2022年高中数学求函数值域的解题方法总结.docx
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1、精品_精品资料_求函数值域的解题方法总结(16 种)在详细求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法.一、观看法:通过对函数定义域、性质的观看,结合函数的解析式,求得函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例: 求函数 y323x的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨:依据算术平方根的性质,先求出2 - 3x的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精
2、品_精品资料_解: 由算术平方根的性质知2 - 3x0 ,故 32 - 3x3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评: 算术平方根具有双重非负性,即: ( 1)、被开方数的非负性, ( 2)、值的非负性.此题通过直接观看算术平方根的性质而获解, 这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明白,不失为一种巧发.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习: 求函数 yx 0x5 的值域.(答案:0,1,2,3,4,5 )可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、反函数法:当函数的反函数存在时,就其反函数的定义域就是原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
3、_精品资料_例: 求函数 yx1的值域.x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨: 先求出原函数的反函数,再求出其定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 明显函数 yx1 的反函数为: xx22 y1 ,其定义域为 y1y1的实数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数 y 的值域为y | y1, yR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评: 利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数.这种方法表达逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一.可编辑资料 - - -
4、 欢迎下载精品_精品资料_练习: 求函数 y10 x10 x10-x10-x的值域.(答案:y | y-1或y1 ).可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例: 求函数 y- x2x2 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨: 将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 由- x 2x20 可知函数的定义域为x | -1x2 .此时- x 2x2 =可编辑资料 - - - 欢
5、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2-x - 1 2094- x 2x23,即原函数的值域为2y | 0y 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评:求函数的值域的不但要重视对应关系的应用,而且要特殊留意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习: y2 x - 515 - 4x的值域.(答案:y | y3 )可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、判别式法:如可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数,可用判别式法求函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载
6、精品_精品资料_例: 求函数 y2 x12 x2 x的值域.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨:将原函数转化为自变量的二次方程, 应用二次方程根的判别式法求原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 由 y2 x1=2=2得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2 x21x2 x1x23x2yx23 yx2 y20当 y0 时, -2 = 0,不成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 y0 时,由0 ,得 3 y 24 y2 y2 = y28y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y8 或 y0由于 y0可
7、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y2x12的值域为y | y8或y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评: 把函数关系化为二次方程F x, y0 ,由于方程有实数解,故其判别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式 为 非 负 数 , 可 求 得 函 数 的 值 域 . 常 适 用 于 yaxbxc及222dxexf可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yaxbcxdxe .可编辑
8、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习: 求函数 y=2 x的值域.(答案:33).可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x23y |y33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、最值法:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于闭区间a, b上的连续函数 yf x,可以求出 yf x在区间a, b 内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的较值,并与边界f a , fb 作比较,求出函数的值,可得到函
9、数y 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例: 已知2x 2- x - 33x 2x10 ,且满意 xy1,求函数 zxy3x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域.点拨: 依据已知条件求出自变量x 的取值范畴,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 3x 2x10 ,上述分式不等式与不等式2x 2 - x - 30 同解,解之得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_- 1x3 ,又 x2y1,将
10、y=1-x 代入 zxy3x中,得z-x 24x - 1x3,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z- x - 2 24 且 x- 1 3,函数 z 在区间 -1 3上连续,故只需比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_边界的大小.当 x=-1 时, z=-5 .当 x3 时, z21515 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 z 的值域为z | -5z.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评: 此题是将函数的值域问题转化为函数的
11、值.对开区间,如存在值,也可通过求值而获得函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习: 如 x 为实数,就函数 yx 23x - 5 的值域为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.,B.7,C. 0,D. 5,答案: D)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、单调法:利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例: 求函数 y4 x -1 - 3x的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
12、品资料_点拨:由已知的函数是复合函数, 即g x- 1 - 3x ,yf xg x 其定义域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 1 ,在此区间内分别争论函数的增减性,从而确定函数的值域.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:设 fx=4x,g x-1 - 3x , x1 , 易知它们在定义域内为增函数,从而3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y f xg x=4 x -1 - 3x在 定 义 域 为x 1上 也 为 增 函 数 , 而 且3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11y fg
13、334 , 因此,所求的函数值域为 y|y 4 .33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评:利用单调性求函数的值域, 是在函数给定的区间上, 或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性, 求出其函数在区间端点的函数值, 进而可确定函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习: 求函数 y34 - x的值域. 答案: y|y 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七、换元法:以新变量代替函数式中的某些量, 使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例: 求函数 yx - 32x1 的值域.可编
14、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数, 利用二次函数的最值, 确定原函数的值域.解: 设t2x1 (t 0), 就2xt- 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2于是 yt 2 -1- 3t22t14147 .222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,原函数的值域为 y|y -7 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域.这种解题的方法表达换元、化归的思想
15、方法.它 的应用特别广泛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习: 求函数 y八、构造法 :x -1 - x的值域.(答案: y|y -3 )4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据函数的结构特点,给予几何图形,数形结合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例: 求函数 yx24x5x 2 - 4x8 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22点拨: 将原函数变形,构造平面图形,由几何学问,确定出函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 原函数变形为 f xx212 - x22 构作一个长为 4、宽为 3可编辑资
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