不定积分解题方法及其技巧总结分析.doc
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1、不定积分解题方法总结摘要:在微分学中,不定积分是定积分、二重积分等的基础,学好不定积分十 分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循” 。本 文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词:不定积分;总结;解题方法不定积分看似形式多样,变幻莫测,但并不是毫无解题规律可言。本文所 总结的是一般规律,并非所有相似题型都适用,具体情况仍需要具体分析。1.利用基本公式。 (这就不多说了) 2.第一类换元法。 (凑微分) 设 f()具有原函数 F()。则CxFxdxfdxxxf)()()()( )(其中可微。)(x用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,
2、寻找导数项内容, 同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数 中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例 2:例 1:dxxxxx ) 1(ln) 1ln(【解】) 1(11 11)ln) 1(ln(xxxxxxCxxxxdxxdxxxxx2)ln) 1(ln(21)ln) 1(ln()ln) 1(ln() 1(ln) 1ln(例 2:dxxxx2)ln(ln1【解】xxxln1)ln(Cxxxxxdxdxxxxln1 )ln(ln ) 1(ln1223.第二类换元法:设是单调、可导的函数,并且具有原函数,)(tx)( )(. 0)( ttft又
3、设则有换元公式 dtttfdxf)( )(x)(第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记 会用。主要有以下几种:achtxtaxtaxaxashtxtaxtaxaxtaxtaxxa;:;:;:cscsec)3(cottan)2(cossin) 1 (222222也奏效。,有时倒代换当被积函数含有:txcbxaxxtdcxbax dcxbaxtbaxbaxmnnnn1)6()5()4(2 (7)当根号内出现单项式或多项式时一般用 代去根号。tCxxxCttttdttttdttxtdxxsin2cos2sin2cos2)coscos( 2sin2sin但当根号内出现高次幂时
4、可能保留根号,cxdt tdt ttdt tt tdtttttx xxdx 661212512621212arcsin6111 61111111111(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用 代去根号。tCxxxCttttdttttdttxtdxxsin2cos2sin2cos2)coscos( 2sin2sin但当根号内出现高次幂时可能保留根号,cxdt tdt ttdt tt tdtttttx xxdx 661212512621212arcsin6111 611111111114.分部积分法.公式:dd分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积分的部分先做,最终完 成不定积分。具体选取时
5、,通常基于以下两点考虑:、 (1)降低多项式部分的系数 (2)简化被积函数的类型 举两个例子吧!例 3:dx xxx231arccos【解】观察被积函数,选取变换,则xtarccos tdttdtttttdx xxx3323 cos)sin(sincos1arccosCxxxxxCttttttdttttdtttttttttdtdttarccos1)2(31 32 91cos91cos32sinsin31cos) 1sin31(sinsin31)sinsin31(sinsin31)sinsin31(sin) 1(sin22333233332例 4:xdx2arcsin【解】dx xxxxxxdx
6、 222 11arcsin2sinarcsinCxxxxxdx xxxxxxxxdxx 2arcsin12arcsin121arcsin12arcsin1arcsin2arcsin22222上面的例 3,降低了多项式系数;例 4,简化了被积函数的类型。 有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分。在中,的选取有下面简单的规律:dd、选取的函数不能改变。,会出现循环,注意,)3(sin,cos)3()(arcsin,arctan,ln)2(cos,sin,)() 1 (xxexPxxxaxaxexPaxmax m将以上规律化成一个图就是:但是,当时,是无法求解的。xxarcsinln,对于(
7、3)情况,有两个通用公式:CbxbbxabaedxbxeICbxbbxabaedxbxeIax axax ax)sincos(cos)cossin(sin222221(分部积分法用处多多在本册杂志的涉及 lnx 的不定积分中,常可以看到 分部积分)5 不定积分中三角函数的处理 1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数上下同乘变形为dxxx22cossin1xsinxxxxddxxxcos1cos1coscos cossin12令,则为xucos(lnx arcsinx)Pm(x)(axsinx)cxxcxx xduuuuuuudu 2sec41 2tanln21cos1cos1l
8、n41 cos121)141 141121(1122222.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系,注意的1cossin22xx使用。 cxxxxdxxxdxxxxxdxxxxx 82tanln 221cossin21)4/sin(2cossin21cossin1cossin 21 cossincossin2三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难, 适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。 3. 函数的降次形如积分(m,n 为非负整数)的cossinxdxxnm当 m 为奇数时,可令,于是xucos, duuuxxdxdxxxnm nmnm21 211
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- 不定积分 解题 方法 及其 技巧 总结 分析
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