新高考数学复习:选择题与填空题压轴题(三)11027.pdf
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1、 新高考数学复习:选择题与填空题压轴题(三)一选择题(共 15 小题)1已知函数31()|231xxf xx x,且()(23)4fafa,则实数a的取值范围是()A(1,)B3(2,)C(3,)D(4,)【解答】解:因为312()|23|3131xxxf xx xx x,所以22()()3|3|3131xxfxf xxxx x,2 3261331xxx 624,因为()(23)4fafaf(a)()fa,所以(23)faf(a),又312()|23|3131xxxf xx xx x 在R上单调递增,所以23aa,解得3a 故选:C 2已知实数a,b,c满足abcalnbceee 且1a,则a
2、,b,c的大小关系为()Aabc Bacb Cbca Dbac【解答】解:实数a,b,c满足abcalnbceee,0a,0b,0c,则排除B,D选项,令()f xxlnx,所以1()xfxx,()f x在01x上单调递减,在1x上单调递增,()f xf(1)1,即lnxx,bblnbbee,ababee,设()xxh xe,1()0 xxh xe,()h x在1x 上单调递减,则h(a)h(b),ab,排除C选项 故选:A 3(2021朝阳一模)过长方体的一个顶点的平面与这个长方体的十二条棱所在的直线成的角都相等,这样的平面个数为()A4 B1 C0 D无数多个【解答】解:由题意,题目中的长
3、方体与正方体,所作的平面个数相同,所以一正方体代替长方体来求解 法一:在正方体1111ABCDABC D中,三棱锥1AA BD是正三棱锥,直线AB、AD、1AA与平面1ABD所成角都相等,过顶点A作平面/平面1ABD,则直线AB、AD、1AA与平面所成角都相等,同理,过顶点A分别作平面与平面1C BD、平面1B AC,平面1D AC平行,直线AB、AD、1AA与平面所成的角都相等,这样的平面可以作 4 个 故选:A 法二:只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所成的角相等,因为有四条体对角线,所以,可以做四个平面 故选:A 4(2021湖南模拟)当xR时,不等式11xxaxe恒成立,则实数
4、a的取值范围为()A2a B3a C2a D2 12ea e【解答】解:令1()xxf xe,1x 时,()0f x,0a时不合条件;令1()1xxh xaxe,得2()xxxaeh xe,令()2xg xxae,知()g x在R上单调递减,(0)0h,()h x要在0 x 处取得最大值,(0)20ga,即2a 故选:A 5(2021湖南模拟)定义函数 1,1,xD xx为有理数为无理数,则下列命题中正确的是()A()D x不是周期函数 B()yD x的图象存在对称轴 C()D x是奇函数 D()D x是周期函数,且有最小正周期【解答】解:当m为有理数时,1,1,xD xmx为有理数为无理数,
5、()()D xmD x,任何一个有理数m都是()D x的周期,()D x是周期函数,且无最小正周期,选项A,D错误,若x为有理数,则x也为有理数,()()D xDx,若x为无理数,则x也为无理数,()()D xDx,综上,总有()()DxD x,函数()D x为偶函数,图像关于y轴对称,选项C错误,选项B正确,故选:B 6(2021湖南三模)在一次“概率”相关的研究性活动中,老师在每个箱子中装了 10 个小球,其中 9 个是白球,1 个是黑球,用两种方法让同学们来摸球方法一:在 20 箱中各任意摸出一个小球;方法二:在10 箱中各任意摸出两个小球将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p
6、和2p,则()A12pp B12pp C12pp D以上三种情况都有可能【解答】解:根据题意,按方法一抽取,每箱中黑球被抽取的概率为110,则没有抽到黑球的概率为1911010,则至少能摸出一个黑球的概率20191()10P ,按方法一抽取,每箱中黑球被抽取的概率为15,则没有抽到黑球的概率为14155,则至少能摸出一个黑球的概率10241()5P ,则有2010102010101294494811()1()()()()()01055105100PP,故12PP,故选:A 7(2021益阳模拟)如图所示,边长为 2 的正ABC,以BC的中点O为圆心,BC为直径在点A的另一侧作半圆弧BC,点P在
7、圆弧上运动,则AB AP的取值范围为()A2,3 3 B4,3 3 C2,4 D2,5【解答】解:由题可知,当点P在点C处时,AB AP最小,此时1|cos22232AB APABAEABAC,过圆心O作/OPAB交圆弧于点P,连接AP,此时AB AP最大,过O作OGAB于G,PFAB的延长线于F,则|(|)AB APABAFABAGGF 32(1)52,所以AB AP的取值范围为2,5 故选:D 8(2021益阳模拟)已知定义在R上的奇函数()f x,其导函数为()fx,当0 x 时,()()0f xxfx,且f(1)0,则不等式2(2)()0 xx f x的解集为()A(,1)(1,2)B
8、(1,1)C(,1)(1,)D(1,0)(0,1)【解答】解:因为2(2)()(2)()xx f xx xf x,所以记()()g xxf x,因为()f x是定义在R上的奇函数,所以()g x为定义在R上的偶函数,又()()()g xf xxfx,因为当0 x 时,()()0f xxfx,所以当0 x 时,()0g x,即()g x在(0,)上单调递增,所以()g x在(,0)上单调递减,又f(1)0,得g(1)0,所以(1)0g,不等式2(2)()0 xx f x等价于(2)()0 xg x,所以20()0 xg x或20()0 xg x,即211xxx或或21001xxx 或,解得1x
9、或12x 故选:A 9(2021湖南模拟)已知1F,2F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点,过1F的直线与圆222xya相切,切点T,且交双曲线右支于点P,若12FTTP,则双曲线C的渐近线方程为()A0 xy B230 xy C320 xy D20 xy【解答】解:连2PF,过2F作2/F QOT,若12FTTP,则易知1|OFc,|OTa,1|TFTQQPb,2|2QFa,21|232PFPFaba,所以在2Rt PQF中,222(32)(2)baab,整理得32ba,所以渐近线方程为32yx,即320 xy,故选:C 10(2021南通模拟)若直线1(0,0)xyab
10、ab经过点(1,1),则圆22220 xyaxby面积的最小值是()A8 B4 C2 D无最小值【解答】解:由题意得111ab,即abab,因为22220 xyaxby,所以2222()()xaybab,因为11()()2224baa bababababb a,当且仅当12ab时取等号,故4ab,22222()2()2()(1)1 8abababababab,故圆的面积22()8ab 故选:A 11(2021江苏模拟)从 2 个小孩,2 个中年人,2 个老人组成的 6 人中随机抽取 3 人做一个游戏,则这 3人恰好为 1 个小孩,1 个中年人,1 个老人的概率为()A15 B25 C815 D
11、35【解答】解:从 2 个小孩,2 个中年人,2 个老人组成的 6 人中随机抽取 3 人做一个游戏,基本事件总数3620nC,这 3 人恰好为 1 个小孩,1 个中年人,1 个老人包含的基本事件个数:1112228mC C C,则这 3 人恰好为 1 个小孩,1 个中年人,1 个老人的概率为:82205mPn 故选:B 12(2021南通模拟)设()f x为定义在R上的函数,对任意的实数x有()(1)(f x f xe e为自然对数的底数),当01x 时,()xf xe,则方程2()logf xx的解有()A4 个 B5 个 C6 个 D7 个【解答】解:()f x为定义在R上的函数,对任意的
12、实数x有()(1)f x f xe,(1)(2)f xf xe,故()(2)f xf x,故函数周期是 2,方程2()logf xx的实数根的个数即两函数()yf x与2logyx的图象的交点个数,如图,由图知,两函数有四个交点,即方程2()logf xx的实数根的个数为 4,故选:A 13(2021南通模拟)若函数()f x为定义在R上的偶函数,当0 x时,()22xf x,则不等式(1)2()f xf x的解集为()A(,0 B215(,log2 C2150,log2 D0,1)【解答】解:因为函数()f x为定义在R上的偶函数,当0 x时,()22xf x 单调递增,所以|()22xf
13、x,因为(1)2()f xf x,所以|1|22 2(22)xx,即|1|1222 0 xx,当0 x时,可化为2 0,成立,当01x时,11222 0 xx,即221 0 xx,令2xt,则12t,所以110tt,即21 0tt,解得1512t,所以21502x log,当1x时,11222 0 xx,即423x,显然成立,综上,(1)2()f xf x的解集(,215log2 故选:B 14(2021湖北模拟)已知实数a,b,cR,满足,1abclnabcbeee,则a,b,c大小关系为()Aabc Bacb Cbca Dbac【解答】解:因为,1abclnabcbeee,则0a,0c,对
14、于函数()f xxlnx,(0)x,1()1fxx,可得()f x在(0,1)递减,在(1,)递增,()f x(1)10,lnaa,即aalnaaee,ababee,令函数()xxh xe,1()xxh xe,可得()h x的图像如下:ab,综上:abc,故选:D 15(2021福州一模)已知函数()2sin()(0f xx,|)2图象过(0,1),在区间(,)12 3 上为单调函数,把()f x的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合设1x,25(,)26x且12xx,若12()()f xf x,则12()f xx的值为()A3 B1 C1 D3【解答】解:函数()2sin()(0f xx
15、,|)2图象过(0,1),故有2sin1,6,()2sin()6f xx()f x在区间(,)12 3 上为单调函数,1 22312,4 把()f x的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合,2k,kZ,2 或4 当2,()2sin(2)6f xx,不满足在区间(,)12 3 上为单调函数 当4,()2sin(4)6f xx,满足在区间(,)12 3 上为单调函数 设1x,25(,)26x且12xx,则14(6x26,32)2,24(6x26,32)2,若12()()f xf x,则124466222xx,1276xx,则12729()()2sin166f xxf 故选:C 二多选题(共22
16、 小题)16(2021辽宁模拟)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F,则下列说法正确的是()A若ab,1(6,0)F,则它的方程是2211818xy B若3b,一条渐近线方程为320 xy,则2(4,0)F CP为双曲线右支上一点,2212|18PFa PFa,则离心率e的取值范围为(1,3 D若过2F的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A、B两点,13AFO,则双曲线C的渐近线方程为2 3yx 【解答】解:若ab,(6,0)F,可得26ca,即有3 2ab,双曲线的方程为2211818xy,故A正确;一条渐近线方程为320 xy,可得32ba,又3b,则2a
17、,2213cab,则2(13F,0),故B错误;设1|PFm,2|PFn,由双曲线的定义可得2mna,由2212|18PFa PFa,可得2218mana,即为22(2)18naana,解得2na,由n ca,可得3ca,即有13cea,故C正确;若过2(,0)F c的直线l与x轴垂直且与渐近线交于(,)acA cb,、(,)acB cb两点,由13AFO,可得132AFacbkc,即为2 3ab,则双曲线C的渐近线方程为36yx,故D错误 故选:AC 17(2021锦州一模)冬末春初,乍暖还寒,人们容易感冒发热若发生群体性发热,则会影响到人们的身体健康,干扰正常工作生产某大型公司规定:若任意
18、连续 7 天,每天不超过 5 人体温高于37.3 C,则称没有发生群体性发热,下列连续 7 天体温高于37.3 C人数的统计特征数中,能判定该公司没有发生群体性发热的为()A中位数为 3,众数为 2 B均值小于 1,中位数为 1 C均值为 3,众数为 4 D均值为 2,标准差为2【解答】解:由题意,设连续 7 天,每天的体温高于37.3 C的人数分别为a,b,c,d,e,f,g,则0 a b c d e fg,对于A,取 2,2,2,2,3,4,6,则满足中位数为 3,众数为 2,但是第 7 天的人数为65,故选项A错误;对于B,若6g,由中位数为 1,可知均值为1()17abcdefg,与均
19、值小于 1 矛盾,故选项B正确;对于C,取 0,1,2,4,4,4,6,则满足均值为 3,众数为 4,但是第 7 天的人数为65,故选项C错误;对于D,当均值为 2,标准差为2时,14abcdefg,22(2)(2)14ag,若6g,则22(2)(2)14ag,且如 1,1,1,1,2,3,5,符合题意,故选项D正确 故选:BD 18(2021锦州一模)已知函数()|cos|sin|f xxx,则下列结论正确的是()A()f x是偶函数 B()f x是周期函数 C()f x在区间(2,)上单调递增 D()f x的最大值为 1【解答】解:对于A,()f x的定义域为R,且()|cos()|sin
20、|cos|sin|()fxxxxxf x,所以()f x为偶函数,故A正确;对于B,因为|cos|yx是周期为的周期函数,sin|yx关于y轴对称,不是周期函数,所以()|cos|sin|f xxx不是周期函数,故B错误;对于C,当(2x,)时,()cossin2sin()4f xxxx ,3(44x,5)4,()f x单调递增,故C正确;对于D,当54x时,5522()|cos|sin214422f x,故()f x的最大值不为 1,故D错误 故选:AC 19(2021朝阳一模)关于函数2()xlnxf xx,下列说法正确的是()A函数()f x的极小值为12ln B函数2()yf xx有且
21、只有 1 个零点 C存在负实数a,使得2()4410f xaxaxa 恒成立 D对任意两个正实数1x,2x,且12xx,若12()()f xf x,则124xx【解答】解:对于A:函数的定义域是(0,),22212()xfxxxx,令()0fx,解得:2x,令()0fx,解得:2x,故()f x在(0,2)递减,在(2,)递增,()f xf极小值(2)12ln,故A正确;对于B:令222()()g xyf xxlnxxx,则3222122()2xxg xxxxx ,令3()22h xxx,则2()61h xx,令()0h x,解得:66x,令()0h x,解得:606x,故()h x在6(0,
22、)6递减,在6(6,)递增,故61662 662 6()()2220(0)666633h xhx,故()0g x,故函数在(0,)上单调递减,又f(1)110,f(2)2230ln,故函数2()yf xx有且只有 1 个零点,故B正确;对于C:结合A选项可知不存在负实数a,使得2()(2)10f xa x 恒成立,故C错误;对于D:设12xx,12()()f xf x,结合A选项可知12x,202x,可证124xx,故D正确;故选:ABD 20(2021湖南模拟)截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角,即截去四面体的四个顶点所产生的多面体如图所示,将棱长为3a的正四面体沿棱的三等
23、分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体,则下列说法正确的是()A该截角四面体的表面积为27 3a B该截角四面体的体积为323 212a C该截角四面体的外接球表面积为2112a D该截角四面体中,二面角ABCD的余弦值为13【解答】解:题中截角四面体由 4 个边长为a的正三角形,4 个边长为a的正六边形构成,故222334467 344Saaa,故选项A正确;因为棱长为a的正四面体的高63ha,所以22313613623 2(3)(3)434334312Vaaaaa,故选项B正确 因为截角四面体上下底面距离为62 6633aaa,所以22222 63RO CRO Ha,所以22
24、222 633aRaRa,即222222284 6333aRaRaaRa,所以22118Ra,故221142SRa,故选项C正确;二面角ABCD的余弦值应该为负值,故选项D错误 故选:ABC 21(2021湖南模拟)已知函数()2cos()(0f xx,|)2的图象上,对称中心与对称轴12x的最小距离为4,则下列结论正确的是()A函数()f x的一个对称点为5(12,0)B当6x,2时,函数()f x的最小值为3 C若444sincos(0,)52,则()4f的值为43 35 D要得到函数()f x的图象,只需要将()2cos2g xx的图象向右平移6个单位【解答】解:函数()2cos()(0
25、f xx,|)2的图象上,对称中心与对称轴12x的最小距离为1244,2 再根据212k,kZ,可得6,故()2cos(2)6f xx 令512x,可得()10f x ,故A错误;当6x,2时,266x,56,故当5266x时,函数()f x的最小值为3,故B正确;若44224sincossincoscos2(0,)52 ,4cos25,23sin 21cos 25,则43 3()2cos(2)2sin(2)2sin2 cos2cos2sin4266665f ,故C正确;将()2cos2g xx的图象向右平移6个单位,可得2cos(2)3yx的图象,故D错误,故选:BC 22(2021湖南模拟
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