理解矩阵地概念掌握一些特殊矩阵及其性质.doc
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1、/第二章第二章矩阵矩阵要求:1) 理解矩阵的概念。掌握一些特殊矩阵及其性质,如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等;2)掌握矩阵的基本运算及其运算规则,如线性运算、乘法运算、矩阵行列式运算等; 3)理解逆矩阵概念,掌握逆矩阵性质及矩阵可逆的充分必要条件,了解伴随矩阵概念;4)掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,掌握用初等变换求逆矩阵的方法。5)掌握矩阵的分块运算。2.1 矩阵知识点:矩阵的定义,一些特殊矩阵定义定义 1(矩阵)(矩阵) 由 个实数排成的一个 m 行 n 列的矩形数表nmija,mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称之为 矩阵,位
2、置( ,)上的元素,)上的元素,一般用表示(强调两个足标的意义) 。nmijija矩阵可简记为 或 或 .nmAijaA nmijaA例例 1 含有 n 个未知数、m 个方程的线性方程组nxxx,21 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111把和按原顺序可以组成一个矩阵: 。 ijaib) 1( nmmmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述;反之,一个矩阵也完全刻划了一个方程组。/如如 已知某方程组对应于下列矩阵 。写出该方程组, 113103213212方矩阵方矩阵
3、 若 ,称 A 为阶(方)矩阵,也可记作 . (强调矩阵的(主)对角线(主)对角线,nm nnA)而 称之为对角元素对角元素;(反主对角线)反主对角线) 。nnaaa,2211当 时,即 , 此时矩阵退化为一个数.1 nm 11aA 11a同型矩阵同型矩阵 具有相同行数和相同列数的矩阵,称之为同型矩阵。矩阵相等矩阵相等 若同型矩阵和在对应位置上的元素都相等,即 nmijaAnmijbB, 1;, 1,njmibaijij零矩阵零矩阵 所有元素都为零的矩阵,称之为零矩阵。一般记作 O;或 . nmO注意,不同型的零矩阵是不相等的。三角矩阵三角矩阵 设是 阶矩阵。ijaA n1)若的元素满足 ,称
4、是上三角矩阵;上三角矩阵; Ajiaij,0A2)若的元素满足 称是下三角矩阵;下三角矩阵; Ajiaij,0A和 。nnnnaaaaaaA00022211211nnnnaaaaaaA21222111 000对角矩阵对角矩阵 若元素满足 ;其形状是jiaij,0,nnaaaA0000002211/记作 .,2211iinnadiagaaadiagA数量矩阵:数量矩阵:对角元素为常数的对角矩阵,记作 K, 即 K = )(kdiag单位矩阵单位矩阵 对角元素为 1 的对角矩阵,记作 或 (阶) ,即InIn。100010001I零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于 0 和 1 在数的运算
5、中所起的作用。2.2 矩阵的基本运算知识点:矩阵的加(减)法、数乘、乘法、转置和矩阵的行列式;伴随矩阵。一、一、加(减)法加(减)法定义定义 2 (矩阵加法)(矩阵加法)设 和 是 的矩阵,A 与 B 的加法(或ijaA ijbB nm称和) ,记作 A+B,定义为一个 的矩阵nm.BAcCijmnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111例例 2 设, , , 2015A 4012B dbcaC计算 ;若已知 , 求出 .BABACdcba,负矩阵负矩阵 设 ,称矩阵 为矩阵 A 的负矩阵。nmijaAijaA/矩阵的减法矩阵的减
6、法: )( BABAmnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111由定义,容易验证矩阵的加法满足下列运算法则(其中为同型矩阵) 。OCBA,(1)交换律 ABBA(2)结合律 )()(CBACBA(3) AOA(4) OAA二、二、数乘数乘定义定义 3 (矩阵数乘)(矩阵数乘) 数与矩阵的乘积(称之为数乘) ,记作 或,nmijaAAA定义为一个 的矩阵 nm。AAcCijmnmmnnaaaaaaaaa212222111211由定义,数乘运算满足下列运算法则(设是同型矩阵,是数):OBA,(1)数对矩阵的分配律 BABA)((2)矩
7、阵对数的分配律 AAA)((3)结合律 )()(AA(4) OA 0例例 3 设/, 345751213 A 123915457 B且 求矩阵.,2BXAX三、乘法乘法定义定义 4 (矩阵乘法)(矩阵乘法) 设是一个矩阵,是一个矩阵,A 与ijaA smijbB nsB 的乘法,记作 AB,定义为一个 的矩阵 ,其中nmijcABC skkjiksjisjijiijbabababac12211.),2, 1;,2, 1(njmi由定义,不难看出(强调):(1)只有在左矩阵 A 的列数和右矩阵 B 的行数相等时,才能定义乘法 AB;(2)矩阵 C=AB 的行数是 A 的行数,列数则是 B 的列数
8、;(3)矩阵 C=AB 在 位置上的元素等于 A 的第行元素与 B 的第列对应元素),(jiij的乘积之和。例例 4 设矩阵 , . 20121301A 431102311014B求 和 .ABBA例例 5 任何一个矩阵 A 与单位矩阵 I 的乘积仍然等于该矩阵 A(假如乘积有意义) ,即 A I = I A = A。如 2142 2142 1001 1001 2142例例 6 设是的矩阵(行向量) ,是的矩阵(列向量) ,即An1B1n/,naaaA21nbbbB21求 和 .ABBA例如 , 则 , 而 。 .102A 011 B2AB 000102102 BA例例 7 设矩阵 , 求 和
9、 . 1122,2142BAABBA解解 ; . 0000AB 2142BA上述几个例子显示,当有意义时,不一定有意义(例 4) ;即使和ABBAAB都有意义(例 6) ,且有相同的矩阵阶数(例 7) ,和也不一定相等。因此矩阵BAABBA乘法不满足交换律不满足交换律(对一般情况而言)。若两个矩阵和满足 ABBAAB 则称矩阵和是可交换的可交换的,如AB1)单位矩阵与任何(同阶)矩阵可交换,即成立 。IAAI 2)任何两个对角矩阵也都是可交换的。 (作为习题)3)一个矩阵与任何(同阶)矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。 (作为习题)例 7 还显示,当 时,不能推出或。进一步,当,OAB O
10、A OB ACAB 且时,推不出。这表明矩阵乘法也不满足消去律。不满足消去律。OA CB 但但矩阵乘法仍满足分配律和结合律满足分配律和结合律:(1)分配律 ; 。ACABCBA)(CABAACB)(/(2)结合律 。)()(BCACAB(3)数乘结合律 , 其中 是一个数。)()()(BABAAB(4) 。AIAAI证明矩阵相等的方法:(I) 左右矩阵为同型;(II) 左右矩阵在对应位置上的元素相等。),(ji(2)的证明)的证明 设是矩阵,是矩阵,是 矩阵,ijaA smijbB tsijcC nt 则 是矩阵,且;而是矩阵,且ABdDijtm sllkilikbad1BCeEijns,从而
11、和都是矩阵。再记 tkkjlkljcbe1)(BCA)(BCAnm,。只需证故 即可。 DCCABP)(AEBCAQ)(ijijqp 例例 8 设矩阵、是上(下)三角矩阵,则 亦是上(下)三角矩阵;且 的对ABABAB角元素等于、对角元素的乘积。特别,对角矩阵的积仍是对角矩阵。AB证明:证明:记 ,则 ,只要证明 ,并 。ABC skkjikijbac1jicij,0iiiiiibac 如如 , , 300020121 A 200020133 B矩阵的幂矩阵的幂 设是阶矩阵,定义:An,)(,121kkAAAAAAAA其中,是正整数;特别规定 . 由于乘法成立分配律结合律,有kIA 0,lkl
12、kAAAkllkAA)(但由于不成立交换律,故一般 。kkkBAAB)(/例例 9 设矩阵 , ,0000100001000010A,000100010001B求 和 。 (把 A 推广到一般 n 阶矩阵)4A)4( nBn四、四、转置运算转置运算定义定义 5 (转置矩阵转置矩阵) 设 , mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211mnnnmmTaaaaaaaaaA212221212111将的行和列对应互换得到的矩阵,定义为 A 的转置矩阵,转置矩阵,记作, 。AmnTA由定义可知,即在位置上的元素是矩阵 A 在位置上的元素。jiijTAA)()(TA),(ji),(ij例例 1
13、0 设矩阵 , 4312, 232014 BA求 , 和 。TAB)(TTABTTBA上述例子成立 ,而并不成立。 这是转置运算的性质。TTTABAB)(TTTBAAB)(矩阵的转置满足下列运算法则:(1) ;AATT)((2) ;TTTBABA)((3) 是数;, )()(TTAA(4) .)(TTTABAB/定义定义 6 (对称矩阵对称矩阵) 设是 阶矩阵。若其元素满足:ijaA n, AAjiaaT jiij,若其元素满足:, AAjiaaT jiij,则称是反对称矩阵反对称矩阵。此时成立 。Aiaii 0例如是一个对称矩阵,而 是一个反对称矩阵。 0111A 0110B显然,对角矩阵一
14、定是对称矩阵。下面是(反)对称矩阵的一些基本性质。性质性质 1 设,为(反)对称矩阵,则仍是(反)对称矩阵。ABBA 但注意,此时 不一定不一定是(反)对称矩阵。AB例如 ,但 不是对称矩阵。 0110,0111BA 1011AB下列性质的证明都可按对称矩阵的定义证得。性质性质 2 设、是对称矩阵,则(或)是对称矩阵的充分必要条件。ABABBABAAB 性质性质 3 设为(反)对称矩阵,则 也是(反)对称矩阵。AAAT,性质性质 4 对任意方矩阵,则, 分别是对称矩阵和反对A)(21TAAH)(21TAAS称矩阵;且 。SHA五、五、矩阵的迹和行列式矩阵的迹和行列式定义定义 7 (矩阵的迹与行
15、列式矩阵的迹与行列式) 设是阶矩阵,称 为矩阵 A 的迹;ijaA n niiiaAtr1)(/称 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211为矩阵矩阵的行列式的行列式,记作 | 或 det(。AA)A性质性质 1 (提示矩阵乘法交换律不成立) ).()(BAtrABtr性质性质 2 (由行列式性质 1)|AAT性质性质 3 (由矩阵的数盛和行列式性质 3)|AAn例如 ,即 。而 ,即 1312A 3936BAB345| ,5|BA= 成立。初学者容易犯的一个错是:。| B4559|3|3|2AA|AA性质性质 4 。|BAAB 证明证明 以阶矩阵来证明。 构造 6 阶(即阶)行
16、列式:332.BIOAbbbbbbbbbaaaaaaaaaD333231232221131211333231232221131211100010001000000000由例 1.11 , ; 另一方面,对做下列变换:D|BAD第一步: 消去 。131211,bbb333231232221133112311131333231132112211121232221131112111111131211100010000001bbbbbbbababaaaabababaaaabababaaaaD第二步、地三步: 消去 和 232221,bbb333231,bbb/OIABA bababaaaabababa
17、aaabababaaaaDkkk kkk kkkkkk kkk kkkkkk kkk kkk000100000010000001313331233113333231313231223112232221313131213111131211再进行行的交换,3,2, 1,3jrrjj于是 。ABAOID3) 1(再由例 1.11,得到 , 从而结论成立。|) 1() 1(|) 1(333ABABABID定义定义 8 ( 伴随矩阵伴随矩阵 ) 设,由行列式 | 的代数余子式 所构成的矩阵ijaA AijA,nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*称之为矩阵的伴随矩阵。A注意到,伴随矩
18、阵在位置上的元素是矩阵在位置上的代数余子式。*A),(jiA),(ij例如, 的伴随矩阵是 。 4321A 1324*A定理定理 1 成立IAAAAA|*证明证明 记 ,由矩阵的乘法,展开定理 1.3 及推论 1.3,得*AAB 。 ijijAAaAaAabjninjijiij,0, |2211IAAA|*/例例 11 求矩阵 的伴随矩阵。 343122321 A解解 。 并 ; 222563462*AAA*IAE|2 200020002 注意到。同理可验证 。2|AIAAA|*2.3 逆矩阵知识点:逆矩阵的定义,逆矩阵存在的充分必要条件。一、逆矩阵一、逆矩阵定义定义 9(逆矩阵)(逆矩阵)
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