线性代数矩阵的初等变换与线性方程组.pptx
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1、第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与线性方程组与线性方程组第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 第二节第二节 矩阵的秩矩阵的秩 第三节第三节 线性方程组的解线性方程组的解 第1页/共92页 本章先引进矩阵的初等变换,建立本章先引进矩阵的初等变换,建立矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念,并利用初等变换讨论矩并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质然后利用矩阵的秩讨论线阵的秩的性质然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件,并介绍用初等变换解线性充分必要条件,并介绍用初等变换解线性方程组的方法方程组的方法第2页/共92页1 矩阵的初等
2、变换矩阵的初等变换一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、小结三、小结 第3页/共92页引例引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析:用消元法解下列方程组的过程分析:用消元法解下列方程组的过程第4页/共92页解解第5页/共92页用用“回代回代”的方法求出解:的方法求出解:第6页/共92页于是解得于是解得(2)第7页/共92页小结:小结:1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形,用到始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种变换如下三种变换(1)交换方程次序;)交换方程次序;(2)以不等于的数乘某个
3、方程;)以不等于的数乘某个方程;(3)一个方程加上另一个方程的)一个方程加上另一个方程的k倍倍(与相互替换)(与相互替换)(以替换)(以替换)(以替换)(以替换)第8页/共92页3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的,所以变换前的由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换第9页/共92页因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组的系数和常数进行运算,未知量并未参与运算的系数和常数进行运算,未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以
4、转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组(程组(1)的增广矩阵)的变换)的增广矩阵)的变换第10页/共92页定义定义1二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:第11页/共92页定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换第12页/共92页第13页/共92页等价关系的性质:等价关系的性质:具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如,两个线性方程组同
5、解,例如,两个线性方程组同解,就称这两个线性方程组等价第14页/共92页用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组(解方程组(1):):第15页/共92页第16页/共92页第17页/共92页第18页/共92页特点:特点:(1)、可划出)、可划出一条阶梯线,线一条阶梯线,线的下方全为零;的下方全为零;(2)、每个)、每个台阶台阶 只有一只有一行,行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元,即非零行的第一个非的第一个元素为非零元,即非零行的第一个非零元零元第19页/共92页注意:行最简形矩阵是由方程组唯一确定的,行注意:行最简形矩阵
6、是由方程组唯一确定的,行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换,可化成行最简形矩阵再经过初等列变换,可化成标准形标准形第20页/共92页例如,例如,第21页/共92页特点:特点:所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类,标准形合,称为一个等价类,标准形 是这个等价类是这个等价类中最简单的矩阵中最简单的矩阵.第22页/共92页行变换行变换第23页/共92页定理定理1 设设 与与 为为 矩阵,那么矩阵,那么(1)的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ,使使(2)
7、的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ,使使(3)的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阶可逆矩阵阵 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ,使使第24页/共92页推论:方阵可逆的充分必要条件是推论:方阵可逆的充分必要条件是 ,即并可验证1-=AXEAX第25页/共92页利用初等变换求逆阵的方法:第26页/共92页 解解例例第27页/共92页第28页/共92页即即初等行变初等行变换换第29页/共92页例例解解第30页/共92页第31页/共92页第32页/共92页例例3 3 求解矩阵方程求解矩阵方程,其中,其中解:解:第33页/共92页例例4 4 设设 的行最简形矩阵为的行
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- 线性代数 矩阵 初等 变换 线性方程组
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