三角函数的图像与性质复习.pdf
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1、授课主题 三角函数的图像与性质复习 教学目的 三角函数的图象和性质的考查中,以图象的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容,并且往往与三角变换公式相互联系,有时也与平面向量,解三角形或不等式内容相互交汇 教学重点 运用三角函数知识解决综合问题 教学内容 1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 ysin x,x0,2的图象中,五个关键点是:(0,0),(2,1),(,0),(32,1),(2,0)2、三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin y,cos x,tan yx.各象限角的三角函数值的
2、符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦(2)同角关系:sin2cos21,sin cos tan.(3)诱导公式:在k2,kZ 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”3 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数性质 ysin x ycos x ytan x 定义域 R R x|xk2,kZ 图象 值域 1,1 1,1 R 对称性 对称轴:xk2(kZ);对称中心:(k,0)(kZ)对称轴:xk(kZ);对称中心:(k2,0)(kZ)对称中心:k2,0(kZ)周期 2 2 单调性 单调增区间2k2,2k2(kZ);单调减区间2k2,2k32(kZ)单调增区间2k,2k(kZ);单调减区间 2
3、k,2k(kZ)单调增区间(k2,k2)(kZ)奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 4 三角函数的两种常见变换 题型一 求三角函数的定义域和最值 例1(1)(2012山东)函数 y2sinx63(0 x9)的最大值与最小值之和为()A2 3 B0 C1 D1 3(2)函数 y1tan x1的定义域为_ 解析(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值 0 x9,36x376,sin6x332,1.y 3,2,ymaxymin2 3.(2)要使函数有意义,必须有 tan x10 x2k,kZ,即 x4k,kZx2k,kZ.故函数的定义域为x|x4k 且 x2k,kZ 思维升华(1)求三角函数的定义域实际
4、上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式,再求最值(值域);形如 yasin2xbsin xc 的三角函数,可先设 sin xt,化为关于 t 的二次函数求值域(最值);形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数,可先设 tsin xcos x,化为关于 t 的二次函数求值域(最值)(1)函数 ylg(sin x)cos x12的定义域为_ (2)函数ysin2xsin x1 的值域为 ()A1,1 B54,1
5、C54,1 D1,54 解析(1)要使函数有意义必须有 sin x0,cos x120,即 sin x0,cos x12,解得 2kx2k,32kx32k(kZ),2kx32k,kZ,函数的定义域为x|2k0)的单调区间时,要视“x”为一个整体,通过解不等式求解但如果 0)的最小正周期为 1,则它的图象的一个对称中心为 ()A(8,0)B(0,0)C(18,0)D(18,0)(2)设函数 ysin(x)(0,(2,2)的最小正周期为,且其图象关于直线 x12对称,则在下面四个结论:图象关于点(4,0)对称;图象关于点(3,0)对称;在0,6上是增函数;在6,0上是增函数中,所有正确结论的编号为
6、_ 答案(1)C(2)解析(1)由条件得 f(x)2sin(ax4),又函数的最小正周期为 1,故2a1,a2,故 f(x)2sin(2x4)将 x18代入得函数值为 0.(2)T,2.又 212k2(kZ),k3(kZ)(2,2),3,ysin(2x3),由图象及性质可知正确 题型四 诱导公式的应用 例 2 已知0)的周期为.(1)求它的振幅、初相;(2)说明函数 f(x)的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到 解(1)f(x)sin x 3cos x 2(12sin x32cos x)2sin(x3),又T,2,即 2.f(x)2sin(2x3)函数 f(x)sin x 3c
7、os x 的振幅为 2,初相为3.(3)方法一 把 ysin x 的图象上所有的点向左平移3个单位,得到 ysinx3的图象,再把ysinx3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到 ysin2x3的图象,最后把 ysin2x3上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 y2sin2x3的图象 方法二 将 ysin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到 ysin 2x 的图象;再将 ysin 2x 的图象向左平移6个单位,得到 ysin 2x6sin2x3的图象;再将 ysin2x3的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为
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- 三角函数 图像 性质 复习
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