编辑打印一份离散型随机变量典型题.doc
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1、/离散型随机变量典型题离散型随机变量典型题1有 3 张形状、大小、质量完全相同的卡片,在各张卡片上分别标上 0、1、2。现从这 3张卡片中任意抽出一张,读出其标号 ,然后把这张卡片放回去,再抽一张,其标号为,xy记。 (1)求的分布列;(2)求和。xyED解:(1)可能取的值为 0、1、2、4。 (2 分)且, (6 分)95)0(P91)1(P92)2(P91)4(P所求的分布列为: (8 分)(2)由(1)可知, (11 分)1914922911950E(14 分)916 91) 14(92) 12(91) 11 (95) 10(2222D2 (本题满分 14 分)甲与乙两人掷硬币,甲用一
2、枚硬币掷 3 次,记正面朝上的次为 ;乙用这枚硬币掷 2 次,记正面朝上的次为 .(1)分别求 和 的期望;(2)规定;若 ,则甲获胜,若 )=21 41 21 41 81 42 41 83 41 83)()(P()=163)83 81(41 81 210124P95 91 92 91/所以甲获胜的概率为,乙获胜的概率为。21 1633甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为 0.6,被甲或乙解出的 概率为 0.92. (1)求该题被乙独立解出的概率;(2)求解出该题的人数的数学期望和方差.解:(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A、B. 设甲独立解出此题的概率为 P1,乙为
3、 P2.(2 分) 则 P(A)=P1=0.6,P(B)=P2:48. 08 . 06 . 0)()()2( 44. 08 . 04 . 02 . 06 . 0)()()()() 1(08. 02 . 04 . 0)()()0()2()7(8 . 032. 04 . 092. 06 . 06 . 092. 0)1)(1 (1)(1)(2222212121的概率分布为分即则BPAPPBPAPBPAPPBPAPPPPPPPPPPPPBAPBAP012P0.080.440.48)12(4 . 096. 136. 2)()(4 . 01728. 00704. 01568. 048. 0)4 . 12(
4、44. 0)4 . 11 (08. 0)4 . 10(4 . 196. 044. 048. 0244. 0108. 0022222分或利用EEDDE4口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字 1,三张标有数字 2,二张标有数 字 3,第一次从口袋里任里任意抽取一张,放回口袋里后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.()为何值时,其发生的概率最大?说明理由;()求随机变量的期望 E。解(I)依题意,随机变量的取值是 2、3、4、5、62 分因为 P(=2)=;P(=3)=649 8322 6418 83222 P(=4)=;P(=5)=;6421 8232322 64
5、12 82322/P(=6)=;7 分644 8222 所以,当=4 时,其发生的概率 P(=4)=最大8 分6421()E=12 分415 644664125642146418364925 (本小题满分 12 分)A 有一只放有 x 个红球,y 个白球,z 个黄球的箱子(x、y、z0, 且) ,B 有一只放有 3 个红球,2 个白球,1 个黄球的箱子,两人各自从6zyx 自己的箱子中任取一球比颜色,规定同色时为 A 胜,异色时为 B 胜.(1)用 x、y、z 表示 B 胜的概率;(2)当 A 如何调整箱子中球时,才能使自己获胜的概率最大? 解:(1)显然 A 胜与 B 胜为对立事件,A 胜分
6、为三个基本事件: A1:“A、B 均取红球” ;A2:“A、B 均取白球” ;A3:“A、B 均取黄球”.61 6)(,31 6)(,21 6)(321zAPyAPxAP,3623)()()()(321zyxAPAPAPAP36231)(zyxBP(2)由(1)知,3623)(zyxAP0, 0, 0, 6zyxzyx又于是,即 A 在箱中只放 60, 6,21 3612 3623)(zyxzxzyxAP当个红球时,获胜概率最大,其值为.216某中学有 5 名体育类考生要到某大学参加体育专业测试,学校指派一名教师带队,已知每位考生测试合格的概率都是,32(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各
7、3 个座位,求体育教师不坐后排的概率;(2)若 5 人中恰有 r 人合格的概率为,求 r 的值;24380(3)记测试合格的人数为,求的期望和方差。解:(1)体育教师不坐后排记为事件 A,则。21)(1 61 3CCAP(2)每位考生测试合格的概率,测试不合格的概率为32P311 P则,即,24380)1 ()(5 55rrrPPCrP24380 32)31()32(555 5rr rrrCC, 8025rrC3r(3) )32, 5(B/ ,310 325E910 31 325D7袋中有 1 个白球和 4 个黑球,每次从其中任取一个球,直到取到白球为止.()当每次取出的黑球不再放回时,求取球
8、次数的数学期望与方差;()当每次取出的黑球仍放回去时,求取球次数的数学期望与方差。解()当每次取出的黑球不再放回时,设随机变量是取球次数,因为每次取出的黑球不再放回,所以的可能取值为 1,2,3,4,5,易知511) 1(1 5CP,511)3(,511)2(1 31 41 3 1 51 4 1 41 51 4CCC CCPCCCP,5111)5(,511)4(1 21 31 2 1 41 3 1 51 4 1 21 31 2 1 41 3 1 51 4CCC CC CCPCCC CC CCP故随机变量的概率分布列为:12345P51 51 51 51 5151)33(51)32(51)31
9、(, 3515514513512511222DE.6 分. 2)21012(51 51)35(51)34(2222222()当每次取出的黑球仍放回去时,设随机变量是取球次数,因为每次取出的黑球仍放回去,所以的可能取值是一切正整数,141()( ),1,2,55kPkk所求概率分布为 123nP51 51 5451)54(251)54(1n 121221221.20551)54()(, 551)541 (1 51)54(kkkkkEEDkE8如图,一辆车要直行通过某十字路口,这时前方刚好由绿灯转为红灯.该车前面已有 4 辆车依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶).已知每辆车直行的
10、概率为,左转行驶的概率.该路口红绿灯转换间隔均为 1 分钟.假设该车道上一辆直行的车32 31驶出停车线需要 10 秒,一辆左转行驶的车驶出停车线需要 20 秒.求:/(1)前面 4 辆车恰有 2 辆左转行驶的概率为多少? (2)该车在第一次绿灯亮起的 1 分钟内能通过该十字路口的概率(汽车驶出停车线就算通 过路口) (3)假设每次由红灯转为绿灯的瞬间,所有排队等候的车辆都同时向前行驶,求该车在这 十字路口候车时间的数学期望。(1))4(278)31()32(222 4分C(2))8(2716)31()32()32(33 444 4分CC(3)设该车在十字路口停车等候时间为 t,则时间 t 的
11、分布列为时间 t(min)13 概率 P 2716 2711则停车时间的数学期望为)13(.min2749 2711327161分9某校一个研究性学习团队从网上查得,某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为,于是该学习团队分两个小组进行验证性实验.1 2 ()第一小组做了 5 次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子) ,求他们的实验 至少有 3 次成功的概率; ()第二小组做了若干次发芽实验(每次均种下一粒种子) ,如果在一次实验中种子发芽 成功就停止实验,否则就继续进行下次实验.直到种子发芽成功为止,但实验的次数不超过 5 次.求这一小组所做的种子发芽实验次数的分布列和期望。解:解:
12、()至少有 3 次成功包括 3 次、4 次和 5 次成功,即:43324455 55511111( ) (1)( ) (1)( )0.522222CCC()依题意有:12345P1 21 41 81 161 16 64111113112345248161616E 10从分别写有的九张卡片中,任意抽取两张,计算:1, 2,3, 4,5,6,7,8,9/()卡片上的数字都是奇数的概率;()当两张卡片上的数字之和能被 3 整除时,就说这次试验成功,求在 15 次试验中成功次数的数学期望。();2 5 12 95 18CPC()一次试验成功的概率为,从而,故112 333 2 91 3CCCpC115
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