2010年全国硕士分析研究生入学统一考试.数学三试题'及其答案解析.doc
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1、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:一、选择题:18 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若,则等于 011lim()1xxa exxa() () () ()(2) 设,是一阶线性非齐次微分方程的两个特解. 若常数, 使是该1y2y yp x yq x12yy方程的解,是对应的齐次方程的解, 则12yy(A) (B) (C)
2、 (D) 11,2211,22 21,3322,33(3)设函数具有二阶导数,且。若是的极值,则在取极大( ), ( )f x g x( )0gx0()g xa( )g x f g x0x值的一个充分条件是(A) (B) (C) (D) 0fa 0fa 0fa 0fa(4)设,则当充分大时有 1010ln,x f xxg xxh xex(A) . (B) . g xh xf x h xg xf x(C). (D). f xg xh x g xf xh x(5) 设向量组可由向量组线性表示, 则列命题正确的是 12:, , rI12II: , , s(A) 若向量组 线性无关, 则 (B) 若向
3、量组 线性相关, 则 IrsIrs (C) 若向量组线性无关, 则 (D) 若向量组线性相关, 则IIrsIIrs(6)设为 4 阶对称矩阵,且若的秩为 3,则相似于A20AAAA(A)(B) 1 1 1 0 1 1 1 0 (C) (D) 1 1 1 0 1 1 1 0 (7) 设随机变量的分布函数,则X0,0 1( ),012 1,1xxF xxex 1P X (A) 0 (B) 1 (C)(D) 11 2e11 e(8) 设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度,1( )f x2( )fx 1,3为概率密度,则, a b应满足12( ),0( )(0,0)( ),0af x xf
4、 xabbfx x(A) (B) (C) (D) 234ab324ab1ab2ab 二、填空题二、填空题(9-14(9-14 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分, ,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.).)(9)设可导函数由方程确定,则 yy x2200sinx yxtedtxt dt0_xdy dx(10)设位于曲线下方, 轴上方的无界区域为, 则绕轴旋转一周所得 21() (1 ln)yex xx xGGx空间区域的体积为。_(11)设某商品的收益函数为,收益弹性为, 其中为价格, 且, 则 R p31pp 11R _R p (12)
5、若曲线有拐点, 则。321yxa xbx1, 0 _ b (13) 设为 3 阶矩阵, 且则,A B, , |,ABAB1322| _ .AB1(14)设是来自总体的简单随机样本。记统计量,则12,nXXX2( ,)(0)N 211ni iTXn。( )_E T 三、解答题三、解答题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤骤.) (15)(本题满分 10 分)求极限11 lnlim(1)xxxx (16)(本题满分 10 分)计算二重积分,其中由曲线与直线及
6、围成.3()Dxy dxdyD21xy20xy20xy(17)(本题满分 10 分)求函数在约束条件下的最大值和最小值 . 2uxyyz22210xyz(18) (本题满分 10 分)(1)比较与的大小,说明理由。10ln ln(1)nttdt10ln(1,2,)ntt dt n (2)记求极限。10ln ln(1),(1,2,)n nuttdt nlimnnu (19)(本题满分 10 分)设函数在闭区间上连续, 在开区间内存在二阶导数, 且 f x0, 30, 3202 (0)( )(2)(3)ff x dxff(I) 证明存在, 使得; 0, 2 ( )0ff(II) 证明存在, 使得。
7、 0, 3( )0f(20) (本题满分 11 分)设,已知线性方程组存在两个不同的解.11 010 11A 1 1a b AXb(1) 求;,a(2) 求方程组的通解.AXb(21) (本题满分 11 分)设,正交矩阵使得为对角矩阵.若的第一列为,求.014 13 40Aa a QTQ AQQ1(1,2,1)6T, a Q(22)(本题满分 11 分)设二维随机变量的概率密度为,求常数以(, )X Y2222( , )xxy yf x yAex y A及条件概率密度。|Y Xfy x(23) (本题满分 11 分)箱中装有6个球, 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3个, 现从箱中随机地
8、取出2个球, 记为取出红球的个X数, 为取出白球的个数 . Y(I) 求随机变量的概率分布; ,X Y(II) 求. ,Cov X Y2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析一、选择题:一、选择题:18 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)【分析分析】通分直接计算等式左边的极限,进而解出a.【详解详解】由于 0001111lim()lim
9、lim()xxx xxxxxeaxeea eaexxxx001limlim1x xxxeaeax从而由题设可得,即,故应选(C)11a 2a (2) 【分析分析】此题主要考查线性微分方程解的性质和结构【详解详解】因为,是一阶线性非齐次微分方程的两个特解,所以1y2y yp x yq x-(1) 1122yp x yyp x yq x由于是该方程的解,则12yy即 1212()()yyp xyyq x 1122()()yp x yyp x yq x将(1)代入上式可得:(2)1由于 是对应的齐次方程的解12yy则,即 1212()()0yyp xyy 1122()()0yp x yyp x y将
10、(1)代入上式可得:(3)0由(2) 、 (3)可得。故应选(A)1 2评注:设是一阶线性非齐次微分方程的解,则对于常数,有下列12,sy yy yp x yq x12,sk kk结论: 若,则是方程的解;121skkk1122ssk yk yk y yp x yq x 若,则是方程的解。120skkk1122ssk yk yk y 0yp x y(3)【分析分析】本题主要考查导数的应用.求的一、二阶导数,利用取得极值的必要条件及充分条件。 f g x【详解详解】令,则 ( )F xf g x, ( ) F xf g xfg xgx 由 2( ) Fxf g xfg xgxfg xgxfg x
11、gx 是的极值知。于是有 0g xa( )g x 00 gx, 0()0F x00()( )()Fxfa gx由于, 要使, 只要. ( )0gx 00()0Fxf g x 0fa因此应选(B) (4).【分析分析】计算两两比的极限便可得到答案【详解详解】因为 1098( )lnlnlnlimlim10 lim10 9 lim( )xxxxf xxxx g xxxx,ln10!lim xx x110!lim0 xx,1010( )1limlimlim0( )1 10xxxxxg xx h xee由此可知当充分大时,,故应选(C)。x( )( )( )f xg xh x(5) 【分析分析】本题考
12、查向量组的线性相关性。【详解详解】因向量组 能由向量组线性表示,所以,即IIIIIIrr()()1212(,(,),rsrrs )若向量组 线性无关,则,所以. 故应选(A). I12(,)rrr rs评注:“若线性无关且可由线性表示,则”这是线性代数中12, , r12, , r12, , srs的一个重要定理,对定理熟悉的考生可直接得正确答案.(6) 【分析分析】考查矩阵特征值、特征值的性质及实对称矩阵的性质。【详解详解】由于,所以,由于的秩为 3,所以不可逆,从而20AA()0A AEAAE,所以是矩阵的特征值。0,0AAE120,1 A假设是矩阵的特征值,则,则只能是或。A2001由于
13、是实对称矩阵,且的秩为 3,所以其全部特征值为,因此应选(D)AA1, 1, 1,0 (7) 【分析分析】考查如何利用分布函数计算随机变量取值的概率。 【详解详解】由分布函数的性质可知:111111(1)lim( )2xP XP XP XFF xe 故应选(C)(8) 【分析分析】考查概率密度的性质,( )0f x ( )1f x dx【详解详解】由已知可得:,21 2 11( )2xf xe21, 13( )4 0,xfx 其他由概率密度的性质可知:( )1f x dx所以031210011131( )( )( )2424af x dxbfx dxaf x dxbdxab因此应选() 二、填
14、空题二、填空题(9-14(9-14 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分, ,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.).)(9) 【分析分析】先由方程求出时,再两边对求导或两边微分。0x 0y x【详解详解】法一:由,令得2200sinx yxtedtxt dt0x 0y 等式两端对求导得 x2()220(1)(sin)sinxx ydyet dtxxdx将,代入上式得:0x 0y 01xdy dx 法二:由,令得2200sinx yxtedtxt dt0x 0y 等式两端对微分得 x2()220()(sin)sinxx yedxdyt dt
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