姜起源-数学模型.ppt
《姜起源-数学模型.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《姜起源-数学模型.ppt(56页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、数学模型(数学模型(0349)数数 学学 模模 型型主讲教师主讲教师:邓邓 磊磊姜启源姜启源 编编辅导课程三辅导课程三数学模型(数学模型(0349)1.5 1.5 建立数学模型的方法和步骤建立数学模型的方法和步骤 一般说来建立数学模型的方法大体上一般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类,一类是机理分析方法,一可分为两大类,一类是机理分析方法,一类是测试分析方法。类是测试分析方法。数学模型(数学模型(0349)机理分析机理分析是根据对现实对象特性的认识,是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意律,
2、建立的模型常有明确的物理或现实意义。义。1.21.41.21.4节的示例都属于机理分析方法。节的示例都属于机理分析方法。数学模型(数学模型(0349)测试分析测试分析将研究对象视为一个将研究对象视为一个“黑箱黑箱”系统,内部机理无法直接寻求,可以测系统,内部机理无法直接寻求,可以测量系统的输入输出数据,并以此为基础运量系统的输入输出数据,并以此为基础运用统计分析方法,按照事先确定的准则在用统计分析方法,按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为的模型。这种方法称为系统辨识系统辨识。将这两。将这两种方法结合起来也是常用的建模方
3、法,即种方法结合起来也是常用的建模方法,即用机理分析建立模型的结构,用系统辨识用机理分析建立模型的结构,用系统辨识确定模型的参数。确定模型的参数。数学模型(数学模型(0349)可可以以看看出出,用用上上面面的的哪哪一一类类方方法法建建模模主主要要是是根根据据我我们们对对研研究究对对象象的的了了解解程程度度和和建建模模目目的的决决定定的的。如如果果掌掌握握了了机机理理方方面面的的一一定定知知识识,模模型型也也要要求求具具有有反反映映内内部部特特性性的的物物理理意意义义,那那么么应应该该以以机机理理分分析析方方法法为为主主。当当然然,若若需需要要模模型型参参数数的的具具体体数数值值,还还可可以以用
4、用系系统统辨辨识识或或其其他他统计方法得到。统计方法得到。数学模型(数学模型(0349)如如果果对对象象的的内内部部机机理理基基本本上上不不掌掌握握,模模型型也也不不用用于于分分析析内内部部特特性性,譬譬如如仅仅用用来来作作输输出出预预报报,则则可可以以系系统统辨辨识识方方法法为为主主。系系统统辨辨识识是是一一门门专专门门学学科科,需需要要一一定定的的控控制制理理论论和和随随机机过过程程方方面面的的知知识识。以以下下所所谓谓建模方法只指机理分析。建模方法只指机理分析。数学模型(数学模型(0349)建建模模要要经经过过哪哪些些步步骤骤并并没没有有一一定定的的模模式式,通通常常与与实实际际问问题题
5、的的性性质质、建建模模的的目目的的等等有有关关,从从1.21.41.21.4节节的的几几个个例例子子也也可可以以看看出出这这点点。下下面面给给出出建建模模的的一一般般步步骤骤,如如下图所示。下图所示。数学模型(数学模型(0349)模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用数学模型(数学模型(0349)模型准备模型准备 首先要了解问题实际背景,首先要了解问题实际背景,明确建模的目的,搜集建模必需的各种信明确建模的目的,搜集建模必需的各种信息如现象、数据等,尽量弄清对象的特征,息如现象、数据等,尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型,总之是做好由此初步确定用哪一类模型,总之是做
6、好建模的准备工作。情况明才能方法对,这建模的准备工作。情况明才能方法对,这一步一定不能忽视,碰到问题要虚心向从一步一定不能忽视,碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教,尽量掌握第一手事实际工作的同志请教,尽量掌握第一手资料。资料。数学模型(数学模型(0349)模型假设模型假设 根据对象的特征和建模的根据对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的、合理的简化,目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,可以说是建模的用精确的语言作出假设,可以说是建模的关键一步。一般地说,一个实际问题不经关键一步。一般地说,一个实际问题不经过简化假设,就很难翻译成数学问题,即过简化假设,就很难翻译成数
7、学问题,即使可能,也很难求解。不同的简化假设会使可能,也很难求解。不同的简化假设会得到不同的模型。得到不同的模型。数学模型(数学模型(0349)假设作得不合理或过份简单,会导假设作得不合理或过份简单,会导致模型失败或部分失败,于是应该修改致模型失败或部分失败,于是应该修改和补充假设;假设作得过分详细,试图和补充假设;假设作得过分详细,试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去,把复杂对象的各方面因素都考虑进去,可能使你很难甚至无法继续下一步的工可能使你很难甚至无法继续下一步的工作。作。数学模型(数学模型(0349)通常,作假设的依据,一是出于对问通常,作假设的依据,一是出于对问题内在规律的认识,二是
8、来自对数据或现题内在规律的认识,二是来自对数据或现象的分析,也可以是二者的综合。作假设象的分析,也可以是二者的综合。作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识,又要充分发挥想物、经济等方面的知识,又要充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别问题的象力、洞察力和判断力,善于辨别问题的主次,果断地抓住主要因素,舍弃次要因主次,果断地抓住主要因素,舍弃次要因素,尽量将问题线性化、均匀化。经验在素,尽量将问题线性化、均匀化。经验在这里也常起重要作用。这里也常起重要作用。数学模型(数学模型(0349)模型构成模型构成 根据所作的假设分析对象的根据所
9、作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量(常量和变量)之数学工具,构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结间的等式(或不等式)关系或其他数学结构。这里除需要一些相关学科的专门知识构。这里除需要一些相关学科的专门知识外,还常常需要较广阔的应用数学方面的外,还常常需要较广阔的应用数学方面的知识,以开拓思路。知识,以开拓思路。数学模型(数学模型(0349)当然不能要求对数学学科门门精通,当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决。相
10、似类比法,即根据及大体上怎样解决。相似类比法,即根据不同对象的某些相似性,借用已知领域的不同对象的某些相似性,借用已知领域的数学模型,也是构造模型的一种方法。建数学模型,也是构造模型的一种方法。建模时还应遵循的一个原则是,尽量采用简模时还应遵循的一个原则是,尽量采用简单的数学工具,因为你建立的模型总是希单的数学工具,因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏。少数专家欣赏。数学模型(数学模型(0349)模型求解模型求解 可以采用解方程、画可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统
11、的和近代的数学方法,算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术。特别是计算机技术。数学模型(数学模型(0349)模型分析模型分析 对模型解答进行数学上的对模型解答进行数学上的分析,有时要根据问题的性质分析变量间分析,有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况,有时是根据所得的依赖关系或稳定状况,有时是根据所得结果给出数学上的预报,有时则可能要给结果给出数学上的预报,有时则可能要给出数学上的最优决策或控制。不论哪种情出数学上的最优决策或控制。不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等。的稳定性或灵敏性分析等。数学模型(数
12、学模型(0349)模型检验模型检验 把数学上分析的结果翻译回把数学上分析的结果翻译回到实际问题,并用实际的现象、数据与之到实际问题,并用实际的现象、数据与之比较,检验模型的合理性和适用性。这一比较,检验模型的合理性和适用性。这一步对于建模的成败是非常重要的,要以严步对于建模的成败是非常重要的,要以严肃认真的态度来对待。模型检验的结果如肃认真的态度来对待。模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际,问题通常果不符合或者部分不符合实际,问题通常出在模型假设上,应该修改、补充假设,出在模型假设上,应该修改、补充假设,重新建模。有些模型要经过几次反复,不重新建模。有些模型要经过几次反复,不断完善,直到
13、检验结果获得某种程度上的断完善,直到检验结果获得某种程度上的满意。满意。数学模型(数学模型(0349)模型应用模型应用 应用的方式自然取决应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的,这方面于问题的性质和建模的目的,这方面的内容不是本书讨论的范围。的内容不是本书讨论的范围。数学模型(数学模型(0349)应当指出,并不是所有建模过应当指出,并不是所有建模过程都要经过这些步骤,有时各步骤程都要经过这些步骤,有时各步骤之间的界限也不那么分明。建模时之间的界限也不那么分明。建模时不应拘泥于形式上的按部就班,本不应拘泥于形式上的按部就班,本书的建模实例就采取了灵活的表达书的建模实例就采取了灵活的表达方式。
14、方式。数学模型(数学模型(0349)1.6 1.6 数学模型的特点数学模型的特点和建模能力的培养和建模能力的培养 我们已经看到建模是利用数学工具解我们已经看到建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段。数学模型有许多决实际问题的重要手段。数学模型有许多优点,也有弱点。建模需要相当丰富的知优点,也有弱点。建模需要相当丰富的知识、经验和各方面的能力,同时应注意掌识、经验和各方面的能力,同时应注意掌握分寸。下面归纳出数学模型的若干特点:握分寸。下面归纳出数学模型的若干特点:数学模型(数学模型(0349)模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性 一般说来总一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象,但是一是
15、希望模型尽可能逼近研究对象,但是一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的,因而不容易达到通过建模对现实对理的,因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的,象进行分析、预报、决策或者控制的目的,即实用上不可行。即实用上不可行。数学模型(数学模型(0349)另一方面,越逼真的模型常常越复杂,另一方面,越逼真的模型常常越复杂,即使数学上能处理,这样的模型应用时所即使数学上能处理,这样的模型应用时所需要的需要的“费用费用”也相当高,而高也相当高,而高“费用费用”不一定与复杂模型取得的不一定与复杂模型取得的“效益效益”相匹配。相匹配。所以建模
16、时往往需要在模型的逼真性与可所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性,行性,“费用费用”与与“效益效益”之间作出折衷之间作出折衷和抉择。和抉择。数学模型(数学模型(0349)模型的渐进性模型的渐进性 稍微复杂一些的实际稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功,要经过问题的建模通常不可能一次成功,要经过上一节描述的建模过程的反复迭代,包括上一节描述的建模过程的反复迭代,包括由简到繁,也包括删繁就简,以获得越来由简到繁,也包括删繁就简,以获得越来越满意的模型。在科学发展过程中随着人越满意的模型。在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高,各门学科中的们认识和实践能力的提高,各门学科中的数学
17、模型也存在着一个不断完善或者推陈数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程。出新的过程。数学模型(数学模型(0349)模型的强健性模型的强健性 模型的结构和参数常常模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据确定的,而观是由对象的信息如观测数据确定的,而观测数据是允许有误差的。一个好的模型应测数据是允许有误差的。一个好的模型应该具有下述意义的强健性:当观测数据该具有下述意义的强健性:当观测数据(或其他信息)有微小改变时,模型结构(或其他信息)有微小改变时,模型结构和参数只有微小变化,并且一般也应导致和参数只有微小变化,并且一般也应导致模型求解的结果有微小变化。模型求解的结果有微小变化。数学
18、模型(数学模型(0349)模型的可转移性模型的可转移性 模型是现实对象抽象模型是现实对象抽象化、理想化的产物,它不为对象的所属领化、理想化的产物,它不为对象的所属领域所独有,可以转移到另外的领域。在生域所独有,可以转移到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型。模型的这种性质显示物理领域中的模型。模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性。了它的应用的极端广泛性。数学模型(数学模型(0349)模型的非预制性模型的非预制性 虽然已经发展了许虽然已经发展了许多应用广泛的模型,但是实际问题是各种多应用广泛的模型,但是实际问题是各种各样、变
19、化万千的,不可能要求把各种模各样、变化万千的,不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用。模型的型做成预制品供你在建模时使用。模型的这种非预制性使得建模本身常常是事先没这种非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题。在建立新的模型的过程中有答案的问题。在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念产甚至会伴随着新的数学方法或数学概念产生。生。数学模型(数学模型(0349)模型的条理性模型的条理性 从建模的角度考虑问题从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具条理性,这样即使建立的模更深入、更具条理性,这样即使建立的模
20、型由于种种原因尚未达到实用的程度,对型由于种种原因尚未达到实用的程度,对问题的研究也是有利的。问题的研究也是有利的。数学模型(数学模型(0349)模型的技艺性模型的技艺性 建模的方法与其他一些建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的,无法归纳出若干条普遍适用的建不同的,无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。有人说,建模目前与其说模准则和技巧。有人说,建模目前与其说是一门技术,不如说是一种艺术,是技艺是一门技术,不如说是一种艺术,是技艺性很强的技巧。经验、想象力、洞察力、性很强的技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模
21、过程中起判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大。的作用往往比一些具体的数学知识更大。数学模型(数学模型(0349)模型的局限性模型的局限性 这里有几方面的含义。这里有几方面的含义。第一,由数学模型得到的结论虽然具第一,由数学模型得到的结论虽然具有通用性和精确性,但是因为模型是现实有通用性和精确性,但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物,所以一旦将模对象简化、理想化的产物,所以一旦将模型的结论应用于实际问题,就回到了现实型的结论应用于实际问题,就回到了现实世界,那些被忽视、简化的因素必须考虑,世界,那些被忽视、简化的因素必须考虑,于是结论的通用性和精确性只是相对
22、的和于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的。近似的。数学模型(数学模型(0349)第二,由于人们认识能力和科学技术第二,由于人们认识能力和科学技术包括数学本身发展水平的限制,还有不少包括数学本身发展水平的限制,还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模实际问题很难得到有着实用价值的数学模型。型。第三,还有些领域中的问题今天尚未第三,还有些领域中的问题今天尚未发展到用建模方法寻求数量规律的阶段。发展到用建模方法寻求数量规律的阶段。数学模型(数学模型(0349)在详细分析了建立数学模型的全过程在详细分析了建立数学模型的全过程的数学模型的特点以后,我们看到用建模的数学模型的特点以后,我们看到用
23、建模方法解决实际问题,首先是用数学语言表方法解决实际问题,首先是用数学语言表述问题即构造模型,其次才是用数学工具述问题即构造模型,其次才是用数学工具求解构成的模型。用数学语言表述问题,求解构成的模型。用数学语言表述问题,包括模型假设、模型构造等,除了要有广包括模型假设、模型构造等,除了要有广博的知识(包括数学知识和各种实际知识)博的知识(包括数学知识和各种实际知识)和足够的经验之外,特别需要丰富的想象和足够的经验之外,特别需要丰富的想象力和敏锐的洞察力。力和敏锐的洞察力。数学模型(数学模型(0349)想象力想象力指人们在原有知识的基础上,指人们在原有知识的基础上,将新感知的形象与记忆中的形象相
24、互比较、将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工处理,创造出新的形象,重新组合、加工处理,创造出新的形象,是一种形象思维活动。是一种形象思维活动。洞察力洞察力指人们在充指人们在充分占有资料的基础上,经过初步分析能迅分占有资料的基础上,经过初步分析能迅速抓住主要矛盾,舍弃次要因素,简化问速抓住主要矛盾,舍弃次要因素,简化问题的层次,对可以用哪些方法解决面临的题的层次,对可以用哪些方法解决面临的问题,以及不同方法的优劣作出判断。问题,以及不同方法的优劣作出判断。数学模型(数学模型(0349)类比方法和理想化方法是建模中常用类比方法和理想化方法是建模中常用的方法,它们的运用与想象力、洞察
25、力有的方法,它们的运用与想象力、洞察力有密切关系。密切关系。类比法类比法注意到研究对象与已熟悉的另注意到研究对象与已熟悉的另一对象具有某些共性,比较二者相似之处一对象具有某些共性,比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。选择什么对以获得对研究对象的新认识。选择什么对象进行类比,比较哪些相似的属性,在一象进行类比,比较哪些相似的属性,在一定程度上是靠想象进行的。将交通流与水定程度上是靠想象进行的。将交通流与水流比来建立交通流模型是这方面的例子。流比来建立交通流模型是这方面的例子。数学模型(数学模型(0349)理想化方法理想化方法是从观察和经验中通过想是从观察和经验中通过想象和逻辑思维,把对象简
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 起源 数学模型
限制150内