考研数学大纲详解(参考教材分析.).doc
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1、/高高 等等 数数 学学考研指定教材:同济大学数学系主编考研指定教材:同济大学数学系主编高等数学高等数学 (上下册)(上下册) (第六(第六版)版)内容来自互联网,仅供参考。内容来自互联网,仅供参考。第一章第一章 函数与极限函数与极限 (7 天天)(考小题)(考小题)学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第 1 节:映 射与函数 ( (一般章节一般章节) )函数的概念,常见的函数(有界函数、奇函数 与偶函数、单调函数、周期函数)、复合函数、 反函数、初等函数具体概念和形式.(集合、映 射不用看;双曲正弦,双曲余弦,双曲正切不 用看) 习题 11:4,5,6,7,8,9,13, 15,16(重点)
2、第 2 节: 数列的极限 ( (一般章节一般章节) )数列定义,数列极限的性质(唯一性、有界性、 保号性 )(本节用极限定义证明极限的题目考 纲不作要求,可不看,如 P26 例 1,例 2,例 3,定理 1,2,3 的证明都不作要求,但要理解; 定理 4 不用看) 习题 12:1第 3 节: 函数的极限 ( (一般章节一般章节) )函数极限的基本性质(不等式性质、极限的保 号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有 界性,函数极限与数列极限的关系等) P33(例 4,例 5)(例 7 不用做,定理 2,3 的证明不用看, 定理 4 不用看) 习题 13:1,2,3,4第 4 节: 无穷大与无 穷
3、小(重要)(重要)无穷小与无穷大的定义,它们之间的关系,以 及与极限的关系(无穷小重要,无穷大了解) (例 2 不用看,定理 2 不用证明) 习题 14:1,6第 5 节: 极限的运算 法则(掌握)(掌握)极限的运算法则(6 个定理以及一些推论) (注意运算法则的前提条件是否各自极限存在) (定理 1,2 的证明理解,推论 1,2,3,定理 6 的 证明不用看)P46(例 3,例 4),P47(例 6) 习题 15:1,2,3,4,5(重点)第 6 节:两个重要极限(要牢记在心,要注意极限成立1理解函数的概 念,掌握函数的 表示法,并会建 立应用问题中的 函数关系. 2了解函数的有 界性、单调
4、性、 周期性和奇偶 性 3理解复合函数 及分段函数的概 念,了解反函数 及隐函数的概 念 4掌握基本初等 函数的性质及其 图形,了解初等 函数的概念. 5理解极限的概 念,理解函数左 极限与右极限的 概念,以及函数 极限存在与左、 右极限之间的关 系 6掌握极限的性 质及四则运算法 则. 7掌握极限存在 的两个准则,并 会利用它们求极/极限存在准 则(理解)(理解) 两个重要极 限(重要)(重要)的条件,不要混淆,应熟悉等价表达式,要会 证明两个重要极限),函数极限的存在问题(夹 逼定理、单调有界数列必有极限),利用函数 极限求数列极限,利用夹逼法则求极限,求递 归数列的极限(准则 1 的证明
5、理解,第一个重 要极限的证明一定要会,另一个重要极限的证 明不用看,柯西存在准则不用看) P51(例 1)习题 16:1,2,4第 7 节: 无穷小的比 较(重要)(重要)无穷小阶的概念(同阶无穷小、等价无穷小、 高阶无穷小、k 阶无穷小),重要的等价无穷小 (尤其重要,一定要烂熟于心)以及它们的重 要性质和确定方法(定理 1,2 的证明理解) P57(例 1)P58(例 5)习题 17:全做第 8 节: 函数的连续 性与间断点 (重要,基(重要,基 本必考小题)本必考小题)函数的连续性,间断点的定义与分类(第一类 间断点与第二类间断点),判断函数的连续性 (连续性的四则运算法则,复合函数的连
6、续性, 反函数的连续性)和间断点的类型。 例 1例 5 习题 18:1,2,3,4,5(重点)第 9 节: 连续函数的 运算与初等 函数的连续 性(了解)(了解)连续函数的运算与初等函数的连续性(包括和, 差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性, 初等函数的连续性) (定理 3,4 的证明不用看)例 4例 8 习题 19:1,2,3,4,5,6(重 点)限,掌握利用两 个重要极限求极 限的方法 8理解无穷小量、 无穷大量的概念, 掌握无穷小量的 比较方法,会用 等价无穷小量求 极限 9理解函数连续 性的概念(含左 连续与右连续), 会判别函数间断 点的类型 10了解连续函 数的性质和初等
7、 函数的连续性, 理解闭区间上连 续函数的性质 (有界性、最大 值和最小值定理、 介值定理),并 会应用这些性 质第 10 节: 闭区间上连续 函数的性质 (重要,不单(重要,不单 独考大题,但独考大题,但 考大题特别是考大题特别是 证明题会用到)证明题会用到)理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值 最小值定理,零点定理与介值定理(零点定理对 于证明根的存在是非常重要的一种方法).(一 致连续性不用看)例 1例 2 习题 110:1,2,3,5(要会用 5 题的结论)总复习题一:除了 7,8,9 以外均做,3,5,11,14(重点)自我小结本章测试题 检验自己是否对本章的复习合格 (合格成
8、绩为 80 分以上),如果合格继续向前复 习,如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性 的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。/第二章第二章 导数与微分导数与微分(6 天天)(小题的必考章节)(小题的必考章节) 学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第 1 节: 导数的概念 (重要)(重要)导数的定义、几何意义、物理意义(数三不 作要求,可不看,数三要知道导数的经济意 义:边际与弹性),单侧与双侧可导的关系, 可导与连续之间的关系(非常重要,经常会 出现在选择题中),函数的可导性,导函数, 奇偶函数与周期函数的导数的性质,按照定 义求导及其适用的情形,利用导数定义求极 限. 会求平面曲线的切线方程和
9、法线方程. (导数定义年年必考)例 1例 6 习题 21:3,4,5,6,7,8,11,15,16,17,18 ,19,(重点)201. 理解导数和微分的 概念,理解导数与微 分的关系,理解导数 的几何意义,会求平 面曲线的切线方程和 法线方程,了解导数 的物理意义,会用导 数描述一些物理量, 理解函数的可导性与 连续性之间的关系第 2 节: 函数的求导 法则 (考小题)(考小题)复合函数求导法、求初等函数的导数和多层 复合函数的导数,由复合函数求导法则导出 的微分法则,(幂、指数函数求导法,反函 数求导法),分段函数求导法(基本求导法 则与求导公式要非常熟)(定理 1,3 的证明 不用看,例
10、 1,17 不用做,定理 2 的证明理 解,例 6,7,8 重点做) 习题 22:除 2,3,4,12 不用做,其余全做, 13,14 重点做第 3 节: 高阶导数 (重要,考(重要,考 的可能性很的可能性很 大)大)高阶导数和 N 阶导数的求法(归纳法,分解 法,用莱布尼兹法则)(用泰勒展开式求高 阶导) 例 1例 7 习题 23:5,6,7,11 不用做, 其余全做,4,12 重点做第 4 节: 隐函数及由 参数方程所 确定的函数 的导数(考(考 小题)小题)由参数方程确定的函数的求导法(数三不用 看),变限积分的求导法,隐函数的求导法 (相关变化率不用看)例 1例 10 习题 24:9,
11、10,11,12 均不用做,数三 5,6,7,8 也可以不做,其余全做,4 重点做第 5 节: 函数的微分 (考小题)(考小题)函数微分的定义,微分运算法则,微分几何 意义(微分在近似计算中的应用不用看,考 纲不作要求) 例 1例 6 习题 25:5,6,7,8,9,10,11,12 均不用做,其 余全做2掌握导数的四则 运算法则和复合函数 的求导法则,掌握基 本初等函数的导数公 式了解微分的四则 运算法则和一阶微分 形式的不变性,会求 函数的微分 3了解高阶导数的概 念,会求简单函数的 高阶导数 4会求分段函数的导 数,会求隐函数和由 参数方程所确定的函 数以及反函数的导数./自我小结总复习
12、题二:4,10,15,16,17,18 均不用做, 其余全做,2,3,6,7,14 重点做,数三不用做 12,13 第二章测试题 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用(微分中值定理与导数的应用(8 8 天)天)考大题难题经典章节考大题难题经典章节 学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第 1 节: 微分中值定 理(最重要,(最重要, 与中值定理与中值定理 应用有关的应用有关的 证明题)证明题)微分中值定理及其应用(费马定理及其几何意 义,罗尔定理及其几何意义,拉格朗日定理及 其几何意义、柯西定理及其几何意义)(四个 定理要会证明,及其重要) 例 1,习题 31:除了 13,15 不用做,其余全
13、 部重点做第 2 节:洛 必达法则 (重要,基(重要,基 本必考)本必考)洛比达法则及其应用(洛比达法则要会证明, 重要) 例 1例 10,习题 32:全做,1,3,4 重点做第 3 节: 泰勒公式 (掌握其应(掌握其应 用)用)泰勒中值定理,麦克劳林展开式 (可不看公式的证明) 例 1例 3 习题 33:8,9 不用做,其余全做 10(1)(2)(3)重点做第 4 节: 函数的单调 性与曲线的 凹凸区间 (考小题)(考小题)求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、 渐近线(选择题及大题会用到)例 1例 12 习题 34:3(1)(2)(5),5(1)(2), 8(1)(2),9(1)(3)
14、(5),10(2)不 用做,其余全做,3,4,5,6,13,15 重点做第 5 节: 函数极值与 最大值最小 值(考小题(考小题 为主)为主)函数的极值(一个必要条件,两个充分条件),最 大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值 问题,与最值问题有关的综合题 例 5,6,7 不用看 习题 3-5:1(2)(3) (6)(9)8,9,10,11,12,13,14,15,16 均不 用做,其余全做第 6 节: 函数图形的 描绘(重要)(重要)简单了解利用导数作函数图形(一般出选择题 及判断图形题),对其中的渐进线和间断点要 熟练掌握,一元函数的最值问题(三种情形)。例 1例 3 习题 36:25第
15、 7 节: 曲率(数三(数三曲率、曲率的计算公式,与曲率相关的问题 (弧微分、曲率中心计算公式、渐屈线、渐伸1理解并会用罗 尔(Rolle)定理、 拉格朗日 (Lagrange)中值定 理和泰勒(Taylor) 定理,了解并会用 柯西(Cauchy)中值 定理 2掌握用洛必达 法则求未定式极限 的方法 3理解函数的极 值概念,掌握用导 数判断函数的单调 性和求函数极值的 方法,掌握函数最 大值和最小值的求 法及其简单应用 4会用导数判断 函数图形的凹凸性, 会求函数图形的拐 点以及水平、铅直 和斜渐近线,会描 绘函数的图形 5了解曲率和曲 率半径的概念,会 计算曲率和曲率半 径/不作要求,不作
16、要求, 仅数一、数仅数一、数 二要求)二要求)线不用看) 例 1例 3,习题 37:16第 8 节:方 程近似解 (不用看)(不用看)自我小结总复习题三:数一、数二全做,数三 15 不用 做;其中 2(2),3,7,8,9,10,(3)(4), 11(3),12,17,18,20 重点做 第三章测试题 总结第四章第四章 不定积分(不定积分(7 天)天) (重要,本章数二考大题可能性更大)(重要,本章数二考大题可能性更大)学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节:不定 积分的概念与 性质(重要)(重要)原函数与不定积分的概念与基本性质(它们 各自的定义,之间的关系,求不定积分与求 微分或导数的
17、关系),基本的积分公式基本的积分公式,原 函数的存在性,原函数的几何意义和力学意 义(数三不作要求) 例 1例 16 习题 41:1,2,3,4,6第二节:换元 积分法(重要,(重要, 第二类换元积第二类换元积 分法更为重要)分法更为重要)不定积分的换元积分法,第二类换元法 例 1例 27 习题 42:1,2(1)(2)(3)(8)(9) (10)(13)(25)均不用做,其余全做第三节:分部 积分法 (考研必考)(考研必考)不定积分的分部积分法 例 1例 10 习题 43:124第四节:有理 函数积分 (重要)(重要)第 5 节:积分 表的使用 (不用看)(不用看)有理函数积分法,可化为有理
18、函数的积分, 例 1例 8 习题 44:124 不定积分计算 总复习题四:140自我小结总结本章1理解原函数概 念,理解不定积 分的概念 2掌握不定积分 的基本公式,掌 握不定积分换元 积分法与分部积 分法 3会求有理函数、 三角函数有理式 及简单无理函数 的积分/第五章第五章 定积分定积分(6 天)天) (重要,考研必考)(重要,考研必考)学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节:定积 分的概念与性 质(理解)(理解)定积分的概念与性质(可积存在定理)(定积 分的 7 个性质理解及熟练应用,性质 7 积 分中值定理要会证明) (定积分近似计算不用看) 习题 51:1,2,3,6,8,9,1
19、0 均不用做,其 余全做,5,11,12 重点做第二节:微积 分基本公式 (重要)(重要)微积分的基本公式 积分上限函数及其导数 (极其重要,要会证明) 牛顿莱布尼兹 公式(重要,要会证明) 例 5 不用做,例 6 极其重要,记住结论 习 题 52:6(1)(2)(4)(5)(6) (7),7,8 均不用做,其余全做,2 数三不 做,9(2),10,11,12,13 重点做第三节:定积 分的换元积分 法与分部积分 法(重要,分(重要,分 部积分法更为部积分法更为 重要)重要)定积分的换元法与分部积分法 例 1例 10 例 5,例 6,例 7,例 12 经典 例题,记住结论 习题 53:1(1)
20、(2)(3)(6)(12) (14)(15)(16),7(1)(3)(8) (9) 不用做,其余全做,重点做 1(4)(7) (17)(18)(25)(26),2,6,7(7) (10)(12)(13)第 4 节:反常 积分(考小题)(考小题)反常积分 无界函数反常积分与无穷限反常 积分 例 1例 5 习题:54:全做,3 题结论记住第五节:反常 积分的审敛法 (不用看)(不用看)总复习题五:1(3),2(3)(4)(5), 15,16 不用做,其余全做,重点做 3,5,7,8,9,10(1)(2)(3)(8)(9) (10),13,14,17自我小结总结本章1理解原函数概念, 理解定积分的概
21、 念 2掌握定积分的基 本公式,掌握定积 分的性质及定积分 中值定理,掌握换 元积分法与分部积 分法 3会求有理函数、 三角函数有理式及 简单无理函数的积 分 4理解积分上限的 函数,会求它的导 数,掌握牛顿莱 布尼茨公式 5了解广义反常积 分的概念,会计算 广义反常积分第第 6 章章 定积分的应用定积分的应用(4 天天)(考小题为主)(考小题为主)学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节:定 积分的元素 法(理解)(理解)定积分元素法 1. 掌握用定积分 表达和计算一些几 何量与物理量(平/第二节:定 积分在几何 学上的应用 (面积最重(面积最重 要)要)一元函数积分学的几何应用(求平面曲
22、线的 弧长与曲率(仅数一看),求平面图形的面 积,求旋转体的体积,求平行截面为已知的 立体体积(数三不作要求),求旋转面的面积 定积分的几何应用相关计算 定积分应用的一些计算 习题 62:数一全 做;数二、数三 21-30 不用做第三节:定 积分在物理 学上的应用 (数三不用(数三不用 看,数一数看,数一数 二了解)二了解)定积分的物理应用(用定积分求引力,用定 积分求液体静压力,用定积分求功)。综合 题目的求解。(数三不用看,数一数二了解)例 1例 5 习题 63:数一、数二做 总复习题六:数一全做;数二 6 不用做;数 三只做 3,4,5面图形的面积、平 面曲线的弧长、旋 转体的体积及侧面
23、 积、平行截面面积 为已知的立体体积、 功、引力、压力、 质心等)及函数的 平均值等自我小结总结本章第七章第七章 常微分方程常微分方程 (9(9 天天) )(本章对数二相对重要,必考章节)(本章对数二相对重要,必考章节) 学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第 1 节: 微分方程 基本概念 (了解)(了解)微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解,例 1、2、3、4,(例 2 数三不用看) 习题 7-1:1(3)(4),2(2)(4),3(2), 4(2)(3),5第 2 节: 可分离变 量的微分 方程(理(理 解)解)可分离变量的微分方程的概念及其解法 例 1、2、3、4,(例 2,3,4
24、数三不作要求) 习题 7-2:1,2第 3 节: 齐次方程 (理解)(理解)一阶齐次微分方程的形式及其解法 (例 2 不用看,可化为齐次的方程不用看) 习题 73:1,2第 4 节: 一阶线性 微分方程 (重要,(重要, 熟记公式)熟记公式)一阶线性微分方程、伯努利方程(仅数一考, 记住公式即可), 例 1,3,4,习题 7-4:1,2,3,8 仅数一做1了解微分方程及其 阶、解、通解、初始 条件和特解等概念. 2掌握变量可分离的 微分方程及一阶线性 微分方程的解法 3会解齐次微分方程、 伯努利方程和全微分 方程,会用简单的变 量代换解某些微分方 程 4会用降阶法解下列 微分方程:和. 5理解
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