矩阵论节学习.pptx
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1、1 设 是 上线性无关函数族,在 中找一函数 ,使误差平方和(5.1)这里(5.2)第1页/共80页2 这个问题称为最小二乘逼近,几何上称为曲线拟合的最小二乘法.用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式.确定 的形式问题不仅是数学问题,还与问题的实际背景有关.通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定 的形式,然后通过实际计算选出较好的结果.第2页/共80页3 为了使问题的提法更有一般性,通常在最小二乘法中考虑加权平方和(5.2)(5.3)这里 是 上的权函数,它表示不同点 处的数据比重不同.就是 次多项式.若 是 次多项式,的一般表达式为(5.2)表示的线性形式.第3页/共80页
2、4 这样,最小二乘问题就转化为求多元函数(5.4)的极小点 问题.用最小二乘法求拟合曲线的问题,就是在形如(5.2)的 中求一函数 ,由求多元函数极值的必要条件,有 使(5.3)取得最小.(5.2)(5.3)第4页/共80页5若记(5.5)上式可改写为(5.6)这个方程称为法方程,可写成矩阵形式第5页/共80页6其中(5.7)要使法方程(5.6)有惟一解,就要求矩阵 非奇异,而 在 上线性无关不能推出矩阵 非奇异,必须加上另外的条件.(5.6)第6页/共80页7 显然 在任意 个点上满足哈尔条件.哈尔条件,则法方程(5.6)的系数矩阵(5.7)非奇异,如果 在 上满足函数 的最小二乘解为 定义
3、1010设 的任意线性组合在点集 上至多只有 个不同的零点,则称 在点集 上满足哈尔(Haar)条件.方程(5.6)存在惟一的解从而得到于是(5.6)第7页/共80页8这样得到的 ,对任何形如(5.2)的 ,都有故 确是所求最小二乘解.(5.2)第8页/共80页9一般可取 ,但这样做当 时,通常对 的简单情形都可通过求法方程(5.6)得到 给定 的离散数据 ,例如,求解法方程(5.6)将出现系数矩阵 为病态的问题,有时根据给定数据图形,其拟合函数 表面上不是(5.2)的形式,但通过变换仍可化为线性模型.若两边取对数得(5.6)(5.2)第9页/共80页10 例7 7这样就变成了形如(5.2)的
4、线性模型.此时,若令 则已知一组实验数据如下,求它的拟合曲线.第10页/共80页11 解 从图中看到各点在一条直线附近,故可选择线性函数作拟合曲线,将所给数据在坐标纸上标出,见图3-4.图3-4第11页/共80页12 令这里故 第12页/共80页13解得由(5.6)得方程组 于是所求拟合曲线为(5.6)第13页/共80页14 关于多项式拟合,Matlab中有现成的程序 其中输入参数 为要拟合的数据,为拟合多项式的次数,输出参数 为拟合多项式的系数.利用下面的程序,可在Matlab中完成上例的多项式拟合.第14页/共80页15x=1 1 2 3 3 3 4 5;f=4 4 4.5 6 6 6 8
5、 8.5;aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,r+,x,y,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=s1(x))第15页/共80页16结果如下:第16页/共80页17 例8 8设数据 由表3-1给出,用最小二乘法确定 及 .解表中第4行为通过描点可以看出数学模型为它不是线性形式.用给定数据描图可确定拟合曲线方程为两边取对数得第17页/共80页18 若令先将 转化为为确定 ,根据最小二乘法,取 则得数据表见表3-1.得第18页/共80页19故有法方程 解得 于是得最小二乘拟合曲线为 第19页/共80页20 利用下面的程序,可在Mat
6、lab中完成曲线拟合.x=1.00 1.25 1.50 1.75 2.00;y=5.10 5.79 6.53 7.45 8.46;y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);a=aa(1);b=exp(aa(2);y2=b*exp(a*x);plot(x,y,r+,x,y2,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=a*exp(bx);第20页/共80页21结果如下:第21页/共80页22 用正交多项式做最小二乘拟合用正交多项式做最小二乘拟合 如果 是关于点集(5.8)用最小二乘法得到的法方程组(5.6),其系数矩阵 是病态的.带权 正交的函数族,即(5.6)第22页
7、/共80页23(5.9)则方程(5.6)的解为 且平方误差为(5.6)第23页/共80页24 接下来根据给定节点 及权函数 构造带权 正交的多项式 .注意 ,用递推公式表示 ,即(5.10)这里 是首项系数为1的 次多项式,根据 的正交性,得第24页/共80页25(5.11)下面用归纳法证明这样给出的 是正交的.第25页/共80页26 假定 对 及要证 对 均成立.由(5.10)有 由(5.10)第二式及(5.11)中 的表达式,有 均成立,(5.12)(5.10)(5.10)第26页/共80页27 而 ,于是由(5.12),当 时,另外,是首项系数为1的 次多项式,它可由由归纳法假定,当 时
8、的线性组合表示.由归纳法假定又有(5.12)第27页/共80页28由假定有 再考虑(5.13)利用(5.11)中 表达式及以上结果,得 第28页/共80页29至此已证明了由(5.10)及(5.11)确定的多项式 组成一个关于点集 的正交系.用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合,只要根据公式(5.10)及(5.11)逐步求 的同时,相应计算出系数最后,由 和 的表达式(5.11)有 第29页/共80页30并逐步把 累加到 中去,最后就可得到所求的 用这种方法编程序不用解方程组,只用递推公式,并且当逼近次数增加一次时,只要把程序中循环数加1,其余不用改变.这里 可事先给定或在计算过程中根据误
9、差确定.拟合曲线第30页/共80页313.6 最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换 当 是周期函数时,显然用三角多项式逼近 比用代数多项式更合适,本节主要讨论用三角多项式做最小平方逼近及快速傅里叶变换,简称FFT算法.第31页/共80页32 最佳平方三角逼近与三角插值最佳平方三角逼近与三角插值 设 是以 为周期的平方可积函数,用三角多项式(6.1)作为最佳平方逼近函数.由于三角函数族 在 上是正交函数族,于是 在 上的最小平方三角逼近多项式 的系数是 第32页/共80页33 称为傅里叶系数.函数 按傅里叶系数展开得到的级数(6.3)就称为傅里叶级数.(6.2)第33
10、页/共80页34 只要 在 上分段连续,则级数(6.3)一致收敛到 .对于最佳平方逼近多项式(6.1)有 由此可以得到相应于(4.11)的贝塞尔不等式 因为右边不依赖于 ,左边单调有界,所以级数(6.3)(6.1)(4.11)第34页/共80页35 当 只在给定的离散点集 上已知时,则可类似得到离散点集正交性与相应的离散傅里叶系数.下面只给出奇数个点的情形.收敛,并有 第35页/共80页36可以证明对任何 成立 令第36页/共80页37这表明函数族 在点集上正交.若令其中 则 的最小二乘三角逼近为第37页/共80页38当 时 于是(6.4)就是三角插值多项式,系数仍由(6.4)表示.第38页/
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