矩阵分析学习.pptx
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1、 第三章 内积空间,正规矩阵与H-阵定义:设 是实数域 上的 维线性空间,对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个实数,这个实数称为 与 的内积,记为 ,并且要求内积满足下列运算条件:第1页/共134页这里 是 中任意向量,为任意实数,只有当 时 ,我们称带有这样内积的 维线性空间 为欧氏空间。例 1 在 中,对于规定容易验证 是 上的一个内积,从而 成为一个欧氏空间。如果规定第2页/共134页容易验证 也是 上的一个内积,这样 又成为另外一个欧氏空间。例 2 在 维线性空间 中,规定容易验证这是 上的一个内积,这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。例 3 在线性空间 中,规定第3页/
2、共134页容易验证 是 上的一个内积,这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。定义:设 是复数域 上的 维线性空间,对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个复数,这个复数称为 与 的内积,记为 ,并且要求内积满足下列运算条件:第4页/共134页这里 是 中任意向量,为任意复数,只有当 时 ,我们称带有这样内积的 维线性空间 为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。例 1 设 是 维复向量空间,任取第5页/共134页规定容易验证 是 上的一个内积,从而 成为一个酉空间。例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间,定义第6页/共134页容易验证 是 上的一个内积,于是 便成
3、为一个酉空间。例 3 在 维线性空间 中,规定其中 表示 中所有元素取共轭复数后再转置,容易验证 是 上的一个内积,从而 连同这个内积一起成为酉空间。内积空间的基本性质:第7页/共134页欧氏空间的性质:第8页/共134页酉空间的性质:第9页/共134页定义:设 是 维酉空间,为其一组基底,对于 中的任意两个向量那么 与 的内积令第10页/共134页称 为基底 的度量矩阵,而且定义:设 ,用 表示以 的元素的共轭复数为元素组成的矩阵,记第11页/共134页则称 为 的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质:第12页/共134页定义:设 ,如果 ,那么称 为Hermite矩阵;如果
4、,那么称 为反Hermite矩阵。例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。第13页/共134页第14页/共134页第15页/共134页(5)实对称矩阵(6)反实对称矩阵(7)欧氏空间的度量矩阵(8)酉空间的度量矩阵内积空间的度量定义:设 为酉(欧氏)空间,向量 的长度定义为非负实数例 在 中求下列向量的长度第16页/共134页解:根据上面的公式可知一般地,我们有:对于 中的任意向量其长度为第17页/共134页这里 表示复数 的模。定理:向量长度具有如下性质 当且仅当 时,第18页/共134页例 1:在线性空间 中,证明例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间,证明:对于任意的
5、,我们有第19页/共134页定义:设 为欧氏空间,两个非零向量 的夹角定义为于是有定理:第20页/共134页因此我们引入下面的概念;定义:在酉空间 中,如果 ,则称 与 正交。定义:长度为1的向量称为单位向量,对于任何一个非零的向量 ,向量总是单位向量,称此过程为单位化。第21页/共134页标准正交基底与Schmidt正交化方法定义:设 为一组不含有零向量的向量组,如果 内的任意两个向量彼此正交,则称其为正交的向量组。定义:如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量,则称此向量组为标准的正交向量组。例 在 中向量组第22页/共134页与向量组都是标准正交向量组。第23页/共134页定义:在
6、维内积空间中,由 个正交向量组成的基底称为正交基底;由 个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。注意:标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。定理:向量组 为正交向量组的充分必要条件是;向量组 为标准正交向量组的充分必要条件是第24页/共134页定理:正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之,由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组,甚至是一个标准正交向量组。Schmidt正交化与单位化过程:设 为 维内积空间 中的 个线性无关的向量,利用这 个向量完全可以构造一个标准正交向量组。第25页/共134页第一步 正交化容易验证 是一个正交向量组。第26页/共134页第二步
7、单位化显然 是一个标准的正交向量组。例 1 运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。解:先正交化 第27页/共134页再单位化 第28页/共134页那么 即为所求的标准正交向量组。例 2 求下面齐次线性方程组第29页/共134页其解空间的一个标准正交基底。解:先求出其一个基础解系下面对 进行正交化与单位化:第30页/共134页即为其解空间的一个标准正交基底。第31页/共134页 酉变换与正交变换定义:设 为一个 阶复矩阵,如果其满足则称 是酉矩阵,一般记为 设 为一个 阶实矩阵,如果其满足则称 是正交矩阵,一般记为 第32页/共134页例:是一个正交矩阵第33页/共134页是一个正交
8、矩阵是一个正交矩阵第34页/共134页(5)设 且 ,如果 则 是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。是一个酉矩阵第35页/共134页酉矩阵与正交矩阵的性质:设 ,那么设 ,那么第36页/共134页定理:设 ,是一个酉矩阵的充分必要条件为 的 个列(或行)向量组是标准正交向量组。定义:设 是一个 维酉空间,是 的一个线性变换,如果对任意的 都有第37页/共134页则称 是 的一个酉变换。定理:设 是一个 维酉空间,是 的一个线性变换,那么下列陈述等价:(1)是酉变换;(3)将 的标准正交基底变成标准正交基底;(4)酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。注意:关于正交变换也有类似的
9、刻划。第38页/共134页 幂等矩阵定义:设 ,如果 满足则称 是一个幂等矩阵。例是一个分块幂等矩阵。第39页/共134页幂等矩阵的一些性质:设 是幂等矩阵,那么有(1)都是幂等矩阵;(2)(3)(4)的充分必要条件是(5)第40页/共134页定理:设 是一个秩为 的 阶矩阵,那么 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在 使得推论:设 是一个 阶幂等矩阵,则有定义:设 为一个 维标准正交列向量组,那么称 型矩阵 第41页/共134页为一个次酉矩阵。一般地将其记为定理:设 为一个 阶矩阵,则 的充分必要条件是存在一个 型次酉矩阵 使得其中 。第42页/共134页引理:的充分必要条件是证明:设 ,那么
10、第43页/共134页必要性:如果 为一个 维标准正交列向量组,那么第44页/共134页第45页/共134页充分性:设 ,那么由 ,可得第46页/共134页第47页/共134页即这表明 是一个 维标准正交列向量组。定理的证明:必要性:因 ,故 有 个线性无关的列向量,将这 个列向量用Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量,以这 个向量为列构成一个 型次酉矩阵第48页/共134页 。注意到 的 个列向量都可以由 的 个列向量线性表出。即如果那么可得第49页/共134页第50页/共134页其中,由于向量组 的秩为 ,所以 的秩为 。第51页/共134页下面证明 。由 可得 ,即注意到 ,所以即
11、因为 ,所以 ,这样得到于是第52页/共134页充分性:若 ,则Schur引理与正规矩阵定义:设 ,若存在 ,使得则称 酉相似(或正交相似)于 定理(Schur引理):任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。第53页/共134页证明:用数学归纳法。的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立,考虑 的阶数为 时的情况。取 阶矩阵 的一个特征值 ,对应的单位特征向量为 ,构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ,因为 构成 的一个标准正交基,故第54页/共134页,因此其中 是 阶矩阵,根据归纳假设,存在 阶酉矩阵 满足(上三角矩阵)第55页/共134页令那么第56页/共134页注意:等
12、号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵 的全部特征值.定理(Schur不等式):设 为矩阵 的特征值,那么例:已知矩阵 第57页/共134页试求酉矩阵 使得 为上三角矩阵.解:首先求矩阵 的特征值第58页/共134页所以 为矩阵 的三重特征值.当 时,有单位特征向量再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量第59页/共134页再解与 内积为零的方程组求得一个单位解向量取第60页/共134页计算可得第61页/共134页令第62页/共134页再求矩阵 的特征值所以 为矩阵 的二重特征值.当 时,有单位特征向量第63页/共134页再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量第64页/共134页取计算可得第
13、65页/共134页令于是有第66页/共134页则第67页/共134页矩阵 即为所求的酉矩阵.正规矩阵定义:设 ,如果 满足第68页/共134页那么称矩阵 为一个正规矩阵.设 ,如果 同样满足那么称矩阵 为一个实正规矩阵.例:(1)为实正规矩阵 第69页/共134页 (2)其中 是不全为零的实数,容易验证这是一个实正规矩阵.第70页/共134页 (3)这是一个正规矩阵.(4)H-阵,反H-阵,正交矩阵,酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵.正规矩阵的性质与结构定理第71页/共134页引理 1:设 是一个正规矩阵,则与 酉相似的矩阵一定是正规矩阵.引理 2:设 是一个正规矩阵,且又是三角矩阵,则 必为对角
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