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1、年年 级级初三学学 科科数学版版 本本湘教版内容标题内容标题正弦、余弦和正切编稿老师编稿老师阳矩红【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容: 正弦、余弦和正切教学目标 (一)知识与技能1. 了解一个锐角的正弦、余弦、正切的概念,能够正确地应用 sinA、cosA、tanA 表示 直角三角形两边之比。2. 熟记 30、45、60角的正弦、余弦、正切值,会计算含有这三个特殊锐角的直角 三角形的边长,会由一个特殊锐角的正弦值、余弦值、正切值说出这个角。3. 了解一个锐角的正弦值与它余角的余弦值之间的关系。4. 会用计算器计算锐角的正弦值和余弦值。(二)过程与方法:经历探索锐角的正弦值、余弦值与正切
2、值的过程,在探索中总结规律,体验学习的乐 趣。(三)情感态度与价值观体验数学活动充满着探索性和创造性,增强学习自信心。教学重点1. 正弦、余弦、正切的定义。2. 特殊角 30、45、60的正弦值、余弦值、正切值。3. 互余角之间的正弦值、余弦值之间的关系。教学难点1. 锐角的正弦值、余弦值、正切值的计算。2. 综合运用正弦、余弦、正切的关系求直角三角形的边。主要内容1. 正弦、余弦、正切的定义:(1)如图,在 RtABC 中,锐角 A 的对边与斜边的比,叫做A 的正弦。记作,即 的对边 斜边sinsinAAAa c(2)在 RtABC 中,锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦。记作,即 的
3、邻边 斜边coscosAAAb c(3)在 RtABC 中,锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切。记作,即 的对边 的邻边tantanAAA Aa b当锐角 A 确定后,这些比值都是固定值。2. 特殊角 30、45、60的正弦值、余弦值、正切值。3045601 22 23 2 3 22 21 2 3 313sincostan如图,在 RtABC 中,C90,A30设 BCk,则 AB2k由勾股定理得ACk3sin3021 2BC ABk kcos303 23 2 AC ABk ktan3033 3 BC ACk k用同样的方法可求 45、60角的三角函数值。3. 互为余角的正弦、余弦之间的
4、关系:由定义知:,sincosAa cBa csinAcosB即sincos()AA90同理:cossin()AA90语言表达:任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。比如:sincos6030cossin52384. 同角的三角函数之间的关系:sincos221AAtansin costantan()AA AAA,1 905. 090间正弦值、余弦值、正切值的变化规律:0101sincosAA,在 090间的角:正弦值随角度的增大(或减小)而增大(或减小) ;余弦值随角度的增大(或减小)而减小(或增大) ;正弦值随角度的增大(或减小)而增大(或减小) 。6
5、. 会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。【典型例题典型例题】例 1. 已知ABC 中,AC7,BC24,AB25,求 sinA,cosA,tanA,sinB,cosB,tanB分析:分析:根据正弦、余弦、正切的定义知,应首先判断ABC 是直角三角形。解:解:AC7,BC24,AB25ACBC2222724625AB2225625ACBCAB222ABC 为直角三角形,C90由三角函数定义得:sin ABC AB24 25cos AAC AB7 25tan ABC AC24 7由互余角的关系得:sincosBA7 25cossinBA24 25tantanBA17 24例 2. 已知中,
6、,求,RtABCC90sincostanAAA5 13分析:分析:可用引进参数法,也可利用同角的正弦、余弦关系求解。法一:法一:如图解:解:sin A 5 13设,BCkABk513由勾股定理得:AC12kcos AAC ABk k12 1312 13tan ABC ACk k5 125 12法二:解:法二:解:,sincossin2215 13AAAcossin()()2222115 1312 13AA又A 为锐角,cosA0cos A 12 13tansin cosAA A5 13 12 135 12变式训练:变式训练:已知在中, ,周长为,求斜RtABCCAcm905 1360sin边
7、c 的长。提示:提示:可引进参数法。例 3. 计算:( )1301 24545202022sin(sincos)sincos( )260451451 603022sinsintantancos 分析:分析:略解:解:( )原式11 21 22 22 2202022()(sincos)1 22 2121 2( )原式 23 22 211133 222 ()()3 42 421 3 213 42 331 12例 4. 已知锐角 满足,求 的值。23102cossin分析:分析:把条件式看作关于 sin 的一元二次方程,利用解方程求出 sin,再确定 的值。解:解:sincos221条件式子可化为:
8、223302cossin即 23302sinsin得 ( sin)(sin)2330,0130sinsin23sinsin3 2, 为锐角sin603 2 60练习求适合条件的锐角:( ),则121sin( ),则223cos( ),则32 3103sin()( ),则433tan答案:答案:(1)30 (2)30 (3)70 (4)30例 5. 如图在 RtABC 中,C90,BC5,AC6。(1)求 sinA,sinB 的值。(2)过点 C 作 CDAB 于 D,求 cosACD 的值。分析:分析:(1)利用正弦定义来解决。( )求,在中求较麻烦,但利用互余角的关系将2cosACDRtAC
9、DCD AC ACD 转化为B 则非常简便。解:解:(1)在 RtABC 中,C90,BC5,AC6ABACBC222AB 656122sin ABC AB5 615 61 61sinBAC AB6 616 61 61(2)ACB90,AB90又 CDAB 于 D,ACDA90BACDcoscosACDBBC AB5 61 61例 6. 如图在中, ,求的长。ABCA30tanBBCAB1 310分析:分析:根据条件知:ABC 不是直角三角形,应添加辅助线,构造直角三角形。解:解:过 C 点作 CDAB 于 D,设 CDx在 RtACD 中,A30tan30CD ADADxx3 33在中,Rt
10、BCDBCD BDtan1 3BD3x又BCCDBD222()()103222xxx1ADx33BDx33ABADBD33【模拟试题模拟试题】 (答题时间:50 分钟) 一、填空题:1. 求值:_。1 2602 245sincos2. 在 RtABC 中,C90,a1,b2,则 cosA_。3. tan10tan20tan30tan70tan80_。4. ABC 中,C90,若,则 tanB_。sin A 2 35. _。(cos)|tansin|451 2603026. _。3801tan(),则7. 在 RtABC 中,C90,则A_。33ab8. 已知等腰三角形 ABC 的腰长为,底角为
11、 30,则底边上的高为_,4 3周长为_。二、选择题:9. 在ABC 中,若,A、B 都是锐角,则C 的|sin| (cos )AB2 23 202度数是( )A. 75B. 90C. 105D. 12010. 当锐角 A45时,sinA 的值( )A. 小于B. 大于2 22 2C. 小于D. 大于3 23 211. 已知,则( )09030,sincosA. 30B. 60C. 45D. 无法确定12. 下列结论中不正确的是( )A. sincos48374120B. 中,C90,则RtABCsincos221AAC. RtABC 中,C90,则tansincosBBBD. RtABC 中
12、,C90,ACb,则ABb Bsin13. 如图 CD 是平面镜,光线从 A 点出发经 CD 上点 E 反射后照射到 B 点,若入射角 (入射角等于反射角) ,ACCD,BDCD,垂足为 C、D,且 AC3,BD6,CD11,则( )tanA. B. C. D. 11 33 119 1111 914. 如果A 为锐角,且,则( )cos A 1 4A. B. 030A3045AC. D. 4560A6090A15. 如图 RtABC 中,ACB90,CDAB 于 D,若 AC4,BC3,则sinACD( )A. B. C. D. 4 33 44 53 5三、解答题:16. 计算:(1)(sin
13、)| sinsin|1 245260302(2)1 2602 2453030230 1302sincossincostan tan 17. 如图 RtABC 中,C90,b8,A 的平分线 AD。求B 及 a、c16 3 3的值。18. 如图在等腰ABC 中,ABAC,若 AB2BC,试求B 的正弦值和正切值。19. RtABC 中,C90,方程有两个相等的实数xAxA23310sinsin根,斜边为 c,方程也有两个相等的实根,求这个直角三角形的三边的长。cxxc22020. 如图在ABC 中,AD 是 BC 边上的高,tanBcosDAC。(1)求证:ACBD。(2)若,求 AD 的长。s
14、inCBC12 1312,【试题答案试题答案】 一、填空题:1. 2. 3. 3 82 5 53 34. 5. 6. 505 22 237. 308. 2 3128 3,二、选择题:9. C10. B11. B12. C13. D14. D15. C三、解答题:16. 解:(1)原式()|1 22 2231 222 21 22 31 2 2 22 3(2)原式1 23 22 22 21 23 223 313 32 ()3 41 23 433 3 21 217. 解:在 RtADC 中,AC8,AD 16 3 3又cosDACAC AD8 16 3 33 2DAC30又 AD 平分BACBAC6
15、0,B30又 b8c16,a8 318. 解:如图,过 A 点作 ADBC 于 DABAC,AB2BCBDCDAB1 4设BCaBDaABa24,则,在 RtABD 中,ADABBDaaa2222415()sinBAD ABa a15 415 4tanBAD BDa a151519. 解:方程有两个相等的实根xAxA23310sinsin(sin)( sin)34 3102AA912402sinsinAA( sin)3202Asin A 2 3又 方程也有两个相等的实根cxxc220()24022cc1(负值舍去)C90,在 RtABC 中sin Aa c2 3ac2 32 3bca22212 35 3( )abc2 35 31,20. (1)证明:在 RtABD 和 RtADC 中,tancosBAD BDDACAD AC,又tancosBDACAD BDAD ACBDAC(2)在 RtABC 中,由,设 AD12k,则 AC13ksinC 12 13CD5k由(1)知,BDAC13k,又 BC12, 13512kkk 2 3AD8
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