高考数学一文搞定平面解析几何13个模块33个必考点(89页Word)---..pdf
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1、 模块一 直线的方程 1当直线 l 与 x 轴相交时,把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线 l 的倾斜角,并规定:直线 l 与 x 轴平行或重合时倾斜角为 0,因此倾斜角 的范围是 0180 2当倾斜角 90时,tan 表示直线 l 的斜率,常用 k 表示,即 ktan.当 90时,斜率不存在当直线过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)且 x1x2时,k2121yyxx 3直线方程的几种形式 名 称 方 程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0)不含垂直于 x 轴的直线 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 112121yyxx
2、yyxx 不含垂直于坐标的直线 截距式 1xyab 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用 考点1 直线的斜率与倾斜角【例】(1)已知两点 A(1,5)、B(3,2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,求 l 的斜率(2)直线 2xcos y30 的倾斜角的取值范围是 (3)直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0,3)为端点的线段有公共点,则直线 l 斜率的范围为 【解析】(1)设直线 l 的倾斜角为.则直线 AB 的倾斜角为 2,由题意可知:tan22(5)33(1)4 ,22tan31tan4,整理得
3、3tan28tan30,解得1tan3或 tan3,3tan204,0290,00,故直线 l 的斜率为13.(2),4 3 直线 2xcos y30 的斜率 k2cos,因为,6 3,所以13cos22,因此 k2cos 1,3 设直线的倾斜角为,则有 tan 1,3 又 0,),所以,4 3,即倾斜角的取值范围是,4 3.(3)(,31,)如图,kAP1 02 11,kBP3030 1,k(,31,)巩固 1.若过点 M(2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为_【解析】题意得412mm,解得 m1.巩固 2.(2018南京名校联考)曲线 yx3x5 上各点处的切线的倾斜
4、角的取值范围为_【解析】设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为(0,),因为 y3x211,所以 tan 1,结合正切函数的图象可知,的取值范围为30,24 巩固 3.经过两点(1,3),(3,1)的直线的倾斜角为 _【解析】因为经过两点(1,3),(3,1)的直线的斜率为13131k,所以倾斜角为45.考点2 直线方程【例】根据所给条件求直线的方程:(1)过点 P(2,4)且斜率 k3 的直线 l 的方程;(2)直线过点(3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12;【解析】(1)由题设知,该直线可采用点斜式直线 l 的方程为 y43x(2),即 3xy100.(2)由题设知直线在平面直角坐标系中
5、的横、纵截距均不为 0,故可设直线方程为112xyaa.因为直线过点(3,4),所以34112aa,解得 a4 或 9.故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90.巩固 1.倾斜角为 120,在 x 轴上的截距为1 的直线方程是_【解析】由于倾斜角为 120,故斜率3k .又直线过点(1,0),所以直线方程为3(1)yx,即330 xy 巩固 2.求经过点 A(5,2),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程【解析】当直线不过原点时,设所求直线方程为12xyaa,将(5,2)代入所设方程,解得 a12,所以直线方程为 x2y10;当直线过原点时,设直线方程为 ykx
6、,则5k2,解得25k ,所以直线方程为25yx,即 2x5y0.故所求直线方程为 2x5y0 或 x2y10.巩固 3.直线 l 过点(5,10),且到原点的距离为 5,则直线 l 的方程是 【解析】当斜率不存在时,所求直线方程为 x50.当斜率存在时,设其为 k,则所求直线方程为 y10k(x5),即 kxy(105k)0.由点到直线的距离公式,得210551kk,解得34k.故所求直线方程为 3x4y250.综上知,所求直线方程为 x50 或 3x4y250.巩固 4.过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_【解析】若直线过原点,则直线方程为 3x2y0;若直线不过原点
7、,则斜率为 1,方程为 y3x2,即为 xy50,直线为 3x2y0 或 xy50 考点3 直线方程的综合问题【例】(1)已知直线 l1:ax2y2a4,l2:2xa2y2a24,当 0a2 时,直线 l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数 a 的值(2)已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,如图所示,求ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程【解析】(1)由题意知直线 l1,l2恒过定点 P(2,2),直线 l1在 y 轴上的截距为 2a,直线 l2在 x 轴上的截距为 a22,所以四边形的面积22112(2)2(
8、2)422Saaaa 2115()24a,当12a 时,四边形的面积最小 (2)方法一 设直线方程为1(0,0)xyabab,把点 P(3,2)代入得32612abab,得 ab24,从而 SAOB12ab12,当且仅当32ab时等号成立,这时23bka ,从而所求直线的方程为 2x3y120.方法二 由题意知,直线 l 的斜率 k 存在且 k0,则直线 l 的方程为 y2k(x3)(k0;当 k0 时,直线为 y1,符合题意故 k0.(3)由 l 的方程得 A(12kk,0)B(0,12k)依题意得 k0.S12|OA|OB|12|12kk|12k|12(12k)2k12(4k1k4)12(
9、224)4,当且仅当 k0 且 4k1k,即 k12时,等号成立,Smin4,此时 l:x2y40.巩固 3.设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程;(2)若直线 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围【解析】(1)当 a1 时,直线 l 的方程为 y30,不符合题意;当 a1 时,直线 l 在 x 轴上的截距为a2a1,在 y 轴上的截距为 a2,因为 l 在两坐标轴上的截距相等,所以a2a1a2,解得 a2 或 a0,所以直线 l 的方程为 3xy0 或 xy20.(2)将直线 l 的方程化为 y(a1)xa2,所以(a1
10、)0a20或(a1)0a20,解得 a1.综上所述,a1.巩固 4.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成 45和 30,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y12x上时,求直线AB的方程 【解析】由题意可得 kOAtan451,kOBtan(18030)33,所以直线 lOA:yx,lOB:y33x.设 A(m,m),B(3n,n),所以 AB 的中点 C(m 3n2,mn2)由点 C 在直线 y12x 上,且 A,P,B 三点共线得 mn212m 3n2m0m1n0 3n1,解得 m 3,所以 A(3,3)又 P(1,0),所以 kABkAP3
11、313 32,所以 lAB:y3 32(x1),即直线 AB 的方程为(3 3)x2y3 30.模块二 两条直线的位置关系 1有斜率的两条直线平行与垂直 若 l1:yk1xb1,l2:yk2xb2,则_l1l2_k1k2,b1b2;_l1l2_k1k21;l1与 l2重合_k1k2,b1b2_ 2直线的一般式方程中的平行与垂直条件 若直线 l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20(其中 A1,B1不同时为 0,A2,B2不同时为 0),则 l1l2_A1B2A2B1且 A1C2A2C1_;l1l2_A1A2B1B20_ 3两直线的交点 直线 l1:A1xB1yC10 与 l2:A2x
12、B2yC20 的公共点的坐标与方程组11122200AxB yCA xB yC的解一一对应(1)_相交_方程组有一组解;(2)_平行_方程组无解;(3)_重合_方程组有无数组解 4已知两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两点间的距离为 d221212()()xxyy 5 设点 P(x0,y0),直线 l:AxByC0(A,B 不同时为 0),则点 P 到直线 l 的距离为 d0022AxByCAB 6两条平行直线 l1:AxByC10 与 l2:AxByC20(A,B 不同时为 0)之间的距离 d1222CCAB 考点4 两条直线平行、垂直关系【例】已知直线 l1:ax2y60 和
13、直线 l2:x(a1)ya210.(1)当 l1l2时,求 a 的值;(2)当 l1l2时,求 a 的值【解析】(1)解法 1:当 a1 时,l1:x2y60,l2:x0,l1不平行于 l2;当 a0 时,l1:y3,l2:xy10,l1不平行于 l2;当 a1 且 a0 时,两直线可化为 l1:32ayx,l2:1(1)1yxaa,l1l2 1213(1)aaa 解得 a1,综上可知,当 a1 时,l1l2.:解法 2:由 A1B2A2B10,得 a(a1)120,由 A1C2A2C10,得 a(a21)160,l1l22(1)1 20(1)1 60a aa a 2220(1)6aaa a可
14、得 a1,故当 a1 时,l1l2.(2)解法 1:当 a1 时,l1:x2y60,l2:x0,l1与 l2不垂直,故 a1 不成立;当 a0 时,l1:y3,l2:xy10,l1不垂直于 l2,故 a0 不成立;当 a1 且 a0 时,l1:32ayx,l2:1(1)1yxaa由1121aa,得 a23.:解法 2:由 A1A2B1B20,得 a2(a1)0,可得 a23.巩固 1.直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行,则 m_.【解析】直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行,则有21432mm,故 m2 或3.巩固 2.两条直线12:(3)253,:4(5)1
15、6lmxym lxm y,且1l与2l平行,则 m=【解析】因为1l与2l平行,所以(3)(5)2 4mm,解得1m 或7m .当1m 时,12:228,:4416lxylxy重合,不成立,舍去;当7m 时1:4226lxy,2:4216lxy,成立.所以7m .巩固 3.已知两条直线 l1:axby40 和 l2:(a1)xyb0,求满足下列条件的 a,b 的值(1)l1l2,且 l1过点(3,1);(2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等【解析】(1)由已知可得 l2的斜率存在,且 k21a.若 k20,则 1a0,a1.l1l2,直线 l1的斜率 k1必不存在,即 b0.又l1过
16、点(3,1),3a40,即 a43(矛盾),此种情况不存在,k20,即 k1,k2都存在且不为 0.k21a,k1ab,l1l2,k1k21,即ab(1a)1.(*)又l1过点(3,1),3ab40.(*)由(*)(*)联立,解得 a2,b2.(2)l2的斜率存在,l1l2,直线 l1的斜率存在,k1k2,即ab1a,又坐标原点到这两条直线的距离相等,且 l1l2,l1,l2在 y 轴上的截距互为相反数,即4bb,联立,解得22ab 或232ab a2,b2 或 a23,b2.考点5 直线的交点【例】下面三条直线 l1:4xy40,l2:mxy0,l3:2x3my40 不能构成三角形,求实数
17、m【解析】(1)三条直线交于一点时:由4400 xymxy,解得 l1和 l2的交点 A 的坐标44(,)44mmm,由 A在 l3上可得4423()444mmmm,解得 m23或 m1.(2)至少两条直线平行或重合时:l1、l2、l3至少两条直线斜率相等,当 m4 时,l1l2;当 m16时,l1l3;若 l2l3,则需有123mm,m223不可能综合(1)、(2)可知,m1,16,23,4 时,这三条直线不能组成三角形,因此 m 的取值集合是1,16,23,4 巩固 1.求证:无论 k 取任何实数,直线(14k)x(23k)y214k0 必经过一个定点,并求出定点坐标【解析】原直线方程可以
18、转化成 k(4x3y14)(x2y2)0,联立43140220 xyxy,解得22xy,即直线必经过一个定点,且此定点的坐标为(2,2)巩固2.已知直线ykx2k1与直线122yx 的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是_【解析】由方程组21122ykxkyx 解得24216121kxkkyk,(若 2k10,即 k12,则两直线平行)交点坐标为2461(,)21 21kkkk.又交点位于第一象限,2402161021kkkk解得1162k.巩固 3.已知平面上三条直线1l:x2y10,2l:x10,3l:xky0,如果这三条直线将平面划分为六个部分,则实数 k 的取值集合_【解析】若三条直
19、线有两条平行,另外一条与这两条直线相交,当1l/3l时,2k,当2l/3l时,k0;若三条直线交于一点,也符合要求,此时 k1,故实数 k 的取值集合为0,1,2 考点6 距离公式【例】已知点 P(2,1)(1)求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程(2)求过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程,并求出最大距离(3)是否存在过点 P 且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由【解析】(1)过点 P 的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为(2,1),可见过 P(2,1)垂直于 x 轴的直线满足条件此时 l 的斜率不存在,其方程为 x2.若斜率存在
20、,设 l 的方程为 y1k(x2),即 kxy2k10.由已知得22121kk,解得34k.此时 l 的方程为 3x4y100.综上,可得直线 l 的方程为 x2或 3x4y100.(2)过点 P 与原点 O 距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线,由 lOP,得 klkOP1.所以 kl1OPk2.由直线的点斜式方程得 y12(x2),即 2xy50,即直线 2xy50 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为555.(3)由(2)可知,过 P 点不存在与原点距离超过的直线,因此不存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线 巩固 1.若直线 l 过点 P(1,2)且到点
21、A(2,3)和点 B(4,5)的距离相等,则直线 l 的方程为_【解析】当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y2k(x1),即 kxyk20.由题意知2223245211kkkkkk ,即|3k1|3k3|,k13.直线 l 的方程为 y213(x1),即 x3y50.当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x1,也符合题意 巩固 2.在平面内,已知直线 l1l2,点 A 是 l1,l2之间的定点,点 A 到 l1,l2的距离分别为 3 和 2,点 B 是 l2上的一个动点,若ACAB,且 AC 与 l1交于点 C,则ABC面积的最小值为 .【解析】以 A 为坐标原点,平行
22、于 l1的直线为 x 轴,建立直角坐标系,设(,2),(,3)B aC b ACAB,60ab,即6ba.Rt ABC的面积 2222221136114414949729727262222Sabaaaa,Rt ABC的面积的最小值是 6.巩固 3.若动点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线 l1:xy50,l2:xy150 上移动,求 P1P2的中点 P到原点的距离的最小值【解析】由题意得 P1P2的中点 P 的轨迹方程是 xy100,则原点到直线 xy100 的距离为105 22d,即 P 到原点距离的最小值为5 2.巩固 4.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1:kxy2
23、0 与直线 l2:xky20 相交于点 P,则当实数 k 变化时,点 P 到直线 xy40 的距离的最大值为_【解析】当 k0 时,点 P(2,2)到直线 xy40 的距离为2 2;当 k0 时,解方程组2020kxyxky,得两直线交点 P 的坐标为222222,11kkkk,所以点 P 到直线 xy40 的距离为222222244111122kkkkkk,为求得最大值,考虑正数 k,则有211112kkkk,当且仅当 k1 时取等号,所以23414123 222kk.巩固 5.三条直线:l1:2xya0(a0);l2:4x2y10;l3:xy10,且 l1与 l2间的距离是7 510(1)
24、求 a 的值;(2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件:点 P 在第一象限;点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的12;点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是2:5.若能,求点 P 的坐标;若不能,请说明理由【解析】(1)直线 l2:2xy120,所以两条平行直线 l1与 l2间的距离为221()7 52102(1)ad ,所以17 52105ad,即1722a,又 a0,解得 a3.(2)假设存在点 P,设点 P(x0,y0)若点 P 满足条件,则点 P 在与 l1,l2平行的直线 l:2xyc0 上,且1312255cc,即132c 或116,所以直线
25、l的方程为 2x0y01320 或 2x0y01160;若点 P 满足条件,由点到直线的距离公式,有00002312552xyxy,即|2x0y03|x0y01|,所以 x02y040 或 3x020;由于点 P 在第一象限,所以 3x020 不可能 联立方程 2x0y01320 和 x02y040,解得00312xy (舍去);联立方程 2x0y01160 和 x02y040,解得00193718xy;所以存在点 P1 37,9 18同时满足三个条件 考点7 对称问题【例】如图,已知 A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线
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