2018-2019年度数学新学案同步必修5第二章疑难规律方法.doc
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1、1 数列中的数学思想数学思想在以后的学习中起着重要的作用,若能根据问题的题设特点,灵活地运用相应的数学思想,往往能迅速找到解题思路,从而简便、准确求解.1.方程思想例 1 在等比数列an中,已知 a1a2a37,a1a2a38,求通项 an.分析 欲求通项 an,需求出 a1及 q,为此根据题设构造关于 a1与 q 的方程组即可求解.解 方法一 a1a3a ,a1a2a3a 8,a22.2 23 2从而Error!Error!解得 a11,a34 或 a14,a31.当 a11 时,q2;当 a14 时,q .12故 an2n1或 an23n.方法二 由等比数列的定义知 a2a1q,a3a1q
2、2代入已知,得Error!Error!即Error!Error!即Error!Error!将 a1 代入得 2q25q20,2qq2 或 q ,12由得Error!Error!或Error!Error!an2n1或 an23n.2.分类讨论思想例 2 已知an是各项均为正数的等差数列,且 lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列,若 bn,n1,2,3,证明:bn为等比数列.21na证明 由于 lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,所以 2lg a2lg a1lg a4,则 a a1a4.2 2设等差数列an的公差为 d,则有(a1d)2a1(a13d),整理得 d2da1,从而
3、 d(da1)0.(1)当 d0 时,数列an为常数列,又 bn,则bn也是常数列,21na此时bn是首项为正数,公比为 1 的等比数列.1a2(2)当 da10 时,则 a2na1(2n1)dd(2n1)d2nd,所以 bn,21na12d12n1这时bn是首项为 b1,公比为 的等比数列.12d12综上,bn为等比数列.3.特殊化思想例 3 在数列an中,若k(k 为常数),nN*,则称an为“等差比数列”.an2an1an1an下列是对“等差比数列”的判断:k 不可能为 0;等差数列一定是等差比数列;等比数列一定是等差比数列;等差比数列中可以有无数项为 0.其中正确的判断是( )A. B
4、. C. D.分析 本题为新定义题,且结论具有开放性,解决本题可借助新定义构造特殊数列,排除不正确的判断,从而简捷求解.解析 数列 a,a,a(a0)既是等差数列,又是等比数列,但不满足k,an2an1an1an即不是等差比数列,故、不正确.故选 D.答案 D4.整体思想例 4 在等比数列an中,a9a10a(a0),a19a20b,则 a99a100_.分析 根据题设条件可知q10 ,a19a20a9a10ba而q90,故可整体代入求解.a99a100a9a10解析 设等比数列an的公比为 q,则q10 ,a19a20a9a10ba又q90(q10)99,a99a100a9a10(ba)故
5、a99a1009(a9a10).(ba)b9a8答案 b9a82 求数列通项的四大法宝1.公式法题设中有 an与 Sn的关系式时,常用公式anError!Error!来求解.例 1 已知数列an的前 n 项和 Sn3n2,求其通项公式 an.解 当 n1 时,a1S13121;当 n2 时,anSnSn13n2(3n12)3n3n123n1,又 a112311,所以数列an的通项公式 anError!Error!2.累加法若数列an满足 anan1f(n1)(n2),且 f(1)f(2)f(n1)可求,则可用累加法求通项.例 2 已知数列an满足 a11,an3n1an1(n2),求其通项公式
6、 an.解 由已知,得 anan13n1(n2),所以 a2a13,a3a232,a4a333,anan13n1,以上各式左右两边分别相加,得ana1332333n1,所以 an1(n2),313n1133n12又 n1 时,a11,所以 an(nN*).31123n123.叠乘法若数列an满足f(n1)(n2),其中 f(1)f(2)f(n1)可求,则可用叠乘法求通项.anan1例 3 已知数列an中,a13,anan1(an0,n2),求其通项公式 an.3n43n1解 由 a13,anan1,得,3n43n1anan13n43n1所以 , ,(n2),以上各式左右两边分别相a2a125a
7、3a258a4a3811a5a41114anan13n43n1乘,得,ana123n1所以 an(n2),63n1又 a13,所以 an(nN*).63 1163n14.构造法当题中出现 an1panq(pq0 且 p1)的形式时,把 an1panq 变形为an1p(an),即 an1pan(p1),令 (p1)q,解得 ,从而构造出等比qp1数列an.例 4 数列an满足 a11,an1 an3(nN*),求其通项公式 an.14解 设 an1t (ant),则 an1 an t,141434与已知比较,得 t3,所以 t4,34故 an14 (an4),14又 a141430,故数列an4
8、是首项为3,公比为 的等比数列,因此14an43n1,(14)即 an43n1(nN*).(14)3 如何研究数列的单调性和最大(小)项研究数列的单调性和最大(小)项,首选作差,其次可以考虑借助函数单调性例 1 已知数列an的通项公式为 annn1,则该数列是否有最大项,若有,求出最大项(79)的项数;若无,说明理由.解 an1an(n1)n2nn1n1,当 n3 时,an1an0.综上,可知an在 n1,2,3时,单调递增;在 n4,5,6,7,时,单调递减.所以存在最大项,且第 4 项为最大项.点评 之所以首选作差,是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样,函数单调性要设任意 x1 1
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