微分与不定积分.ppt
《微分与不定积分.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分与不定积分.ppt(38页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第四节 微分与不定积分目的:熟练掌握单调函数的结构,熟悉单调函数的基本性质以及跳跃度、跳跃函数等重要概念。重点与难点:单调函数的性质与结构。4.2 单调函数的结构 基本内容:一问题的提出问题问题1:Newton-Leibniz公式告诉我们公式告诉我们 什么?它的重要性表现在什么什么?它的重要性表现在什么 地方?对于地方?对于Lebesgue积分而言,积分而言,能否建立类似的结论?能否建立类似的结论?第二节 单调函数的结构牛顿-莱布尼兹公式告诉我们,如果 是 a,b 上的连续函数,则 是 的一个原函数,即 。第二节 单调函数的结构第二节 单调函数的结构假如我们将Riemann积分换成Lebesg
2、ue积分,类似的结论是否仍成立?具体地说,若 是a,b上的Lebesgue可积函数,则在a,b上是否可导?如果可导,其导函数是否等于?另一方面,如果 是 a,b 上的可导函数,则 在 a,b 上是否可积?如果可积,则是否等于?不难看到,无论是对Riemann积分还是对Lebesgue积分而言,一个函数即使处处有导数,其导函数未必是可积的。第二节 单调函数的结构第二节 单调函数的结构例如,若则 在0,1上处处有导数,然而在0,1上却是不可积的(参见江泽坚、吴智泉合编实变函数论第二版,高教出版社1998)。那么,什么样的函数的导函数是可积的呢?这正是我们关心的问题。二.单调函数的间断点定义1 设
3、f 是定义在实直线 R1 中点集 E 上的有限函数,如果对任意,当 时,不等式 恒成立,就称 f 是 E 上的单调增加函数单调增加函数。如果 恒成立,则称 f 为 E上的严格单调增加函数严格单调增加函数。第二节 单调函数的结构第二节 单调函数的结构如果当 时,不等式 恒成立,则称 f 是 E 上的单调递减函单调递减函数数。若不等式 恒成立,则称 f 为 E上的严格单调递减函数严格单调递减函数。第二节 单调函数的结构问题问题2:单调函数的间断点哪些类:单调函数的间断点哪些类 型?间断点有多少?型?间断点有多少?第二节 单调函数的结构若 f 是 E 上的有限函数,在 点的右极限 存在,则称 为 f
4、 在 点的右方跳右方跳跃度跃度,若 f 在 点的左极限存在,则称 为 f 在 点的左方跳跃度左方跳跃度。第二节 单调函数的结构若 f 在 的左、右极限都存在,但其左、右方跳跃度不全为 0(即 不全相等),则称 为 f 的第一类不连续点第一类不连续点,若 f 的不连续点不是第一类的,则称为第二类不连续第二类不连续点点。定定理理1 1 设设 f 是是 a,b 上的单调递增函数,上的单调递增函数,则则 f 具有下列性质:具有下列性质:(1)f 的不连续点全是第一类的;的不连续点全是第一类的;(2)f 的不连续点集至多可数;的不连续点集至多可数;(3)f 在不连续点的左、右方跳跃度都是在不连续点的左、
5、右方跳跃度都是非负的,并且所有跳跃度的总和不超过非负的,并且所有跳跃度的总和不超过 。第二节 单调函数的结构证明:(1)首先证明,对任意 存在。事实上,由于,故存在 N,当 时,由单调性得 且 是单调下降的序列,故 存在,且 。第二节 单调函数的结构第二节 单调函数的结构记 ,则对任意 ,存在 ,使得 ,对任意 ,显然有 ,由 f 的单调性得 ,因此 ,即 。类似可证 也存在,故 f 的不连续点必是第一类不连续点。(2)由(1)的证明知对任意 ,有 ,当 时显然 ,当 时,这说明 f 在 中任一点的左、右方跳跃度均非负,第二节 单调函数的结构第二节 单调函数的结构设 F 为 f 在 上的不连续
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分 不定积分
限制150内