通用版高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7解析几何第32练圆锥曲线中的探索性问5138.pdf
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1、 1 通用版高考数学考前 3 个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7解析几何第32练圆锥曲线中的探索性问题文 题型分析高考展望 本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题,试题难度较大 体验高考 1(2016课标全国乙)在直角坐标系xOy中,直线l:yt(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y22px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH|ON|;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由 解(1)由已知得M(0,t),Pt22p,t,又N为M关于点P的对称
2、点,故Nt2p,t,ON的方程为yptx,代入y22px整理得px22t2x0,解得x10,x22t2p,因此H2t2p,2t.所以N为OH的中点,即|OH|ON|2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点,理由如下:直线MH的方程为ytp2tx,即x2tp(yt)代入y22px得y24ty4t20,解得y1y22t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外,直线MH与C没有其他公共点 2(2016四川)已知椭圆E:x2a2y2b21(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:yx3 与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原
3、点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2|PA|PB|,并求的值 解(1)由已知,得a 2b,则椭圆E的方程为x22b2y2b21.2 由方程组 x22b2y2b21,yx3,得 3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23),由0,得b23,此时方程的解为x2,所以椭圆E的方程为x26y231.点T的坐标为(2,1)(2)由已知可设直线l的方程为y12xm(m0),由方程组 y12xm,yx3,可得 x22m3,y12m3.所以P点坐标为22m3,12m3,|PT|289m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B
4、(x2,y2)由方程组 x26y231,y12xm,可得 3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2),由0,解得3 22mb0)经过点(0,3),离心率为12,直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l交y轴于点M,且MAAF,MBBF,当直线l的倾斜角变化时,探求的值是否为定值?若是,求出的值;否则,请说明理由 解(1)依题意得b 3,eca12,a2b2c2,a2,c1,椭圆C的方程为x24y231.(2)直线l与y轴相交于点M,故斜率存在,又F坐标为(1,0),设直线l方程为 yk(x1),求得l与y轴交于M(0,k),设l交椭圆A
5、(x1,y1),B(x2,y2),由 ykx1,x24y231,消去y得(34k2)x28k2x4k2120,x1x28k234k2,x1x24k21234k2,又由MAAF,(x1,y1k)(1x1,y1),x11x1,同理x21x2,x11x1x21x2x1x22x1x21x1x2x1x2 8k234k224k21234k218k234k24k21234k283.当直线l的倾斜角变化时,的值为定值83.点评(1)定点问题的求解策略 把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然直线或曲线过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一
6、个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点(2)定值问题的求解策略 4 在解析几何中,有些几何量与参数无关,这就是“定值”问题,解决这类问题常通过取特殊值,先确定“定值”是多少,再进行证明,或者将问题转化为代数式,再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关,令其系数等于零即可得到定值 变式训练 1 已知抛物线y22px(p0),过点M(5,2)的动直线l交抛物线于A,B两点,当直线l的斜率为1 时,点M恰为AB的中点(1)求抛物线的方程;(2)抛物线上是否存在一个定点P,使得以弦AB为直径的圆恒过点P,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由 解(1)当
7、直线l的斜率为1 时,直线l的方程为xy30,即x3y,代入y22px(p0)得y22py6p0,y1y22p2,p2,所以抛物线的方程为y24x.(2)设直线l的方程为xm(y2)5,代入y24x得y24my8m200,设点A(y214,y1),B(y224,y2),则y1y24m,y1y28m20,假设存在点P(y204,y0)总是在以弦AB为直径的圆上,则PAPB(y214y204)(y224y204)(y1y0)(y2y0)0,当y1y0或y2y0时,等式显然成立;当y1y0或y2y0时,则有(y1y0)(y2y0)16,即 4my0y208m2016,(4my02)(y02)0,解得
8、y02,x01,所以存在点P(1,2)满足题意 题型二 定直线问题 例 2 在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x22py(p0)相交于A,B两点 5(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求ANB面积的最小值;(2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由 解 方法一(1)依题意,点N的坐标为(0,p),可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为ykxp,与x22py联立得 x22py,ykxp,消去y得x22pkx2p20.由根与系数的关系得x1x22pk,x1x22p2.于是S
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