复数知识学习资料点归纳.doc
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1、 复复 数数【知识梳理知识梳理】1 1、复数的基本概念复数的基本概念1、虚数单位的性质叫做虚数单位,并规定: 可与实数进行四则运算;这样方程就有解了,ii12i12x解为或ix ix2、复数的概念(1)定义:形如(a,bR)的数叫做复数,其中 叫做虚数单位,a 叫做 ,b 叫做 biai。全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示,即(a,bR)Czbiaz对于复数的定义要注意以下几点:对于复数的定义要注意以下几点:(a,bR)被称为复数的代数形式,其中表示与虚数单位 相乘biazbibi复数的实部和虚部都是实数,否则不是代数形式(2)分类:满足条件(a,b 为实数)abi 为实数b0a
2、bi 为虚数b0复数的分类abi 为纯虚数a0 且 b0例题:例题:当实数为何值时,复数是实数?虚数?纯虚数?mimmmm)3()65(22、复数相等复数相等),(,Rdcbadbcadicbia也就是说,两个复数相等,充要条件是他们的实部和虚部分别相等注意:注意:只有两个复数全是实数,才可以比较大小,否则无法比较大小例题:已知求的值0)4()3(ixyxyx,3、共轭复数共轭复数与共轭biadic),(,Rdcbadbca的共轭复数记作,且biazbiaz_22_ bazz 4、复数的几何意义复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴。显然
3、,实轴上的xy点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。 2、复数的几何意义复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系(复数biaz),(baZ),(baOZ ),(Rba的实质是有序实数对,有序实数对既可以表示一个点,也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数例题:例题:(1)当实数为何值时,复平面内表示复数的点mimmmmz)145()158(22位于第三象限;位于直线上xy (2)复平面内,已知,求对应的复数)6 , 2( AB ABCD/ CD3、复数的模:向量的模叫做复数的模,记作或,表示点到原点的距离,即 OZbiazzbia),(baz,22babiazz 若,则表
4、示到的距离,即biaz1dicz221zz ),(ba),(dc22 21)()(dbcazz例题:例题:已知,求的值iz 2iz15 5、复数的运算复数的运算(1)运算法则:设 z1abi,z2cdi,a,b,c,dRidbcadicbiazz)()(21iadbcbdacdicbiazz)()()()(2122 21)()( )()()( )()( dciadbcbdac dicdicdicbia dicbia zz (2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即OZ,.OZ1OZ2Z1Z2OZ2O
5、Z16、常用结论常用结论(1) ,i12iii314i求,只需将除以 4 看余数是几就是 的几次nini例题:675i(2),ii2)1 (2ii2)1 (2(3),1)23 21(3i1)23 21(3i【思考辨析思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程 x2x10 没有解.( )(2)复数 zabi(a,bR)中,虚部为 bi.( )(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( )【考点自测考点自测】1.(2015安徽)设 i 是
6、虚数单位,则复数(1i)(12i)等于( )A.33i B.13i C.3i D.1i2.(2015课标全国)已知复数 z 满足(z1)i1i,则 z 等于( )A.2i B.2i C.2i D.2i3.在复平面内,复数 65i,23i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是( )A.48i B.82i C.24i D.4i4.已知 a,bR,i 是虚数单位.若 ai2bi,则(abi)2等于( )A.34i B.34i C.43i D.43i5.已知(12i) 43i,则 z_.z【题型分析题型分析】题型一题型一 复数的概念复数的概念例 1 (1)设 i
7、 是虚数单位.若复数 za(aR)是纯虚数,则 a 的值为( )103iA.3 B.1 C.1 D.3(2)已知 aR,复数 z12ai,z212i,若为纯虚数,则复数的虚部为( )z1z2z1z2A.1 B.i C. D.025(3)若 z1(m2m1)(m2m4)i(mR),z232i,则“m1”是“z1z2”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件引申探究引申探究1.对本例(1)中的复数 z,若|z|,求 a 的值.102.在本例(2)中,若为实数,则 a_.z1z2思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以
8、转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为 abi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部.(1)若复数 z(x21)(x1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( )A.1 B.0 C.1 D.1 或 1(2)(2014浙江)已知 i 是虚数单位,a,bR,则“ab1”是“(abi)22i”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件题型二题型二 复数的运算复数的运算命题点命题点 1 复数的乘法运算复数的乘法运算例 2 (1)(2015湖北)i 为虚数单位,i
9、607的共轭复数为( )A.i B.i C.1 D.1(2)(2015北京)复数 i(2i)等于( )A.12i B.12i C.12i D.12i命题点命题点 2 复数的除法运算复数的除法运算例 3 (1)(2015湖南)已知1i(i 为虚数单位),则复数 z 等于( )1i2zA.1i B.1i C.1i D.1i(2)()6_.1i1i2 3i3 2i命题点命题点 3 复数的运算与复数概念的综合问题复数的运算与复数概念的综合问题例 4 (1)(2015天津)i 是虚数单位,若复数(12i)(ai)是纯虚数,则实数 a 的值为_.(2)(2014江苏)已知复数 z(52i)2(i 为虚数单
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