八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理例题与讲解素材北师大版(2021-2022学年)9301.pdf
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1、1 探索勾股定理 1勾股定理的探索 如图,在单位长度为 1 的方格纸中画一等腰直角三角形,然后向外作三个外正方形:观察图形可知:()各正方形的面积:正方形的面积S1为,正方形的面积为 1,正方形的面积S3为 2;()各正方形面积之间的关系:1S2S3;()由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是:两直角边的平方和等于斜边的平方【例 1】如图,RtC在单位长度为 1 的正方形网格中,它的外围是以它的三条边为边长的正方形.回答下列问题:(1)a=_,b2=_,_;(2)a,b,c之间有什么关系?(用关系式表示)分析:a等于以C为边长的正方形的面积 1,b等于以A为边长的正方形的面积 9,c
2、2等于以AB为边长的正方形的面积 25 解:()9 2()a2+2c2.释疑点 网格中求正方形的面积 求以AB为边长的正方形的面积时,可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDF(如图)中去,它的面积等于正方形EF的面积减去它外围的个小直角三角形的面积.勾股定理(1)勾股定理的有关概念:如图所示,我们用勾()和股()分别表示直角三角形的两条直角边,用弦(c)来表示斜边 (2)勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即:勾2股2=弦2。()勾股定理的表示方法:在 R中,C=90,A,B,C的对边分别为,b,c,则a2+b2c2.辨误区 应用勾股定理的几个误区(1)勾股定理的前提是直
3、角三角形,对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系.(2)利用勾股定理时,必须分清谁是直角边,谁是斜边.尤其在记忆2b2c2时,此关系式只有当c是斜边时才成立.若b是斜边,则关系式是a2+2b2;若a是斜边,则关系式是ba(3)勾股定理有许多变形,如是斜边时,由a2bc2,得a=c2b,=c2a等.熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助.【例 21】在B中,0,(1)若a3,则c_;(2)若a6,c=,则b_;(3)若ab=3,c5,则a=_,=_.解析:因为在ABC中,C90,所以有关系式a2c2。在此关系式中,涉及到三个量,利用方程的思想,可“知二求一.()c2=2+b2=324=5
4、,则=5;(2)b2c-=06=2,则b;()若ab=34,可设a=3,b4x,于是(3x)2(4x)252.化简,得2+16x25,即 25x25,x21,=(x0).因此a3x,b=4x=4.答案:(1)5(2)8(3)3 4 谈重点 用勾股定理求边长 这是一组关于勾股定理应用的计算题,由勾股定理可知,在直角三角形中只要已知两边长,就可以求出直角三角形第三边的长.【例 22】有一飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4 0 处,过了 2 s,飞机距离这个男孩头顶 5 00 m,那么飞机每时飞行多少千米?分析:根据题意,可以先画出图形 如图,在ABC中,C=9,A4 000
5、 m,AB5 0 m。欲求飞机每时飞行多少千米,就须知道其 s 时间里飞行的路程,即图中CB的长.由于B的斜边AB5 0 m,AC=00 m,这样BC就可以通过勾股定理得出,这里一定要注意单位的换算.解:如图,A=5 000=5 k,C4 000 m4 m,故由勾股定理得B=ABAC2=52-4=9,即BC=3 km.因为飞机 20 飞行 3 k,所以它每小时飞行的距离为3 002054(km).3.勾股定理的验证 方法:用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为)构成如图所示的正方形.由“大正方形的面积小正方形的面积4 个直角三角形的面积”,得(a)2c24错误!未定义书签。ab。化简可
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