《定积分及其应用》讲义.docx
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1、第六章定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分本章我们将阐明定积分的定义,它的基本性质以及它的应用此外,我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理,它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来,成为一个有机的整体最后,我们把定积分的概念加以推广,简要讨论两类广义积分 6.1定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题 例 1计算曲边梯形的面积设 y = f (x) 为闭区间 a, b 上的连续函数,且 f (x) 0 由曲线 y = f (x) ,直线yy = f ( x )oa = x 0xi -1ixxix = bnxx = a, x = b 及
2、x 轴所围成的平面图形(图 61)称为 f (x) 在a, b 上的曲边梯形,试求这曲边梯形的面积图 61我们先来分析计算会遇到的困难由于曲边梯形的高 f (x) 是随 x 而变化的,所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积但我们可以用平行于 y 轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图 61 所示在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高,得到相应的小矩形,把所有这些小矩形的面积加起来,就得到原曲边梯形面积的近似值容易想象,把曲边梯形分得越细,所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积,从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法下面我们分三步进行具体讨论:(1) 分割在a
3、, b 中任意插入n -1 个分点a = x0 x x12 L x x = bn-1n把a, b 分成 n 个子区间x , x , x , x , , x, x , 每个子区间的长度为0112LDx = x - x(i = 1,2, n) iii-1n-1nL(2) 近似求和在每个子区间x, x (i = 1,2, n) 上任取一点x ,作和式i-1ii(1.1)ni =1f (x )Dxii(3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多,同时各个子区间的长度越来越小)时,和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作 A)因此当最长的子区间的长度趋于零时,就有ni=1f (x )Dx
4、ii A 例 2求变速直线运动的路程设某物体作直线运动,其速度 v 是时间 t 的连续函数 v = v(t) 试求该物体从时刻t = a 到时刻t = b 一段时间内所经过的路程s 因为v = v(t) 是变量,我们不能直接用时间乘速度来计算路程但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题(1) 用分点La = t t t t t = b012n-1n把时间区间a, b 任意分成n 个子区间(图 62):t , t ,t , t ,t, t 0 11 2n-1 nL每个子区间的长度为Dt = t - t( i = 1,2,n )iii-1oa = t 0t1t 2ttn -1
5、t= bn图 62(2) 在每个子区间ti -1 , ti ( i = 1,2,Ln )上任取一点t i ,作和式ni=1v(t)Dt ii(3) 当分点的个数无限地增加,最长的子区间的长度趋于零时就有ni=1v(t)Dtii s 以上两个问题分别来自于几何与物理中,两者的性质截然不同,但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的,即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”, 或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题,在自然科学和工程技术中有很多问题,如变力沿直线作功,物质曲线的质量、平均值、弧长等,都需要用类似的方法去解决,从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究,由此产生
6、了定积分的概念定义 6.1.1设函数 f (x) 在a, b 上有定义,在(a, b) 内任取n -1 个分点a = x0 x x12 L x x = bn-1n把a, b 分成 n 个子区间x, x , x , x , , x, x , 每个子区间的长度为0112n-1nLLDx = x - x(i = 1,2, n) 在每个子区间x, x (i = 1,2, n) 上任取一点x (称为介iii-1i-1ii点),作和式n f (x )Dx ,并记l = maxDx 如果不论对a, b 怎样划分成子区间,也iii =11ini不论在子区间x, x 上怎样取介点x ,只要当l 0 时,和式(1
7、.1)总趋于确定的值 I ,i-1ii则称这极限值 I 为函数 f (x) 在区间a, b 上的定积分,记作 b f (x)dx ,即ab f (x)dx = I = lim nf (x)Dx(1.2)al0iii=1其中 f (x) 称为被积函数, x 称为积分变量,a, b 称为积分区间, a, b 分别称为积分的下限和上限关于定积分的定义,再强调说明几点:(1) 区间a, b 划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或 n 的大小来确定因为尽管 n 很大,但每一个子区间的长度却不一定都很小所以在求和式的极限时,必须要求最长的子区间的长度l 0 ,这时必然有n (2) 定义中的两个“任取”意味
8、着这是一种具有特定结构的极限,它不同于第二章讲述的函数极限尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着, 但当l 0 时却都以唯一确定的值为极限只有这时,我们才说定积分存在(3) 从定义可以推出定积分 (1.2)存在的必要条件是被积函数f (x) 在a, b 上有界因为如果不然,当把a, b 任意划分成n 个子区间后, f (x) 至少在其中某一个子区间上无界于是适当选取介点x,能使 f (xi) 的绝对值任意地大,也就是能使和式(1.1)i的绝对值任意大,从而不可能趋于某个确定的值(4) 由定义可知,当 f (x) 在区间a, b 上的定积分存在时,它的值只与被积函数f
9、(x) 以及积分区间a, b 有关,而与积分变量 x 无关,所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变,即有b f (x)dx = b f (t)dt = b f (u)du aaa(5) 我们仅对 a b 的情况作如下补充规定:当a = b 时,规定b f (x)dx = 0 ;a当a b 时,规定b f (x)dx = -a f (x)dx ab根据定积分的定义,我们说:例1 中 f (x) 在a, b 上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标 f (x) 从a 到b 的定积分A = b f (x)dx a它就是定积分的几何意义 注意到若 f (x) 0 , 则由 f (x) 0 及 Dxii 0
10、 可知b f (x)dx 0 这时曲边梯形位于 x 轴的下方,我们就认为它的面积是负的因此当 f (x)a在区间a, b 上的值有正有负时,定积分b f (x)dx 的值就是各个曲边梯形面积的代数和,ayy = f ( x )+ox如图 63 所示图 63例 2 中物体从时刻 a 到时刻b 所经过的路程就是速度 v(t) 在时间区间a, b 上的定积分s = b v(t) dt a对应于导数的力学意义,我们也说它是定积分的力学意义当 f (x) 在区间a, b 上的定积分存在时,就称 f (x) 在a, b 上可积,说明(3)表明:f (x) 在a, b 上可积的必要条件是 f (x) 在a,
11、 b 上有界下面是函数可积的两个充分条件,证明从略定理 6.1.1(1) 若 f (x) 在a, b 上连续,则 f (x) 在a, b 上可积(2) 若 f (x) 在a, b 上有界,且只有有限个间断点,则 f (x) 在a, b 上可积2. 定积分的基本性质定理 6.1.2(积分的线性性质)(1) 若 f (x) 在a, b 上可积, k 为常数,则kf (x) 在a, b 上可积,且b kf (x)dx = k b f (x)dx(1.3)aa(2) 若 f (x) , g(x) 在a,b 上可积,则 f (x) g(x) 在a, b 上也可积,且b f (x) g(x)dx = b
12、f (x)dx b g(x)dx (1.4)a证 根据定义,有b kf (x)dx = lim nakf (x )Dxa= k lim nf (x )Dx= k b f (x)dx al0i=1iil0iii=1a所以(1.3)式成立类似可证(1.4)式成立 定理 6.1.2 的更一般的结论是b n kajj =1f (x) dx = njj =1k b fj a(x) dx j其中 f j (x) ( j = 1,2,L, n) 在a, b 上可积, k j (x) ( j = 1,2,L, n) 为常数 定理 6.1.3 (积分对区间的可加性)设 f (x) 是可积函数,则b f (x)d
13、x = c f (x)dx + b f (x)dx(1.5)aac对a, b, c 任何顺序都成立证先考虑a c b 的情形由于 f (x) 在a, b 上可积,所以不论将区间a, b 如何划分,介点x如何选取,和式的极限总是存在的因此,我们把 c 始终作为一个分点,i并将和式分成两部分: f (x )Dx = f (x )Dx + f (x )Dx ,ii1ii2ii其中 , 12分别为区间a, c 与c, b 上的和式令最长的小区间的长度l 0 ,上式两边取极限,即得(1.5)式对于其它顺序,例如a b 0 (i = 1,2, n) ,所以上式右边的极限值为非负,i从而有iib g(x)d
14、x b f (x)dx aa(1.6)式成立从定理 6.1.4 立刻推出推论 6.1.1若 f (x) 在a, b 上可积,且 f (x) 0 ,则b f (x)dx 0 a推论 6.1.2 (积分估值)若 f (x) 在a, b 上可积,且存在常数 m 和 M ,使对一切x a, b 有m f (x) M ,则m(b - a) b f (x)dx M (b - a) a推论 6.1.3若 f (x) 在a, b 上可积,则 f (x) 在a, b 上也可积,且b f(x)dx baaf (x) dx 这里 f (x) 在a, b 上的可积性可由 f (x) 的可积性推出,其证明省略推论 6.
15、1.4 (严格不等式)设 f (x) 是a, b 上的连续函数,若在a, b 上 f (x) 0 且f (x) 0 ,则b f (x)dx 0 a证由假设知,存在 x (a, b) 使 f (x ) 0 ,根据 f (x) 的连续性,必存在 x 的邻000域(x0- d , x0+ d ) a, b ,使在其中 f (x) f (x )02,从而有b f (x)dx = x0 -d f (x)dx + x0 +d f (x)dx + bf (x)dxa所以结论成立a x +d0x -d0x -d0f (x)dx f (x0 )2x +d0 2d = d f (x0) 0 ,定理 6.1.5 (
16、积分中值定理)若 f (x) 在a, b 上连续,则在a, b 上至少存在一点x ,使得b f (x)dx = f (x )(b - a) (1.7)a证因为 f (x) 在a, b 上连续,所以 f (x) 在a, b 上可积,且有最小值 m 和最大值M 于是在a, b 上,m(b - a) b f (x)dx M (b - a) ,a或b f (x)dxam b - a M 根据连续函数的介值定理可知,在a, b 上至少存在一点x ,使ab f (x)dx所以(1.7)式成立b - a= f (x)yy = f ( x )oaxbx积分中值定理的几何意义如图 64 所示图 64若 f (x
17、) 在a, b 上连续且非负,则 f (x) 在a, b 上的曲边梯形面积等于与该曲边梯a形同底,以 f (x) =b f (x)dx b - a为高的矩形面积通常把 f (x ) ,即b f (x)dx b - a称为函数 f (x)a在a, b 上的积分均值,而这正是算术平均值概念的推广定理 6.1.6 (推广的积分中值定理)若 f (x) ,g(x) 在a, b 上连续,且 g(x) 在a, b 上不变号,则在a, b 上至少存在一点x ,使得b f (x)g(x)dx = f (x )b g (x)dx(1.8)aa证不妨设在a, b 上有 g (x) 0 ,则b g (x)dx 0
18、,且在a, b 上amg(x) f (x)g(x) Mg(x) ,其中m, M 分别为 f (x) 在a, b 上的最小值与最大值由此推出mb g(x)dx b f (x)g(x)dx M b g(x)dx aaa若b g (x)dx = 0 ,则由上式知ab f (x)g (x)dx = 0 a从而在a, b 上任取一点作为x ,(1.8)式都成立若b g (x)dx 0 ,则得ab f (x)g(x)dxbm a M g(x)dxa按连续函数的介值定理推出,在a, b 上至少存在一点x ,使b f (x)g(x)dxba= f (x )g(x)dxa所以(1.8)式也成立 6.2微积分学的
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- 定积分及其应用 积分 及其 应用 讲义
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