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1、菱形的判定菱形的判定菱形的判定(1) 四条边相等的四边形是菱形;(2) 有一组邻边相等的平行四边形是菱形;(3) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(2) 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。01基础题知识点 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1如图,若要使ABCD 成为菱形,则可添加的条件是( ) AABCD BADBC CABBC DACBD第 1 题图 第 2 题图 2如图,将ABC 沿 BC 方向平移得到DCE,连接 AD,下列条件中能够判定四边形 ACED 为菱形的是( ) AABBC BACBC CB60 DACB60 3如图,在ABC 中,AD 是BAC 的平分线,DEAC 交
2、 AB 于 E,DFAB 交 AC 于 F,求证:四边形AEDF 是菱形知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4如图,四边形 ABCD 的对角线互相垂直,且满足 AOCO,请你添加一个适当的条件 (答案不唯 一),使四边形 ABCD 成为菱形(只需添加一个即可)5(2017岳阳)求证:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 小红同学根据题意画出了图形,并写出了已知和求证的一部分,请你补全已知和求证,并写出证明过程 已知:如图,在ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,ACBD知识点 3 四条边相等的四边形是菱形 6(2016大庆)下列说法正确的是( ) A对角线互相垂直的四边形是菱形
3、B矩形的对角线互相垂直 C一组对边平行的四边形是平行四边形 D四边相等的四边形是菱形 7(2017宁夏)在ABC 中,M 是 AC 边上的一点,连接 BM.将ABC 沿 AC 翻折,使点 B 落在点 D 处,当DMAB 时,求证:四边形 ABMD 是菱形02中档题 8(2017聊城)如图,ABC 中,DEBC,EFAB,要判定四边形 DBFE 是菱形,还需要添加的条件是( )AABAC BADBD CBEAC DBE 平分ABC9如图,小聪在作线段 AB 的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 AB 的长为12半径画弧,两弧相交于点 C,D,则直线 CD 即为所求
4、根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一定是( ) A矩形 B菱形 C一般的四边形 D平行四边形10(2016兰州)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CEBD,DEAC,AD2,DE2,3则四边形 OCED 的面积为( ) A2 B43C4 D8311(2016沈阳)如图,ABCABD,点 E 在边 AB 上,CEBD,连接 DE. 求证:12(2016聊城)如图,在 RtABC 中,B90,点 E 是 AC 的中点,AC2AB,BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,作 AFBC,连接 DE 并延长交 AF 于点 F,连接 FC.求证:四边形 ADCF 是菱形
5、03综合题 13如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,ABCD,BDAC. (1)求证:ADBC; (2)若 E,F,G,H 分别是 AB,CD,AC,BD 的中点,求证:线段 EF 与线段 GH 互相垂直平分一选择题1下列命题正确的是( )A邻角相等的四边形是菱形 B有一组邻边相等的四边形是菱形C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是菱形2下列命题中,正确的是( )A有一个角是 60的平行四边形是菱形 B有一组邻边相等的四边形是菱形C有两边相等的平行四边形是菱形 D四条边相等的四边形是菱形1已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中,不一定正确的是( )AAB=C
6、D BAC=BDC当 ACBD 时,它是菱形 D当ABC=90时,它是矩形2下列命题不正确的是( )A对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形;B两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形;C两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形;D对角线互相垂直且相等的四边形是菱形.二填空题1在平行四边形 ABCD 中,若一条对角线平分一个内角,则四边形 ABCD 为_形2如图所示,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠部分的四边形 ABCD 是_形3(方案设计题)小华为班级设计了一个班徽,图中有一菱形,为了检验小华所画的菱形是否准确,请你以带有刻度的三角尺为工具,帮小华设计一个检验的方案4在四边形
7、ABCD 中,已知 ABCD,ADBC,请添加一个条件,使四边形 ABCD 是菱形,所添加的条 件是_三解答题1.如图,已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于 E.求证:四边形 AFCE 是菱形.2.如图所示,O 是矩形对角线交点,过 O 作 EFAC 分别交 AD,BC 于 E,F,若 AB=2cm,BC=4cm,求四边形AECF 的面积3.如图所示,已知 AD 是ABC 的角平分线,DEAC 交 AB 于点 E,DFAB交 AC 于点 F,求证:ADEF4.(2017 安顺)已知:如图 11 所示,在中,ABCABACDEF, 分别是边上的中点A
8、BBCAC, (1)求证:四边形是菱形ADEF (2)若,求菱形的周长24AB ADEFADFBEC 图 115.如图所示,矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线 EF 与 AD,BC,AC分别交于点 E,F,O,连接 AF,EC,则四边形 AFCE 是菱形吗?为什么?6如图,ABC 中,AD 平分BAC,DEAC 交 AB 于点 E,DFAB交 AC 于点 F,试说明四边形 AEDF 是菱 形7如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,APBD,DPAC,AP、DP 相交于点 P,则四边形 AODP 是 什么样的特殊四边形,并说明你的理由8.如图所示,过ABCD 的对角
9、线的交点 O 作互相垂直的两条直线 EG,FH,与平行四边形各边分别交于AE,F,G,H,求证:四边形 EFGH 是菱形7.如图,在 RtABC 中,ACB=90,BAC=60,DE 垂直平分 BC,垂足为 D,交 AB 于点 E.又点 F 在 DE 的延长线上,且 AF=CE.求证:四边形 ACEF 是菱形.8.如图,在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,请添加一个条件,使四边形 EFGH为菱形,并说明理由.9如图所示,在矩形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,过 O 点的直线 EF 与 AB,CD 的延长线分别交于E,F(1)求证:BO
10、EDOF;(2)当 EF 与 AC 满足什么条件时,四边形 AECF 是菱形,并证明你的结论10.如图,已知过平行四边形 ABCD 的对角线交点 O 作互相垂直的两条直线 EG、FH 与平行四边形 ABCD 各边分别相交于点 E、F、G、H.求证:四边形 EFGH 是菱形.11.(2017 青岛)将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠,使点 C 与 A 重合,点 D 落到 D 处,折痕为 EF (1)求证:ABEADF; (2)连接 CF,判断四边形 AECF 是什么特殊四边形?证明你的结论ABCDEFD12在如图中,若ADECBF,点 E、F 分别为 AB、CD 的中点,BD 是对角线
11、AG/DB 交 CB 的延长 线于 G。 求证:四边形 ABCD 是平行四边形; 若四边形 BFDE 是菱形,则四边形 AGBD 是矩形; 在中应增加什么条件,才能判别矩形 AGBD 是正方形。13如图,已知 O 是矩形 ABCD 对角线 BD 的中点,过点 O 作 BD的垂线交 DC 于 F,交 AB 于 E,说明四边形 DEBF 的形状14.如图所示,在ABC 中,AB=AC,P 为 BC 的中点,PEAB 于 E,PFAC 于 F,EMAC 于 M,FNAB 于 N,EM 与 FN 相交于点 Q,那么四边形 PEQF 是菱形吗?说明你的理由15如图所示,在ABC 中,ACB=90,AD
12、平分BAC 交 BC 于 D,CGAB于 G,交 AD 于 F,DEAB 于 E,那么四边形 CDEF 是菱形吗?说说你的理由16.(2015郴州)如图,AC 是ABCD 的一条对角线,过 AC 中点 O 的直线分别交 AD,BC 于点 E,F(1)求证:AOECOF;(2)当 EF 与 AC 满足什么条件时,四边形 AFCE 是菱形?并说明理由17.已知边长为 10 的菱形 ABCD,对角线 BD16,过线段 BD 上的一个动点 P(不与 B、D 重合)分别向 直线 AB、AD 作垂线,垂足分别为 E、F (1) 如图 1,求证:PBEPDF; (2) 连接 PC,当 PEPFPC 取最小值
13、时,求 PB 的长; (3) 如图 2,对角线 BD、AC 交于点 O,以 PO 为半径(PO0)的P 与以 DF 为半径的D 相切时,求 PB 的长ABCDEPF第 21 题图 1OABCDEPF第 21 题图 2ABCDO第 21 题备用图 2ABCDO第 21 题备用图 1如图,在四边形中,点,分别是的中点,分别是的中点,ABCDEFADBC,GH,BDAC, 满足什么条件时,四边形是菱形?请证明你的结论ABCD,EGFHABCDE(第 27 题图)FGH是等边三角形,点是射线上的一个动点(点不与点重合),是以为边ABCDBCDBC、ADEAD 的等边三角形,过点作的平行线,分别交射线于点,连接EBCABAC、FG、BE (1)如图(a)所示,当点在线段上时DBC求证:;AEBADC 探究四边形是怎样特殊的四边形?并说明理由;BCGE (2)如图(b)所示,当点在的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立?DBC (3)在(2)的情况下,当点运动到什么位置时,四边形是菱形?并说明理由DBCGEAGCDBFE图(a)ADCBFEG图(b) 第 25 题 图
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