2004研究计划生数学二真命题及其详解.doc
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1、2004 年考硕数学(二)真题年考硕数学(二)真题一一. 填空题(本题共填空题(本题共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,满分分,满分 24 分分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. )(1)设, 则的间断点为 .2(1)( )lim1nnxf xnx( )f xx (2)设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取( )y x333131xttytt( )yy xx值范围为_.(3)_.121dxx x (4)设函数由方程确定, 则_.( , )zz x y232xzzey3zz xy(5)微分方程满足的特解为_.3()20yxdxxdy16 5xy(6)设矩阵, 矩阵满足, 其
2、中为的伴随矩210120001A B2ABABAEAA阵, 是单位矩阵, 则_-.EB 二二. 选择题(本题共选择题(本题共 8 小题,每小题小题,每小题 4 分,满分分,满分 32 分分. 每小题给出的四个选项中,只有一每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内. )(7)把时的无穷小量, , 排0x20cosxt dt20tanxtdt30sinxt dt列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是(A) (B),. ,. (C) (D) ,. ,. (8)设, 则( )(1)f xxx
3、(A)是的极值点, 但不是曲线的拐点.0x ( )f x(0, 0)( )yf x(B)不是的极值点, 但是曲线的拐点.0x ( )f x(0, 0)( )yf x(C)是的极值点, 且是曲线的拐点.0x ( )f x(0, 0)( )yf x(D)不是的极值点, 也不是曲线的拐点. 0x ( )f x(0, 0)( )yf x (9)等于22212lim ln(1) (1)(1)n nn nnn(A). (B).221ln xdx212ln xdx(C). (D) 212ln(1)x dx221ln (1)x dx (10)设函数连续, 且, 则存在, 使得( )f x(0)0f 0(A)在
4、内单调增加.( )f x(0,)(B)在内单调减小.( )f x(, 0)(C)对任意的有.(0,)x( )(0)f xf(D)对任意的有. (, 0)x ( )(0)f xf(11)微分方程的特解形式可设为21 sinyyxx (A).2( sincos )yaxbxcx AxBx(B).2(sincos )yx axbxcAxBx(C).2sinyaxbxcAx(D) 2cosyaxbxcAx (12)设函数连续, 区域, 则等于( )f u22( , )2Dx y xyy()Df xy dxdy(A).221111()xxdxf xy dy(B).222002()y ydyf xy dx
5、(C).2sin200(sincos )df rdr(D) 2sin200(sincos )df rrdr(13)设是 3 阶方阵, 将的第 1 列与第 2 列交换得, 再把的第 2 列加到第 3AABB列得, 则满足的可逆矩阵为CAQCQ(A). (B). 010100101 010101001 (C). (D). 010100011 011100001 (14)设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有A B0AB (A)的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.AB(B)的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.AB(C)的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.AB(D)的行向量组线性相关,的列
6、向量组线性相关. AB 三三. 解答题(本题共解答题(本题共 9 小题,满分小题,满分 94 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )(15) (本题满分 10 分)求极限.3012coslim13xxx x(16) (本题满分 10 分)设函数在()上有定义, 在区间上, , 若对任意( )f x, 0, 22( )(4)f xx x的都满足, 其中为常数.x( )(2)f xk f xk()写出在上的表达式; ()问为何值时, 在处可导.( )f x 2, 0k( )f x0x (17) (本题满分 11 分)设,()证明是以为周期的周期函
7、数;()求的值域.2( )sinxxf xt dt( )f x( )f x(18) (本题满分 12 分)曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕2xxeey0,(0)xxt t0y 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.x( )V t( )S txt( )F t()求的值; ()计算极限.( ) ( )S t V t( )lim( )tS t F t(19) (本题满分 12 分)设, 证明.2eabe22 24lnln()babae(20) (本题满分 11 分)某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速
8、并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为9000kg.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为700/km h).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?66.0 10k 注注 表示千克,表示千米/小时.kg/km h(21) (本题满分 10 分)设,其中具有连续二阶偏导数,求22(,)xyzf xyef.2 ,zzz xyx y (22) (本题满分 9 分)设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a xxxxxa xxxxxa xxxxxa x 试问取何值时, 该方程组有非零解, 并
9、求出其通解.a(23) (本题满分 9 分)设矩阵的特征方程有一个二重根, 求的值, 并讨论是否可相似对角12314315a aA化.20042004 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析数学二试题解析一一. 填空题填空题(1)0 .【分析分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限x的方法得出的表达式, 再讨论的间断点.( )f x( )f x【详解详解】显然当时,; 0x ( )0f x 当时, ,0x 2221(1)(1)1( )limlim11nnxnxxnf xnxxxxn所以 ,( )f x0,0 1,0xxx因为 0
10、01lim( )lim(0) xxf xfx 故 为的间断点.0x ( )f x(2).1(,)(或(-,1)【分析分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性,先用由 ( ) ( )xx t yy t 定义的 求出二阶导数,再由 确定的取值范围.223( ) ( )( )( ) ( ( )d yy t x tx t y t dxx t220d y dxx【详解详解】 ,22222331213311dy dyttdt dxdxttt dt ,222223214113(1)3(1)d yddydtt dtdxdxdxttt令 .220d y dx0t 又 单调增, 在 时, 。(时,331xtt0t
11、(,1)x 0t 时,曲线凸.)1x x(,1(3.2【分析分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解详解 1 1】 .22 1002sectansecsectan21dxttxtdtdtttx x【详解详解 2 2】 .011 20110222111()arcsin21111dxtxdtdttttx xt t (4).2【分析分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解详解 1 1】在 的两边分别对,求偏导,为的函数.232xzzeyxyz, x y,23(23)xzzzexx,23( 3)2xzzzeyy从而 ,23232 13xzxzz
12、e xe232 13xzz ye所以 232313221 3xzxzzze xye【详解详解 2 2】令 23( , )20xzF x y zeyz则 , , 232xzFex2F y23( 3) 1xzFez,2323232322 (1 3)1 3xzxzxzxzF zeexFxee z ,232322 (1 3)1 3xzxzF zy Fyee z 从而 232323313221 31 3xzxzxzzze xyee【详解详解 3 3】利用全微分公式,得23(23)2xzdzedxdzdy2323223xzxzedxdyedz2323(1 3)22xzxzedzedxdy23232322
13、1 31 3xzxzxzedzdxdyee即 , 23232 1 3xzxzze xe232 1 3xzz ye从而 32zz xy(5).31 5yxx【分析分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解详解 1 1】原方程变形为 ,211 22dyyxdxx先求齐次方程 的通解:102dyydxx1 2dydxyx积分得 1lnlnln2yxcyc x设为非齐次方程的通解,代入方程得( )yc xx2111( )( )( )222c xxc xc xxxxx从而 , 3 21( )2c xx积分得 ,35 2
14、211( )25c xx dxCxC于是非齐次方程的通解为 5 3211()55yxxCCxx,1615xyC故所求通解为 .31 5yxx【详解详解 2 2】原方程变形为 ,211 22dyyxdxx由一阶线性方程通解公式得11 2221 2dxdxxxyex edxC11lnln2221 2xxex edxC35 2211 25xx dxCxxC,6(1)15yC从而所求的解为 .31 5yxx(6).1 9【分析分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解详解 1 1】 ,2ABABAE2ABABAE,(2 )AE BAE,21AE B AE.221111 010(
15、 1) ( 1)392 100 001BAE A A 【详解详解 2 2】由,得1AA A11122ABABAEAB A AB A AAA2A ABA BA(2 )A AE BA32AAE BA211 92B AAE 二二. 选择题选择题(7) B【分析分析】对与变限积分有关的极限问题,一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解详解】 302000sin limlim cosxxxxt dtt dt 3 2201sin2limcosxxx x ,3 200limlim022xxxx x即 .o( )又 ,200030tan limlim sinxxxxtdtt dt
16、23002tan22limlim011sin22xxxxxxxx 即 .o( )从而按要求排列的顺序为, 故选(B). 、(8)C【分析分析】求分段函数的极值点与拐点, 按要求只需讨论两方, 的符0x ( )fx( )fx号.【详解详解】 ,( )f x (1),10(1),01xxxxxx ,( )fx12 ,10 12 ,01xx xx ,( )fx2,10 2,01x x 从而时, 凹, 时, 凸, 于是为拐点.10x ( )f x10x( )f x(0, 0)又, 时, , 从而为极小值点.(0)0f0 1x 、( )0f x 0x 所以, 是极值点, 是曲线的拐点, 故选(C).0x
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- 2004 研究 计划 数学 命题 及其 详解
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