第5讲 静电场(III)(B422).ppt
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1、电磁场与电磁波主讲:李龙主讲:李龙Field and Wave electromagnetics3/13/20233/13/2023Reviewn n电偶极子电偶极子n n介质极化介质极化n n束缚电荷束缚电荷n n介质高斯定理介质高斯定理n n介质中的场方程介质中的场方程n n静电场边界条件静电场边界条件LilongL2 2静电场边界条件n n如果电场中存在两种或两种以上的介质,由于极化效应,如果电场中存在两种或两种以上的介质,由于极化效应,如果电场中存在两种或两种以上的介质,由于极化效应,如果电场中存在两种或两种以上的介质,由于极化效应,在不同介质的交界面上产生一层束缚面电荷,这层面电荷在
2、不同介质的交界面上产生一层束缚面电荷,这层面电荷在不同介质的交界面上产生一层束缚面电荷,这层面电荷在不同介质的交界面上产生一层束缚面电荷,这层面电荷在分界面两边产生的场是不一样的,因此在分界面上电场在分界面两边产生的场是不一样的,因此在分界面上电场在分界面两边产生的场是不一样的,因此在分界面上电场在分界面两边产生的场是不一样的,因此在分界面上电场强度和电位移都将发生强度和电位移都将发生强度和电位移都将发生强度和电位移都将发生突变突变突变突变。n n介质分界面上各个场量发生突变的规律即为介质分界面上各个场量发生突变的规律即为介质分界面上各个场量发生突变的规律即为介质分界面上各个场量发生突变的规律
3、即为边界条件边界条件边界条件边界条件。n n推导边界条件应从积分形式的基本方程出发推导边界条件应从积分形式的基本方程出发推导边界条件应从积分形式的基本方程出发推导边界条件应从积分形式的基本方程出发LilongL3 3静电场边界条件n n电场强度电场强度电场强度电场强度E E的边界条件的边界条件的边界条件的边界条件 在界面上某点处取闭合矩形回路在界面上某点处取闭合矩形回路在界面上某点处取闭合矩形回路在界面上某点处取闭合矩形回路l l,其长边分别位于介,其长边分别位于介,其长边分别位于介,其长边分别位于介质质质质1 1和介质和介质和介质和介质2 2中,且紧贴界面,即中,且紧贴界面,即中,且紧贴界面
4、,即中,且紧贴界面,即 h h0 0;为该点处切线方向单位矢量,显然有为该点处切线方向单位矢量,显然有为该点处切线方向单位矢量,显然有为该点处切线方向单位矢量,显然有 为该点处法线方向单位矢量;为该点处法线方向单位矢量;为该点处法线方向单位矢量;为该点处法线方向单位矢量;界面两侧的电场强度分别为界面两侧的电场强度分别为界面两侧的电场强度分别为界面两侧的电场强度分别为 静电场电场强度满足:静电场电场强度满足:静电场电场强度满足:静电场电场强度满足:介质介质1 1介质介质2 2hlLilongL4 4静电场边界条件n n由于由于由于由于h h0 0,路径,路径,路径,路径l l在在在在h h方向的
5、两条边上的积分方向的两条边上的积分方向的两条边上的积分方向的两条边上的积分0 0 n n由于由于由于由于l l足够小,电场强度在足够小,电场强度在足够小,电场强度在足够小,电场强度在 上可看作常矢;上可看作常矢;上可看作常矢;上可看作常矢;n n在介质交界面上,电场强度的切向分量连续在介质交界面上,电场强度的切向分量连续在介质交界面上,电场强度的切向分量连续在介质交界面上,电场强度的切向分量连续LilongL5 5静电场边界条件n n电位移电位移电位移电位移DD的边界条件的边界条件的边界条件的边界条件 设界面上某点处取一个很小的柱面设界面上某点处取一个很小的柱面设界面上某点处取一个很小的柱面设
6、界面上某点处取一个很小的柱面S S,两底面分别处于,两底面分别处于,两底面分别处于,两底面分别处于介质介质介质介质1 1、2 2中,其底面面积为中,其底面面积为中,其底面面积为中,其底面面积为S S 法向单位矢量法向单位矢量法向单位矢量法向单位矢量 从介质从介质从介质从介质1 1指向介质指向介质指向介质指向介质2 2;柱面侧面平行于柱面侧面平行于柱面侧面平行于柱面侧面平行于 柱面上下底面紧贴界面柱面上下底面紧贴界面柱面上下底面紧贴界面柱面上下底面紧贴界面h h0 0 界面两侧的电位移分别为界面两侧的电位移分别为界面两侧的电位移分别为界面两侧的电位移分别为 静电场电位移满足:静电场电位移满足:静
7、电场电位移满足:静电场电位移满足:介质介质1 1介质介质2 2hSLilongL6 6静电场边界条件n n由于由于由于由于h h0 0,电位移在侧面的积分,电位移在侧面的积分,电位移在侧面的积分,电位移在侧面的积分0 0;n nS S 很小,底面上的电位移可看作常矢;很小,底面上的电位移可看作常矢;很小,底面上的电位移可看作常矢;很小,底面上的电位移可看作常矢;n nQQ为为为为S S所包含的自由电荷,若界面上有密度为所包含的自由电荷,若界面上有密度为所包含的自由电荷,若界面上有密度为所包含的自由电荷,若界面上有密度为 s s的自由电的自由电的自由电的自由电荷,则荷,则荷,则荷,则n n电位移
8、法向分量在有自由面电荷的介质交界面上不连续,电位移法向分量在有自由面电荷的介质交界面上不连续,电位移法向分量在有自由面电荷的介质交界面上不连续,电位移法向分量在有自由面电荷的介质交界面上不连续,在无自由面电荷的介质交界面上连续在无自由面电荷的介质交界面上连续在无自由面电荷的介质交界面上连续在无自由面电荷的介质交界面上连续LilongL7 7静电场边界条件n n导体的边界条件导体的边界条件导体的边界条件导体的边界条件 导体内部电场为导体内部电场为导体内部电场为导体内部电场为0 0,因而,因而,因而,因而 在导体表面上:在导体表面上:在导体表面上:在导体表面上:n n电场强度只有法向分量电场强度只
9、有法向分量电场强度只有法向分量电场强度只有法向分量n n电位移的法向分量等于导体表面上的电荷密度电位移的法向分量等于导体表面上的电荷密度电位移的法向分量等于导体表面上的电荷密度电位移的法向分量等于导体表面上的电荷密度LilongL8 8第5讲 静电场中的导体系统n n当电场中存在导体时,在外电场的作用下导体内部的电子当电场中存在导体时,在外电场的作用下导体内部的电子当电场中存在导体时,在外电场的作用下导体内部的电子当电场中存在导体时,在外电场的作用下导体内部的电子做宏观运动,其结果是:做宏观运动,其结果是:做宏观运动,其结果是:做宏观运动,其结果是:一方面影响导体外的电场分布;一方面影响导体外
10、的电场分布;一方面影响导体外的电场分布;一方面影响导体外的电场分布;另一方面使导体内部的总电场为零另一方面使导体内部的总电场为零另一方面使导体内部的总电场为零另一方面使导体内部的总电场为零。n n物理解释:重新分布的电荷会在导体内产生相应的电场,物理解释:重新分布的电荷会在导体内产生相应的电场,物理解释:重新分布的电荷会在导体内产生相应的电场,物理解释:重新分布的电荷会在导体内产生相应的电场,而该电场与外电场的方向相反,当电荷的宏观运动达到平而该电场与外电场的方向相反,当电荷的宏观运动达到平而该电场与外电场的方向相反,当电荷的宏观运动达到平而该电场与外电场的方向相反,当电荷的宏观运动达到平衡时
11、(即分布达到稳定状态),分布电荷的电场恰与外部衡时(即分布达到稳定状态),分布电荷的电场恰与外部衡时(即分布达到稳定状态),分布电荷的电场恰与外部衡时(即分布达到稳定状态),分布电荷的电场恰与外部电场相互抵消。电场相互抵消。电场相互抵消。电场相互抵消。n n平衡状态时的导体成为等位体,表面成为等位面平衡状态时的导体成为等位体,表面成为等位面平衡状态时的导体成为等位体,表面成为等位面平衡状态时的导体成为等位体,表面成为等位面LilongL9 9第5讲 静电场中的导体系统n n导体系统的电容n n电场能量n n能量密度n n电场力LilongL1010导体系统的电容n n静电平衡时,导体内部电场为
12、零,导体本身是等位体;静电平衡时,导体内部电场为零,导体本身是等位体;静电平衡时,导体内部电场为零,导体本身是等位体;静电平衡时,导体内部电场为零,导体本身是等位体;n n导体表面是等位面,内部无电荷,电荷分布在导体表面;导体表面是等位面,内部无电荷,电荷分布在导体表面;导体表面是等位面,内部无电荷,电荷分布在导体表面;导体表面是等位面,内部无电荷,电荷分布在导体表面;n n在多导体系统中,每个导体携带电荷一定,它们的电位及在多导体系统中,每个导体携带电荷一定,它们的电位及在多导体系统中,每个导体携带电荷一定,它们的电位及在多导体系统中,每个导体携带电荷一定,它们的电位及其电荷面密度完全由各导
13、体几何形状、相对位置和导体间其电荷面密度完全由各导体几何形状、相对位置和导体间其电荷面密度完全由各导体几何形状、相对位置和导体间其电荷面密度完全由各导体几何形状、相对位置和导体间介质特性等系统结构参数决定;介质特性等系统结构参数决定;介质特性等系统结构参数决定;介质特性等系统结构参数决定;n n为描述这种关系,引入电位系数、电容系数及部分电容的为描述这种关系,引入电位系数、电容系数及部分电容的为描述这种关系,引入电位系数、电容系数及部分电容的为描述这种关系,引入电位系数、电容系数及部分电容的概念。概念。概念。概念。LilongL1111导体系统的电容n n带有等值异号电荷的两个导体构成一个电容
14、器带有等值异号电荷的两个导体构成一个电容器带有等值异号电荷的两个导体构成一个电容器带有等值异号电荷的两个导体构成一个电容器n n电容是描述这两个导体系统物理属性的一个物理量电容是描述这两个导体系统物理属性的一个物理量电容是描述这两个导体系统物理属性的一个物理量电容是描述这两个导体系统物理属性的一个物理量 其大小与导体的形状、尺寸、相对位置以及导体周围其大小与导体的形状、尺寸、相对位置以及导体周围其大小与导体的形状、尺寸、相对位置以及导体周围其大小与导体的形状、尺寸、相对位置以及导体周围的介质有关。的介质有关。的介质有关。的介质有关。电容与两导体所带电荷及其间电位差有如下关系:电容与两导体所带电
15、荷及其间电位差有如下关系:电容与两导体所带电荷及其间电位差有如下关系:电容与两导体所带电荷及其间电位差有如下关系:n n电容与导体的带电情况无关。(电容与导体的带电情况无关。(电容与导体的带电情况无关。(电容与导体的带电情况无关。(,而,而,而,而E E与与与与q q成正比)成正比)成正比)成正比)n n一个孤立的导体可认为是它与无穷远处的导体构成的一个一个孤立的导体可认为是它与无穷远处的导体构成的一个一个孤立的导体可认为是它与无穷远处的导体构成的一个一个孤立的导体可认为是它与无穷远处的导体构成的一个特殊的电容器特殊的电容器特殊的电容器特殊的电容器LilongL1212导体系统的电容n孤立导体
16、的电容孤立导体的电容aoQ【定义定义】孤立导体电容孤立导体电容C定义为导体电荷定义为导体电荷Q与与导体电位导体电位V之比:之比:(F)法拉法拉【Note】C 与与Q 和和 V 无关,它是导体的内禀量。无关,它是导体的内禀量。电容电容C是导体最重要的是导体最重要的固有特征量固有特征量。它只与导体的形状、分布。它只与导体的形状、分布以及周围的介质分布有关,而与导体面上分布的电荷、导体上的以及周围的介质分布有关,而与导体面上分布的电荷、导体上的电位无关。电位无关。LilongL1313n双导体的电容双导体的电容导体系统的电容 在电磁工程中,双导体电容器是应用最广的物理参量,其在电磁工程中,双导体电容
17、器是应用最广的物理参量,其基本模型如图:基本模型如图:【定义定义】双导体电容器的电容双导体电容器的电容C定义为其中一个导体的正电荷定义为其中一个导体的正电荷Q与双导体之间的电位差与双导体之间的电位差V12之比:之比:LilongL1414导体系统的电容n n电容的求法通常遵循以下步骤电容的求法通常遵循以下步骤电容的求法通常遵循以下步骤电容的求法通常遵循以下步骤:1.1.对给定的几何形状,选取一个合适的坐标系;对给定的几何形状,选取一个合适的坐标系;对给定的几何形状,选取一个合适的坐标系;对给定的几何形状,选取一个合适的坐标系;2.2.假设导体上的电荷假设导体上的电荷假设导体上的电荷假设导体上的
18、电荷Q Q 和和和和Q Q;3.3.根据根据根据根据GaussGauss定理或其他的积分关系,从定理或其他的积分关系,从定理或其他的积分关系,从定理或其他的积分关系,从Q Q求电场求电场求电场求电场E E;4.4.从带从带从带从带Q Q的导体到的导体到的导体到的导体到Q Q 的另一导体进行下面的积分运算的另一导体进行下面的积分运算的另一导体进行下面的积分运算的另一导体进行下面的积分运算 5.5.由电容定义求出电容。由电容定义求出电容。由电容定义求出电容。由电容定义求出电容。LilongL1515导体系统的电容n n例例例例 平行双导线单位长电容平行双导线单位长电容平行双导线单位长电容平行双导线
19、单位长电容()n n 解解解解 因为因为因为因为 ,导线上的电荷分布可看作是密度为,导线上的电荷分布可看作是密度为,导线上的电荷分布可看作是密度为,导线上的电荷分布可看作是密度为 l l的线电荷,由高斯定理可知:的线电荷,由高斯定理可知:的线电荷,由高斯定理可知:的线电荷,由高斯定理可知:LilongL1616导体系统的电容在在在在x x轴上轴上轴上轴上两导体间电压为:两导体间电压为:两导体间电压为:两导体间电压为:单位长度电容:单位长度电容:单位长度电容:单位长度电容:LilongL1717导体系统的电容n平行板电容器平行板电容器n同轴线电容器同轴线电容器LilongL1818n电容器的串联
20、和并联电容器的串联和并联导体系统的电容串联串联并联并联LilongL1919导体系统的电容n n电位系数电位系数电位系数电位系数 在在在在n n个导体组成的系统中,空间任一点处个导体组成的系统中,空间任一点处个导体组成的系统中,空间任一点处个导体组成的系统中,空间任一点处电位由所有导体表面的电荷产生;电位由所有导体表面的电荷产生;电位由所有导体表面的电荷产生;电位由所有导体表面的电荷产生;任一导体的电位也由各个导体表面电荷共任一导体的电位也由各个导体表面电荷共任一导体的电位也由各个导体表面电荷共任一导体的电位也由各个导体表面电荷共同决定,由叠加原理知,导体同决定,由叠加原理知,导体同决定,由叠
21、加原理知,导体同决定,由叠加原理知,导体i i上的电位由上的电位由上的电位由上的电位由n n部分组成:部分组成:部分组成:部分组成:其中,其中,其中,其中,ij ij表示导体表示导体表示导体表示导体j j对导体对导体对导体对导体i i电位的贡献电位的贡献电位的贡献电位的贡献 显然,显然,显然,显然,ij ij正比于导体正比于导体正比于导体正比于导体j j的带电总量的带电总量的带电总量的带电总量 P Pij ij 称之为电位系数,它表征了导体称之为电位系数,它表征了导体称之为电位系数,它表征了导体称之为电位系数,它表征了导体j j带带带带1C1C正电荷而其余导体不带电时导体正电荷而其余导体不带电
22、时导体正电荷而其余导体不带电时导体正电荷而其余导体不带电时导体i i的电位的电位的电位的电位inj1n多导体系统的电容多导体系统的电容LilongL2020导体系统的电容n n将该式通过线性方程组表示出来:将该式通过线性方程组表示出来:将该式通过线性方程组表示出来:将该式通过线性方程组表示出来:n n亦可写成矩阵形式亦可写成矩阵形式亦可写成矩阵形式亦可写成矩阵形式LilongL2121导体系统的电容n n以以以以P Pij ij为例,由电位系数的定义可知:为例,由电位系数的定义可知:为例,由电位系数的定义可知:为例,由电位系数的定义可知:导体导体导体导体j j带正电,电力线自导体带正电,电力线
23、自导体带正电,电力线自导体带正电,电力线自导体j j出发,出发,出发,出发,终止于导体终止于导体终止于导体终止于导体i i上或终止于地面上。上或终止于地面上。上或终止于地面上。上或终止于地面上。导体导体导体导体i i不带电,有多少电力线终止于不带电,有多少电力线终止于不带电,有多少电力线终止于不带电,有多少电力线终止于它,就有多少电力线自它发出,所它,就有多少电力线自它发出,所它,就有多少电力线自它发出,所它,就有多少电力线自它发出,所发出的电力线不是终止于其它导体发出的电力线不是终止于其它导体发出的电力线不是终止于其它导体发出的电力线不是终止于其它导体上,就是终止于地面。上,就是终止于地面。
24、上,就是终止于地面。上,就是终止于地面。电位沿电力线下降,其它导体电位电位沿电力线下降,其它导体电位电位沿电力线下降,其它导体电位电位沿电力线下降,其它导体电位必介于导体必介于导体必介于导体必介于导体j j的电位和地面电位之间的电位和地面电位之间的电位和地面电位之间的电位和地面电位之间 电位系数在互易介质中电位系数在互易介质中电位系数在互易介质中电位系数在互易介质中inj1GroundLilongL2222导体系统的电容n n电容系数电容系数电容系数电容系数 显然,显然,显然,显然,为为为为p p的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 ,是是是是p p的行列式,的行列式,的行列式,的行列式,MMij
25、 ij是是是是P Pij ij的代数余子式的代数余子式的代数余子式的代数余子式 互易介质中:互易介质中:互易介质中:互易介质中:方程组形式:方程组形式:方程组形式:方程组形式:LilongL2323导体系统的电容n n定义:定义:定义:定义:ij ij为电容系数。为电容系数。为电容系数。为电容系数。n n物理意义:物理意义:物理意义:物理意义:导体导体导体导体j j电位为电位为电位为电位为1 1V V,其余导体接,其余导体接,其余导体接,其余导体接地时导体地时导体地时导体地时导体i i上的感应电荷量为上的感应电荷量为上的感应电荷量为上的感应电荷量为 ij ijn n显然,导体显然,导体显然,导
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