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1、第第 7 课时课时 课题:课题:解斜三角形解斜三角形【教学目标教学目标】(1)掌握正余弦定理的应用;掌握正余弦定理的应用;(2)掌握解三角形的题型。)掌握解三角形的题型。【教学重难点教学重难点】理解并熟练掌握正余弦定理、应用题型理解并熟练掌握正余弦定理、应用题型【知识点归纳知识点归纳】一、正弦定理一、正弦定理1、三角形面积公式:、三角形面积公式:S=absinC=bcsinA=acsinB21 21 212、正弦定理、正弦定理=2R(R 为ABC 的外接圆的直径)Aa sinBb sinCc sin3、 正弦定理的几种常见变形应用正弦定理的几种常见变形应用(1)asinB=bsinA,bsin
2、C=csinB,asinC=csinA;(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(3)sinA=,sinB=,sinC=;Ra 2Rb 2Rc 2(4)a:b:c=sinA:sinB:sinC【例题精讲例题精讲】【例例 1 1】已知中,求.ABC24, 34,600baAcCB,【练习练习】已知在中,求(结果保留两位小数).ABC, 5, 8,300acAb、BC【例例 2 2】已知中,,外接圆半径,求ABC41S1R.abc【练习练习】已知中,,ABCCBA222sin3sin3sin2,求1)cos(3cos32cosCBAA.:cba【基础练习基础练习】 1在ABC
3、中,已知 a=8,B=60,C=75,则 b= 。2已知在ABC 中,c=10,A=45,C=30,求 a、b 和 B。3在ABC 中,已知 a=,b=,B=45,求 A,C 和 c 的长。32二、余弦定理二、余弦定理1、a =b +c 2bccosA, b =c +a 2accosB, c =a +b 2abcosC2222222222、 余弦定理的变形公式余弦定理的变形公式cosA=,cosB=,cosC=bcacb 2222 cabac 2222 abcba 2222【例题精讲例题精讲】【例例 3】已知在中,求ABC26,45, 320cBa.CAb、【练习练习】已知中,,且最大边长和最
4、小边长恰好是方程的两ABC060A01172 xx根,求第三边.【例例 4】在中,三条边长,求实数的取值范ABC090B1, 1, 52cxbxax围?【练习练习】钝角三角形的三边分别是,且最大内角不超过,求实数21aaa、0120的取值范围?a【例例 5】已知中,边 BC 上的中线,求边长ABC7, 4bc27AD. a【练习练习】 (1)设 P 是正方形 ABCD 内一点,点 P 到顶点 A、B、C 的距离分别是求正方形的面积?, 317 、(2)设 P 是正方形 ABCD 内一点,求的大小?, 3:2:1:PCPBPAAPB【基础练习基础练习】1、在ABC 中,a =b +c +bc,则
5、 A= 。2222、在ABC 中,已知:a=2,b=2,C=15,求角 B 和边 c。23、已知ABC 中,a:b:c=2:(+1) ,求ABC 各角的弧度数。63三、解三角形在实际问题中的应用三、解三角形在实际问题中的应用1 1、利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:2 2、利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:3 3、三角形的面积公式总结:三角形的面积公式总结:4 4、三角形内切圆的半径:三角形内切圆的半径:5 5、三角形中的射影定理:三角形中的射影定理:6 6、两内角与其正
6、弦值两内角与其正弦值: :7 7、三内角与三角函数值得关系:三内角与三角函数值得关系:【例题精讲例题精讲】【例例 6】已知是内的一点,它到两边的距离分别是 2 和 11,求QMON,600MONOQ 的长?【练习练习】 (1)在中,已知分别是内角 A,B,C 所对的三边;ABCcba,求证:.)(21 2cos2cos22cbaAbBa(2)在中,已知和,求(用表示).ABCBA2ba,cba,【例例 7】在三角形 ABC 中,若,试判断三角形BbacAacb22222222sin)(sin)(的形状,并说明理由?【练习练习】判断下列三角形的形状:(1);tantan22BA ba(2);CB
7、AaCb222sinsinsin,cos2(3);1tantanBA(4).0)2cos(cos22AAbca【例例 8】已知在中,BC=1,试证明:过边 BC 上的任意一点ABC090C030AD,可以作出以 D 为顶点的内接正三角形(三顶点分别在三边上的正三角形) ,并求内接正三角形的周长的最小值?【练习练习】 (1)已知中,求的最大值?ABC8,)(22cbcbaSS(2)已知中,求的周长的最小值及面积的最大值?ABC060, 4CbaABC【课后练习课后练习 1】1、隔河看两地 A 与 B 但不能到达,在岸边选取相距千米 C、D 两点,测得ACB=75,3BCD=45,ADC=30,A
8、DB=45(A、B、C、D 在同一平面内) ,求两目标 A、B 之间的距离。2、在山脚测得山顶仰角CAB=45,沿坡度为 30的斜坡走 1 000m 至 D 点,又测得山顶 仰角BDE=75,求山高 BC。3、在海岸处,发现北偏东 45方向,距离(1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处3北偏西 75方向,距离 A 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10海里/小时的速度追截走私船。3此时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜,问缉私船沿什么方 向能最快追上走私船?【课后练习课后练习 2】 1在ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求
9、 C。2已知,在ABC 中,满足 acosA=bcosB,试判定ABC 的形状。3要使 a,a+1,a+2 为钝角三角形的三边,求 a 的取值范围。【拓展讲解拓展讲解】 注意:注意: 正弦定理可以解决的两类问题: 1已知两角和任一边,求其他的角和边 2已知两边和其中一边的对角,求另一边和另一边的对角余弦定理可以解决的两类问题 1已知三边,求三个角 2已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角求三角形外接圆半径的常用方法1直角三角形 2正弦定理解三角形常用关系式 1三角形内角和等于 180 2三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 3三角形中大边对大角,小边对小角 4两角和与差的三角比值
10、在三角形中的变式 sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=cosC,tan(A+B)=tanCsin=cos,cos=sin,tan=cot2BA 2C 2BA 2C 2BA 2C【练习一练习一】1在ABC 中,已知 a=,b=4,A=30,则 B= 。3342在ABC 中,c=6,b=,A=60,则 S= 。3ABC3在ABC 中,已知 AB=3,BC=5,AC=7,则 B= 。 4在ABC 中,已知 BC=12,A=60,B=45,则 AC= 。5在ABC 中,已知 a=2,c=2,C=30,则 S= 。3ABC6在ABC 中,已知 b=3,c=3,B=30,则 a= 。37已知下列
11、条件解三角形,其中有唯一解的是 ( ) (A)a=20,b=28,A=40 (B)a=18,b=20,A=150 (C)b=20,c=34,B=70 (D)b=60,c=50,B=458 在ABC 中,若=,则ABC 是 ( )Aa cosBb cosCc cosA 直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形 9 解下列三角形:(1)在ABC 中,a=2,A=30,B=45,求 b,S;ABC(2)在ABC 中,a=2,B=45,S=3+,求 A,C,b,c3ABC310如图所示,在ABC 中,AC=2,BC=1,cosC=43(1)求 AB 的值; (2)求 sin
12、(2A+C)的值11在ABC 中,求证:+=2CBA sinsincos ACB sinsincos BAC sinsincos12 在某点 B 处测得古塔 AE 的顶端 A 的仰角为,延 BE 方向前进 30 m 到达点 C,在C 处测得顶端 A 的仰角为 2,继续前进 10 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为34,求的大小及塔高 AE【知识点归纳知识点归纳】 1、三角形面积公式2、正弦定理及其扩充3、余弦定理【例题讲解例题讲解】例例 1、设中,则的值是 ( )ABC3cos5A 5sin13B cosCA B 56 6556 65C D 或16 6556 6516 65例例 2、在中,
13、已知,求的大ABC(sinsinsin)(sinsinsin)3sinsinABCABCABC小。例例 3、在中,外接圆的半径,求的周长。ABC30105ABCaS,17R ABC例例 4、在中,已知,求 a 与 c 的长。ABCABC248ACbac, 例例 5、根据下列条件,确定三角形的形状: (1) ;coscosaBbA (2)且;sinacAsin2sinsinCAB (3);tantan1AB (4)且。333 2abccabc3sinsin4AB例例 6、在中,已知,求证: 为直角三角形。ABCsinsin()cotcos()ACBBCBABC例例 7、在与水平方向成角的斜坡上有
14、一座塔 AD,从 B、C 测得塔的张角分别为BCD 与 ,若,求塔高 AD。BCaACBD例例 8、如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形 AOB 小区的两个出入口设置120 在点 A 及点 C 处,且小区里有一条平行于 BO 的小路 CD 已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用 了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟 若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇 形的半径 OA 的长(精确到 1 米)。ADOBC回顾反思回顾反思 1、 主要方法: 正确区分两个定理的不同作用,围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角 形问题的求解; 两个定理可以实现将“边、角混合”的等
15、式转化成“边或角的单一”等式;余弦定理中,涉及到四个量,利用方程思想,知道其中的任意三个量可求出第四个 量; 余弦定理还有很多地方的应用,如立体几何中求球面距离 2、 易错、易漏点: 三角形的内角和定理检验增根; 特别注意一些有关的术语,如坡度、仰角、俯角、方位角 其中以特定基准方向 为起点(一般为北方),依顺时针方式旋转至指示方向所在位置,两者所夹的角度称之为方 位角,方位角的取值范围是0360课后练习课后练习 1、在锐角三角形中,若,则 t 的取值范围是 ( ABCtan1At tan1Bt )A B 2,(1,)C D 1, 2( 1,1)2、在中,则的范围是 ( ABC 3A 1b 3
16、ABCSsinsinsinabc ABC )A B 8 3 812 39 3C D 26 3 32 73、在中ABC(1) ,则_;1230acA,C(2),则的取值范围是_。21ac,C4、在中ABC (1)若,则的形状为_;coscosaAbBABC (2)若,则的形状为_。2cossinsinBACABC5、两条笔直的公路相交成角,两辆汽车 P、Q 同时从角的顶点出发,分别沿两条公路60 行驶,已知汽车 P 的速度是每小时 48 千米 若要使这两辆汽车在出发 1 小时后相距 43 千米,那么汽车 Q 的行驶速度应为_千米/小时。6、在中,已知,求此三角形最大ABC(sinsin):(si
17、nsin):(sinsin)4:5:6BCCAAB角的大小。7、在中,已知,外接圆半径 R 为,求边 c。ABC16425ab,ABC2 28、已知边长为 a 的正方形 ABCD,点 P、Q 分别在 BC、CD 边上,且,求四45PAQ边形 APCQ 面积的最大值。DQCAPB9、如图,某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地,外的地方种草,BCABC的内接正方形为一水池,其余的地方种花,若,设ABCPQRSBCaABC,的面积为,正方形的面积为。ABC1S2S(1) 用表示、;(2)当 a 固定,变化时,求取最小值时的角。a、1S2S12S SBCQRSPA【附加题附加题】1、等腰三角形的顶角的正弦为,则底角的正弦大小为_7 252、在中,若,则的取值范围是_ABC2bac1sin2 sincosB BB 3、锐角三角形中,若,则 c 的取值范围是_12ab, 4、在中,若,确定的形ABCsinsinsincoscoscoscossin2ABABABABABC 状。5、在中,内有一点 D,使,ABC2AB 3BC ABC180ADCB 且2CD 问当为何值时,与的面积之差有最大值? 求出这个最大值。BABCADC6、在中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若,求角ABC222()tan3acbBacB 的取值范围。
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