,否则为另一侧;如果过原点,则取轴(或轴)上一点,如(1,0)0AxByCxy检验,结论同上,简称直线定界,特殊点定域(2)系数法,即值判断法B区域 区域不等式,0A 0B ,0A 0B 0AxByC直线的右0AxByC上方图 1直线的右0AxByC下方图 20AxByC直线的左0AxBy
4、C下方图 3直线的左0AxByC上方图 44有关线性规划问题的解法有关线性规划问题的解法画出可行域注意区域边界的虚线根据目标函数的几何意义确定最优解求出目标函数的最值【注意】对含实际背景的问题,应先设置两个变量,建立约束条件和目标函数还有实际问题对变量的限制5基本不等式基本不等式(1) 如果,那么(当且仅当时取“=” ) *, a bR2ababab常用的基本不等式:()222abab, a bR()22 2()22ababab, a bR() ;222 1122abababab*, a bR(,同号且不为 0)2ba abab【提醒】在利用均值定理求最值时,要紧扣“一正、二定、三相等”的条件
5、,每个项都必须为正值各项的值相等时,等号成立不等式的另一边必须为定值多次使用基本不等式解决同一问题时,要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性(2)最值问题:已知,都是正数,xy积是定值 P,则时,即“积定和最小” xyxy2xyP和是定值,则时,即“和定积最大” xySxy24Sxy6常见不等式的解法常见不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式(),再求相应一元二次方程20axbxc0a 20axbxc()的根,最后由相应二次函数的图象与轴的位置关系确定一元二次不等式的解集,0a x两个常用的结论()恒成立的条件是,20axbxc0a 00a ()恒成立的条件是20ax
6、bxc0a 00a (2)简单分式不等式的解法()();( )0( )f x g x0( ) ( )0f x g x 0()()且( )0( )f x g x0( ) ( )0f x g x 0( )0g x 【方法技巧突破方法技巧突破】必考点必考点 1 不等式的解法不等式的解法【典例 1】 (2016 浙江)已知,且,若,则a0b 1a 1b log1ab A(1)(1)0ab B(1)()0aabC(1)()0bbaD(1)()0bba【解析】根据题意,或log1ab loglog0aabalog0ab a0101ab a,即或当时,11ab a01 0a ba 1aba 01 0a ba
7、 01ba10b ;当时,0ba1aba 1ba10b 0ba(1)()0bba故选 D【思路点拨】解对数不等式一定要依据对数的性质,注意对底数的分类讨论【典例 2】已知是自然对数的底数,函数的定义域为,e( )f xR( )( )222f xfx,则不等式的解集为(0)8fln7( ) 11xf x eA(,0) B(0,+) C(1,+) D(,1)【解析】依题意, ln7( ) 11xf x eln7( ) 1xf xe 7( ) 1xf xe ( )7xxe f xe令,则,( )70xxe f xe( )( )7xxF xe f xe( ) ( )( ) 1xF xef xfx因为,
8、所以,( )( )( )( )122222f xfxf xfx( )( )1f xfx故,所以函数在上单调递增,( ) ( )( ) 10xF xef xfx( )F xR又,所以,故的解集为(0,+),(0)8f(0)(0) 1 70Ff ( )0F x 即不等式的解集为(0,+),选 Bln7( ) 11xf x e【思路点拨】本题考查不等式的解集、导数的应用等,解题的关键是构造新函数,利用新函数的单调性求解【典例 3】已知一元二次不等式的解集为或,则的( )0f x |1x x 1 2x (10 )0xf解集为 ( )A或 B |1x x lg2x | 1lg2xx C D |lg2x
9、x |lg2x x 【解析】解法一 由题意可知的解集为,故等价于( )0f x 1 | 12xx (10 )0xf,由指数函数的值域为,知一定有,而可化为11 102x (0,)101x 1102x,即由指数函数的单调性可知,故选 D1lg21010xlg21010xlg2x 解法二 当时,排除 A,C 选项,当时,排除1x (10)0f1x 1()010fB 选项,选 D【方法探究】对于常规不等式的求解,无论题目怎么设置,最终还是要回归到一元一次不等式和一元二次不等式的求解上本题中给出的是一元二次不等式的解集,( )0f x 其实可以转化为求的解集,最终把所求不等式转化为的( )0f x (
10、10 )0xf11 102x 形式,再由指数函数的单调性求解即可【典例 4】若不等式的解集为,则的取值范围是 2210mxmx Rm【解析】当时,10 显然成立0m 当,由条件知得0m 20 440m mm 01m由知01m 【方法探究】含参数的一元二次不等式的解法(1)含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若因式不易分解,则可对判别式进行分类讨论,注意分类要做到不重不漏(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便确定解集的形式如本题就是二次项系数为参数的不等式必考点必考点 2 不等式恒成立问题的求解
11、不等式恒成立问题的求解【典例 1】(2017 天津已知函数设,若关于的不等式23,1, ( )2,1.xxx f xxxx aRx在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是( )|2xf xaA B C D47,21647 39,16 16 2 3,239 2 3,16【解析】解法一 根据题意,作出的大致图象,如图所示( )f xxyy=f(x)1O当时,若要恒成立,结合图象,只需,即1x( )|2xf xa23()2xxxa,故对于方程,解2302xxa 2302xxa 21()4(3)02a 得;当时,若要恒成立,结合图象,只需47 16a1x ( )|2xf xa,即,又,当且仅当,即时等号
12、成2 2xxax2 2xax222x x2 2x x2x 立,所以,综上,的取值范围是选 A2aa47,216解法二 由题意的最小值为,此时不等式在 R 上恒成( )f x11 41 2x ( )|2xf xa立等价于在 R 上恒成立11|24xa当时,令,不符合,排除 C、D;2 3a 1 2x 8 3111|2 3 | |248x当时,令,不符合,排除 B选 A39 16a 1 2x 394311| |216168x【思路点拨】处理此类试题的关键是准确画出函数的图象,求出临界点【典例 2】若不等式在(1,2)上恒成立,则的取值范围是 240xmxm【解析】解法一(分离参数法) 当时,不等式
13、恒成立等价于(1,2)x240xmx在(1,2)上恒成立,设,244()xmxxx 4( )()xxx (1,2)x则故4( )()xxx ( 5, 4) 5m所以的取值范围为m(, 5 解法二(数形结合法)设,因为当时,2( )4f xxmx(1,2)x不等式恒成立,240xmx所以,即,解得(1)0 (2)0f f 50 820m m 5m所以的取值范围为m(, 5 【方法探究】求解含参不等式恒成立问题的常用方法(1)变换主元,转化为一次函数问题(2)转化为二次函数或二次方程,利用根的判别式或数形结合思想求解,如本题的解法二(3)分离参变量,构造函数求最值如本题的解法一【题型总结】不等式恒
14、成立问题常考的两种题型一是已知不等式恒成立,求字母参数的取值范围,一般利用分离参数转化为求新函数的最值问题,如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时,一般选择函数的方法,通常利用函数的最值解决二是证明不等式恒成立,在函数中一般选择以算代证,即通过求函数的最值证明不等式;在数列中,很多时候可以与放缩法结合起来,对所证不等式的一侧进行适当放大或缩小,来证明不等式【典例 3】已知,若对任意的,3( )ln144xf xxx2( )24g xxax1(0,2)x 存在使成立,则实数的取值范围是 21,2x 12()()f xg xa【解析】,则在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,2(3)(1
15、)( )4xxfxx( )f xmin1( )(1)2f xf 的图象的对称轴是2( )24g xxaxxa时,在上单调递增,有,1a( )g x1,2min1( )(1)=522g xga11 4a不合题意时,在上单调递减,2a( )g x1,2min1( )(2)=842g xga有17 8a时,有,不合题意12a2 min1( )( )=42g xg aa3 2 2a综上可知,17 8a【思路点拨】 “对任意的,存在使成立”可以转化1(0,2)x 21,2x 12()()f xg x为“” 1 min2min()()f xg x【方法探究】存在性问题的解题方法是分离参数和构造函数,只是在
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- 第八 主干 考点 不等式
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