(完整版)10、小升初分班奥数行程问题2.doc
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1、小升初分班考试辅导讲义讲义编号:学员编号: 年 级:小六 课时数:3学员姓名: 辅导科目:奥数 学科教师:课 题行程问题2教学目标掌握典型的行程问题的分析思路及解题方法,会将其转化为原始的行程问题中的相遇、追及问题。教学内容【专题知识点概述】通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题,例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时,这里的参考系便是公路,而公路本身是没有速度的,所以我们只需要考虑人本身的速度即可。但是在流水行船问题中,我们的参考系将不再是速度为0的参考系,因为水本身也是在流动的,所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响.一、 流水行船顺水速度=船速+水速,
2、 逆水速度=船速-水速. ( 其中为船在静水中的速度,为水流的速度)由上可得:船速=(顺水速度+逆水速度)2; 水速=(顺水速度-逆水速度)2.流水行船中的相遇与追击:(1)两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船(甲在上游、乙在下游)在江河里相向开出,它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为:甲船顺水速度+乙船逆水速度=(甲船速+水速)(乙船速-水速)=甲船船速+乙船船速.这就是说,两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样,与水速没有关系.(2)同样道理,如果两只船,同向运动,一只船追上另一只船所用的时间,也只与路程差和船速有关,与水速无关.这是因为:甲船顺水速度-
3、乙船顺水速度=(甲船速+水速)-(乙船速+水速)=甲船速-乙船速.也有:甲船逆水速度-乙船逆水速度=(甲船速-水速)-(乙船速-水速)=甲船速-乙船速.这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.由上述讨论知,解流水行船问题,更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答【例1】(难度等级 )两港相距 120 千米,甲船往返两港需 60 小时,逆流航行比顺流航行多用了 20 小时乙船的静水速度是甲船的静水速度的 3 倍,那么乙船往返两港需要多少小时?【分析与解】 先求出甲船往返航行的时间分别是: (60 20) 2 =40小时, (60 20) 2= 20小时再求出甲船逆水速度每小时120 40
4、 =3千米,顺水速度每小时120 20 =6千米,因此甲船在静水中的速度是每小时 (6 3) 2 =4.5千米,水流的速度是每小时 (6 3) 2= 1.5 千米,乙船在静水中的速度是每小时 4.5 3 =13.5千米,所以乙船往返一次所需要的时间是120 (13.5 1.5) 120 (13.5 1.5) =18小时【举一反三】(难度等级 )一艘轮船顺流航行 120 千米,逆流航行 80 千米共用 16 时;顺流航行 60 千米,逆流航行 120 千米也用 16 时。求水流的速度。 【分析与解】 两次航行都用 16 时,而第一次比第二次顺流多行 60 千米,逆流少行 40 千米,这表明顺流行
5、60 千米与逆流行 40 千米所用的时间相等,即顺流速度是逆流速度的 1.5 倍。将第一次航行看成是 16 时顺流航行了 120801.5240(千米),由此得到顺流速度为 2401615(千米时),逆流速度为151.5=10(千米时),最后求出水流速度为(1510)22.5(千米时)。 【例2】(难度等级 )A、 B 两码头间河流长为 220 千米,甲、乙两船分别从 A、 B 码头同时起航如果相向而行 5 小时相遇,如果同向而行 55小时甲船追上乙船求两船在静水中的速度【分析与解】相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和,同向而行时的速度差等于两船在静水中的速度之差,所以,两船在静水中的
6、速度之和为: 220 5= 44(千米/时),两船在静水中的速度之差为:220 55 =4(千米/时),甲船在静水中的速度为: (44 4) 2 =24(千米/时),乙船在静水中的速度为: (44 4) 2 =20(千米/时)【例3】(难度等级 )一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时,回来时顺水,比去时的速度每小时多行驶8千米,因此第二小时比第一小时多行驶6千米那么甲、乙两地之间的距离是多少千米?【分析与解】 后一小时比前一小时多行6千米,说明前一小时小船逆水行驶,差3千米走完全程后一小时小船逆水走3千米,顺水走了一个全程因为顺水、逆水速度每小时差8千米,所以若小船一小时全顺水走,应比行程时
7、的第一小时多行8千米,也就是比一个全长多5千米再与小船第二小时行驶做比较,我们就得到小船顺水走5千米的时间与逆水走3千米的时间相同,这个时间我们认为是1份在一份时间内,顺水与逆水所行距离差2千米,一小时差8千米,所以一小时内有82=4份时间由此得出小船顺水一小时走54=20干米,逆水一小时走34=12千米因为小船在第一小时始终逆水,比全程少走3千米,所以从甲地到乙地为121+3=15千米【例4】(难度等级 )江上有甲、乙两码头,相距 15 千米,甲码头在乙码头的上游,一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶,5 小时后货船追上游船。又行驶了 1 小时,货船上有一物品落入江中(该物品
8、可以浮在水面上),6 分钟后货船上的人发现了,便掉转船头去找,找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米? 【分析与解】此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中,两者的追及距离是 15 千米,共用了 5 小时,故两者的速度差是 155=3 千米。由于两者都是顺水航行,故在静水中两者的速度差也是 3 千米。在紧接着的 1 个小时中,货船开始领先游船,两者最后相距 31=3千米。这时货船上的东西落入水中,6 分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度1/10 千米,从此时算起,到货船和落入水中的物体相遇,又是一个
9、相遇问题,两者的速度之和刚好等于货船的静水速度,所以这段时间是货船的静水速度*1/10货船的静水速度=1/10小时。按题意,此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时,货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10 千米,两者到相遇共用了 1/10 小时,帮两者的速度和是每小时 33/101/10=33 千米,这与它们两在静水中的速度和相等。(解释一下)又已知在静水中货船比游船每小时快 3 千米,故游船的速度为每小时(33-3)2=15 千米。 【举一反三】(难度等级 )1、一条河上有甲、乙两个码头,甲在乙的上游 50 千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶,两船的静水速度相同
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