关于连续自然数的k次方和.pdf
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1、第 1 页 关于连续自然数的 k 次方和 作者:学夫子 偶然之间想到,也许这个方法比较有用,对于解决连续自然数的 k 次方和问题。这个问题我想是每一个学过中学课程的朋友都想过的,我在阿尔哈曾公式一文里提到过一种方法。今天来介绍另外一种,应该算是比较简单的一种。那就是用待定系数法。我们首先必须要明白的是下面一个道理:一:若记 f(n)=1k+2k+3k+nk。那么 f(k)一定是一个次数为 k+1 的多项式,也就是 f(n)可以写成下面的形式 f(n)=A0+A1n+A2n2+A3n3+ak+1nk+1 知道了这个的话,我们就可以通过待定系数法求出 f(n)的各项系数就行了,从而求出 f(n)的
2、确定表达式。除了这个外,我们可以预先了解一些这个多项式的性质。1:第一个性质就是,A0=0。为了证明这个,我们可以记 f(n)=0k+1k+2k+3k+nk。也就是 n 的范围扩大到自然数,而不仅仅是正整数。显然这不影响 f(n)的表达式,从而 f(n)仍然为A0+A1n+A2n2+A3n3+ak+1nk+1。若取 n=0,则 f(n)=0,从而知道 A0=0。2:f(n)的系数之和 A1+A2+A3+AK+1=1 这个证明和 1 一样,你取 n=1 就行了,这个性质可以拿来检第 2 页 验结果。因此,f(k)=A1n+A2n2+A3n3+ak+1nk+1。我们可以通过性质 1 得到一个数论里
3、的结果 f(n)=1k+2k+3k+nk 一定能被 n 整除,其中 n 取自然数。二:应用举例 我们就来看看上面的性质的具体应用吧!例 1:计算 f(1)=1+2+3+n 设 f(n)=An+Bn2.f(1)=1,f(2)=3,所以有 A+B=1 2A+4B=3 解得 A=1/2,B=1/2,从而 f(n)=1/2n+1/2n2 例 2:计算 f(n)=13+23+33+n3 同样,我们设f(n)=An+Bn2+Cn3+Dn4,f(1)=1,f(2)=9,f(3)=36,f(4)=100,所以:A+B+C+D=1 2A+4B+8C+16D=9 3A+9B+27C+81D=36 4A+16B+64C+256D=100 解得:A=0,B=1/4,C=1/2,D=1/4 第 3 页 从而得到 f(n)的表达式。通过上面的两个例子可以看出,越到后面,计算量越大。不过如果学过线性代数的话,可以通过行列式的理论来解这个方程组,那样会显得很简单。不管如何,这终究是个不错的办法。(
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