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1、-206 年上海市嘉定区高考一模试卷数学文 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有4 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对 4 分,否则一律得零分.1.22 1lim22nnnn=.解析:分式的分子分母同时除以 n2,利用极限的性质能求出结果.22 1lim22nnnn=2211lim122nnnn=12.答案:12 2设集合=x|220,xR,B=x|11xx0,xR,则 AB=解析:集合x|x2-2x0,|x0 或 x2,R,B=x|11xx0,xR=x|-x且 a)的反函数的图象过点(,-1),31,解得 a=13.答案:13 4已知一组数据,7,8,9,m
2、 的平均数是 8,则这组数据的方差是 .解析:一组数据,7,8,m 的平均数是 8,15(6+7+9+m),解得 m=0,这组数据的方差 S2=15(68)2(7-8)2+(8-)2+(9-8)(08)=2.答案:2 5.在正方体BCD-A1B1C1D中,M 为棱 AB1的中点,则异面直线M 与 BC 所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示).解析:以 D 为原点,A 为 x 轴,C 为轴,DD为 z 轴,建立空间直角坐标系,-设正方体CA11C1D1棱长为 2,则 A(2,0,),(,2),1(2,,2),C(0,0),AM=(,1,2),1BC=(-2,0,),设异面直线 AM 与 B
3、C 所成的角为,11410cos58|5AM BCAMBC.accos105异面直线 A与 B1所成的角为 ao105 答案:arccos105.6.若圆锥的底面周长为,侧面积也为 2,则该圆锥的体积为 .解析:圆锥的底面周长为 2,圆锥的底面半径 r=1,设圆锥母线为 l,则rl2,=,圆锥的高=22lr=3.圆锥的体积132h=33 答案:33.已知sincos21=,则 sn2=.解析:sincos210,sin-cos=,sin2cs25co21,解得s=55,当 cos=-55时,sn=2cos=-2 55,sin2=2ns=2(-2 55)(55)=45,-当 cos=55时,si
4、2c=2 55,n2=ncos=22 5555=45,故in2=45.答案:45.8某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 值是 .解析:模拟执行程序,可得 k,=0 满足条件 k2015,S11 2,=.满足条件 k201,S11 2+12 3,k=3 满足条件 k5,=11 2+12 3+120142015,=2015.满足条件 k2015,11 2+12 3+120142015+12015 2016,k=21 不满足条件 k205,退出循环,输出的值.由于 S=11 2+12 3+120142015+12015 2016=-12+12-13+13-+12015-12016=1120
5、16=20152016.答案:20152016 .过点 P(1,2)的直线与圆 x+y2=4 相切,且与直线 ax-y+1=垂直,则实数的值为 .-解析:当 a=时,直线 ax-y+1=0,即直线 y=1,根据所求直线与该直线垂直,且过点(1,),故有所求的直线为 x=1,此时,不满足所求直线与圆 x2y2=4 相切,故 a0 故要求的直线的斜率为1a,要求的直线的方程为 y-2=1a(x-1),即 x-aya-1=再根据圆心 O 到 x-+2-=0 的距离等于半径 2,可得200211aa=,求得-34 答案:-34 1.从 3 名男同学,名女同学中任选 2 人参加知识竞赛,则选到的 2 名
6、同学中至少有名男同学的概率是 .解析:从 3 名男同学,名女同学中任选人参加知识竞赛,基本事件总数 n=25C=10,选到的 2 名同学中至少有 1 名男同学的对立事件是选到两名女同学,选到的名同学中至少有名男同学的概率:p=22259110CC 答案:910.11.设PA=(,),PB=(,5),PC=(10,),则 k=时,点 A,C共线 解析:PA=(k,12),PB(4,),PC=(10,k),AB=(4-k,),BC(6,-5);又AB与BC共线,(4-k)(k-5)-(-7)60,即 k-9k-2=0,解得 k=2 或=1;当 k-2 或 11 时,点 A,B,C 共线 答案:-2
7、 或 11.1已知122112222nnnnnCCCn80,则=.解析:因为1221112222nnnnnnCCC=(1+)n=1=81,所以 3n=1,n=4.答案:4 13 设数列 an满足2,an1=1na,记数列前 n 项的积为 Pn,则 P2016的值为 -解析:1=2,a+111na,a=12,a3=-,a4=2,,an+3an.a1231.数列前 201项的积 P201=(-)2=1.答案:.14.对于函数 y=f(),若存在定义域 D 内某个区间,b,使得=f(x)在a,b上的值域也为a,b,则称函数 y=(x)在定义域 D 上封闭,如果函数()=41xx在上封闭,则 b-a
8、.解析:f()=41xx=)()44014401xxxx ,设 010,故f(x)在0,+)上是 单调递减函数,又(x)41xx,(-x)-(x),f(x)是奇函数.所以 f(x)在 R 上是单调递减函数,而,+)时,f(x)值域为(-4,0,(-.0)时,(x)值域为(0,4)要使得 y()在a,b上的值域也为a,b,则0,由 f abf ba,得441441baab,得33ab,-6.答案:6 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得分,否则一律得零分.5.“函数 y=sn(x)为偶函数”是“=
9、2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若=2时,y=sin(x)=cos 为偶函数;若 y=sn(x+)为偶函数,则=2+k,Z;-“函数=sin(x)为偶函数”是“2”的必要不充分条件.答案:B 6下列四个命题:任意两条直线都可以确定一个平面;若两个平面有 3 个不同的公共点,则这两个平面重合;直线 a,b,c,若 a 与 b 共面,b 与共面,则与 c 共面;若直线 l 上有一点在平面外,则在平面外.其中错误命题的个数是()A.1.2.3 D.4 解析:在中,两条异面直线不能确定一个平面,故错误;在中,若两个平面有 3 个不共线的公
10、共点,则这两个平面重合,若两个平面有 3 个共线的公共点,则这两个平面相交,故错误;在中,直线 a,c,若 a 与 b 共面,b 与共面,则 a 与 c 不一定共面,如四面体 S-ABC 中,SA 与 AB 共面,AB 与共面,但 SA 与 BC 异面,故错误;在中,若直线上有一点在平面外,则由直线与平面的位置关系得在平面外,故正确 答案:C 1.若椭圆 x2m=1 的焦距为 2,则的值是().12 1 C.2 D4 解析:椭圆+my21 的焦距为 2,121m=2,解得=12.-故选:A 18.已知等比数列n中,各项都是正数,且3a1,12a,22成等差数列,则8967aaaa等于()A.7
11、 8 D.9 解析:a1,12a3,2a2成等差数列,33a1+22,q2q-=0,q3,q=-1(舍去).238917186715161aaa qa qqqaaa qa qq=2=32=9.故选:D 三.解答题(本大题满分 7分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.9.如图,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为 2cm 的正方形,高为0cm,内有c深的溶液.现将此容器倾斜一定角度(图),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图、均为容器的纵截面).(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角的最大值是多少;(2)现需要倒出不少于 30003的溶液,
12、当=6时,能实现要求吗?请说明理由.解析:(1)根据题意画出图形,结合图形,过 C 作 CFP,交D 所在直线于 F,且点在线段D 上,用 tan表示出、AF,求出容器内溶液的体积,列出不等式求出溶液不会溢出时的最大值;(2)当6时,过 C 作 CFB,交 AB 所在直线于 F,则点 F 在线段 AB 上,溶液纵截面为RCF,由此能求出倒出的溶液量,即可得出结论.答案:()根据题意,画出图形,如图所示,过 C 作 CBP,交 AD 所在直线于 F,在 RtD中,FCD=,CD=20cm,F=20tan,-且点 F 在线段 A上,A=3020tan,此时容器内能容纳的溶液量为:S梯形 ACF=2
13、AFBCAB20=(3-20tan0)20102000(6-tan)(c);而容器中原有溶液量为 202020800(cm3),令 2000(6-tan)8000,解得 tn1,所以45,即的最大角为 45时,溶液不会溢出;()如图所示,当=60时,过 C 作 CFBP,交B 所在直线于 F,在 RtBF 中,C=3m,C=30,F=13m,点在线段上,故溶液纵截面为 RtCBF,ABF=12CBF=503cm2,容器内溶液量为 15030=003cm3,倒出的溶液量为(000-0003)m300m不能实现要求.2.已知 xR,设m=(2sx,nxcsx),n=(3snx,inxcosx),记
14、函数 f(x)=mn.()求函数 f()的最小正周期和单调递增区间;()设BC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f()=2,c=3,+b=3,求AC的面积 解析:(1)利用数量积运算性质、倍角公式与和差公式可得 f(x),再利用三角函数的图象与性质即可得出;(2)利用三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出.答案:(1)(x)=mn=23sncosx+sn2xcos2x=3in2x-c2=2sin(2x-6).f(x)的最小正周期是 T 由 2k22x-62k2,kZ,-得函数 f()的单调递增区间是-6,+3(kZ)(2)由 f(C)2,得 sin(C6)=1,
15、C,所以-62C60 且 a1)是奇函数.()求常数 k 的值;(2)设 a1,试判断函数f(x)在 R 上的单调性,并解关于 x 的不等式(x2)+(2-1)0.解析:(1)可看出 f(x)的定义域为 R,而 f(x)又是奇函数,从而有 f(0)=0,这样可求出 k=1;(2)f(x)=ax-,根据单调性的定义,设任意的,xR,且 x1x,然后作差,通分,提取公因式,便可说明(x1)f(x),这便得出 f()在上单调递增,从而根据 f()为奇函数和增函数便可由原不等式得到 x21-x,解该不等式便可得出原不等式的解集 答案:(1)函数(x)的定义域为 R,(x)是奇函数;(0)=k-1=;k
16、=1;(2)由(),f(x)=x-x,设1,2R,且 x2,则:(x)-f(x2)1122121211xxxxxxxxaaaaaaa;a,x1x2;a1ax0,又+ax1+x20;f(x1)-(x2);即(x1)(x);函数 f(x)在 R 上是单调递增函数;由 f(x2)+f(2x-1),得 f(x2)-f(x1);即 f(x2)f(-);(x)在 R 上单调递增;21-2x,即 x2+-1;解得-1-2).设复数 zn=x+iyn,其中ny,nN,i 为虚数单位,z1=(1i)n,z=3+i,复数 zn在复平面上对应的点为 Zn.(1)求复数,3,z的值;(2)证明:当 n=k+1(kN)
17、时,nOZ1OZ;()求数列nyn的前00 项之和.解析:(1)利用 zn+1=(1+i)n,z1=+4i,即可得出;(2)由已知 z+=(1+i)zn,得 z=(1+i)n-1,当 n=4k+时,(i)n-1(-4)k,即可证明.(3)由 zn+=(1+)n=4n,可得 xn+4-x,n4n,xn+4yn+4=6xnyn,即可得出.-答案:(1)1=(1+)zn,z1=+i,z2=(+i)(3+4i)=-1+7i,z3-8+6i,z4=-14-i.(2)由已知 zn1=(+i)z,得n=(1+i)n1z1,当4+1 时,(1i)n-1=(1+i)4k=(-4)k,令=()k,则n=z1,即则存在非零实数=(-4)k(k*),使得nOZ1OZ.当 n=k+1(k)时,nOZ1OZ (3)zn+=(1i)4zn-4zn,故 xn=-4n,n4=-4yn,n4+=16xnyn,又 x1y12,x2y2=-7,3y3=-48,x4=28,x+2y2+x3y3+x10y10(y1+x22+3y+4y4)+(x5y5+x6+x77x8y)+(x9y97+x98y9+x99y99+100y100)(127-48+28)251 161 16=1-21,数列xnn的前0项之和为 12100.
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