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1、三角形全等证明总结三角形全等证明总结一一 证明题目时常用的三种方法证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中,经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题, 如何分析条件与结论之间的关系,常用的分析方法有以下三种:(1)综合法就是从题目的已知条件入手,根据已学过的定义、定理、性质、公理等, 逐步推出要判断的结论,有时也叫“由因导果法” 例如:例如:如图 13-2-10,在ABC中,D是BC的中点,DEAB,DFAC,分 别交AC、AB于点E、F求证:BFDE分析:分析:从已知条件到推出结论,其探索过程如下 CBDFACDFCDBDBCDCDEBABDEBFDDEC(ASA)BFDE(目标) 以
2、上这种由因导果的方法就是综合法(2)分析法就是从要判断的结论出发,根据已学的定义、定理、公理、性质等,倒过 来寻找能使结论成立的条件,这样一步步地递求,一直追溯到结论成立的条件 与已知条件相吻合为止,有时也叫“执果索因法” 如上题,用分析法的探索过程如下:BFDEBFDDECACDFCBDFBCDCDBDABDECDEB(3)分析综合法在实际的思考过程中,往往需要使用这两种方法,先从结论出发,想一想 需要什么条件,层层逆推,当思维遇到障碍时,再从条件出发,顺推几步,看 可以得出什么结论,从而两边凑,直至沟通“已知”和“结论”的两个方面即:已知 中间条件 结论 综合法 分析法 例如:例如:如图
3、13-2-11,在ABC中,ABAC,D是BC的中点,E是AD上任 一点,连接EB、EC,求证:EBEC分析:分析:本题比较复杂,可用上述的三个方法均可,现在以分析一综合法为例, 说明分析过程先用综合:由因导果 CDBDDADADACABABDACD ,CDABDACADBAD再用分析:执果索因EBECABEACEAEAECAEBAEACABABDACD证明:证明: D是BC的中心, BDCD在ABD和ACD中ADADCDBDACAB ABDACD(SSS) BADCAD在ABE和ACE中AEAECAEBAEACAB ABEACE(SAS) BECE(全等三角形的对应边相等) 【说明说明】本题
4、证明过程中,后一次三角形全等,也可选BDECDE, 方法同上本题两次用到全等三角形,在分析中应找准三角形,理清思路二二 如何选择三角形判定全等如何选择三角形判定全等在学过本节内容之后,经常会遇到判定两条线段相等,两个角相等的问题, 而要判断它们相等,就要考虑选择三角形全等如何选择三角形呢?可考虑以 下四个方面:(1)可以从判断的结论(线段或角)出发,寻找这些结论在哪两个可能的 全等三角形中,就试着判定两个三角形全等(2)可以从题目的已知条件出发,看已知条件能确定哪两个三角形全等就 判定它们全等(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后判 定它们全等(4)如果以上方法都行不
5、通,可考虑添加辅助线的办法,构造三角形全 等 三、二次全等问题三、二次全等问题 1.已知:如图,线段 AC、BD 交于 O,AOB 为钝角,ABCD,BFAC 于 F,DEAC 于 E,AECF 求证:BODO2已知:如图,AC 与 BD 交于 O 点,ABDC,ABDC若过 O 点作直线 l,分别交 AB、DC 于 E、F 两点,求证:OEOF.3如图,E 在 AB 上,12,34,那么 AC 等于 AD 吗?为什么?4已知:如图,DEAC,BFAC,ADBC,DEBF. 求证:ABDC.四 难题选讲(旋转类型)1 1、如图所示,已知、如图所示,已知 AEABAEAB,AFACAFAC,AE
6、=ABAE=AB,AF=ACAF=AC。 求证:求证: (1 1)EC=BFEC=BF;(;(2 2)ECBFECBFAEBM CF2.2.如图如图 1 1、图、图 2 2、图、图 3 3,AOBAOB,CODCOD 均是等腰直角三角形,均是等腰直角三角形, AOBAOBCODCOD9090, (1 1)在图)在图 1 1 中,中,ACAC 与与 BDBD 相等吗,有怎样的位置关系?请说明理由。相等吗,有怎样的位置关系?请说明理由。 (2 2)若)若CODCOD 绕点绕点 O O 顺时针旋转一定角度后,到达图顺时针旋转一定角度后,到达图 2 2 的位置,请问的位置,请问 ACAC 与与 BDB
7、D 还相等吗,还具有那种位置关系吗?为什么?还相等吗,还具有那种位置关系吗?为什么?(3 3)若)若CODCOD 绕点绕点 O O 顺时针旋转一定角度后,到顺时针旋转一定角度后,到 达图达图 3 3 的位置,请问的位置,请问 ACAC 与与 BDBD 还相等吗?还具有上还相等吗?还具有上 问中的位置关系吗?为什么?问中的位置关系吗?为什么?3.3.复习复习“全等三角形全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:的知识时,老师布置了一道作业题:“如图如图,已知在,已知在ABCABC中,中,ABAB= =ACAC,P P是是ABCABC内部任意一点,将内部任意一点,将APAP绕绕A A顺时针旋转至
8、顺时针旋转至AQAQ,使,使QAPQAP=BACBAC,连接,连接BQBQ、CPCP,则,则BQBQ= =CPCP ”小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图的分析,证明了的分析,证明了ABQABQACPACP,从而证得从而证得BQBQ= =CPCP之后,将点之后,将点P P移到等腰三角形移到等腰三角形ABCABC之外,原题中的条件不变,之外,原题中的条件不变,发现发现“BQBQ= =CPCP”仍然成立,请你就图仍然成立,请你就图给出证明给出证明4、已知:在ABC 中,ACB 为锐角,点 D 为射线 BC 上一动点,连接 AD,以 AD 为一边 且在 AD 的左侧作
9、等腰直角ADE,解答下列各题:如果 AB=AC,BAC=90 (1)当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重合) ,如图甲,线段 BD,CE 之间的位置关系怎样? 说明理由。 (2)当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如图乙, (1)中的结论是否还成立?为什么?(线段和差问题)1.如图,已知等边ABC,P 在 AC 延长线上一点,以 PA 为边作等边APE,EC 延 长线交 BP 于 M,连接 AM,求证:(1)BP=CE; (2)试证明:EM-PM=AM.2.已知:如图,四边形 ABCD 中,AC 平分BAD,CEAB 于 E,且B+D=180, 求证:AE=AD+BE 22题PBAC
10、EMA B D C E 1 2 (垂直类型)1.已知 BE,CF 是ABC 的高,且 BP=AC,CQ=AB,试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系2.如图:在ABC 中,BE、CF 分别是 AC、AB 两边上的高,在 BE 上截取BD=AC,在 CF 的延长线上截取CG=AB,连结 AD、AG。求证:(1)AD=AG,(2)AD 与 AG 的位置关系如何。3.已知:BD,CE 是ABC 的高,点 F 在 BD 上,BF=AC,点 G 在 CE 的延长线上, CG=AB.求证:AGAFBACEFQPDBACEFQPBACEFQPDGHFEDCBABCDAGEF4 4、两个大小不同的等腰直
11、角三角形三角板如图、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 1 所示放置,图所示放置,图 2 2 是由它抽象出是由它抽象出 的几何图形,的几何图形,B B,C C,E E 在同一条直线上,连结在同一条直线上,连结 DCDC (1 1)请找出图)请找出图 2 2 中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识 的字母)的字母) ; (2 2)证明:)证明:DCBEDCBE图 1图 2DCEAB5.已知:如图,是等边三角形,过边上的点作,交ABCABDDGBC 于点,在的延长线上取点,使,连接ACGGDEDEDBAECD, (1)求证:;AGEDAC (2)过点作,交于点,请你连接,并判断是怎样EEFDCBCFAFAEF 的三角形,试证明你的结论6、已知:如图,ABC中,ABC=45,CDAB于D,BE平分ABC,且BEAC于E,与CD相交于点 F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G。(!)求证:BF=AC;C G A E D B F NMEFACBA(2)求证:CE=1 2BF;7. D 为等腰斜边 AB 的中点,DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。Rt ABC (1) 当绕点 D 转动时,求证MDN DE=DF。 (2) 若 AB=2,求四边形 DECF 的面积。
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