通用版高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7解析几何第28练椭圆问题中最值得关注4856.pdf
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1、 1 通用版高考数学考前 3 个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7解析几何第28练椭圆问题中最值得关注的基本题型文 题型分析高考展望 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位,并且占的分值也较多 分析历年的高考试题,在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题,所以我们对椭圆知识必须系统的掌握对各种题型,基本的解题方法也要有一定的了解 体验高考 1(2015广东)已知椭圆x225y2m21(m0)的左焦点为F1(4,0),则m等于()A2 B3 C4 D9 答案 B 解析 由题意知 25m216,解得m29,又m0,所以m3.2(2015福建)已知椭圆E:x2a2y2b21(ab0)的右焦点
2、为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x4y0 交椭圆E于A,B两点若|AF|BF|4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32 B.0,34 C.32,1 D.34,1 答案 A 解析 设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形|AF|BF|4,|AF|AF0|4,a2.设M(0,b),则4b545,1b2.离心率ecac2a2a2b2a24b240,32,故选 A.3(2016课标全国丙)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2y2b21(ab0)的左焦点,A,2 B分别为C的左,右顶点P为椭圆C上一点,且PFx轴过点A的直线l与线段P
3、F交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则椭圆C的离心率为()A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A 解析 设M(c,m),则E0,amac,OE的中点为D,则D0,am2ac,又B,D,M三点共线,所以m2acmac,a3c,e13.4(2015浙江)已知椭圆x22y21 上两个不同的点A,B关于直线ymx12对称(1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为y1mxb.由 x22y21,y1mxb消去y,得121m2x22bmxb210.因为直线y1mxb与椭圆x22y21 有两个不同的交点,所以2b2
4、24m20,将线段AB中点M2mbm22,m2bm22代入直线方程ymx12,解得bm222m2,由得m63或m63.(2)令t1m62,0 0,62,则|AB|t212t42t232t212,3 且O到直线AB的距离为dt212t21.设AOB的面积为S(t),所以S(t)12|AB|d122t2122222.当且仅当t212时,等号成立 故AOB面积的最大值为22.5(2016北京)已知椭圆C:x2a2y2b21(ab0)的离心率为32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面积为 1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点
5、N.求证:|AN|BM|为定值(1)解 由已知ca32,12ab1.又a2b2c2,解得a2,b1,c 3.椭圆C的方程为x24y21.(2)证明 由(1)知,A(2,0),B(0,1)设椭圆上一点P(x0,y0),则x204y201.当x00 时,直线PA方程为yy0 x02(x2),令x0 得yM2y0 x02.从而|BM|1yM|12y0 x02.直线PB方程为yy01x0 x1,令y0 得xNx0y01.|AN|2xN|2x0y01.|AN|BM|2x0y0112y0 x02 4 x02y02y01x02y02x02 x204y204x0y04x08y04x0y0 x02y02 4x0
6、y04x08y08x0y0 x02y024.当x00 时,y01,|BM|2,|AN|2,|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值 高考必会题型 题型一 利用椭圆的几何性质解题 例 1 如图,焦点在x轴上的椭圆x24y2b21 的离心率e12,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,求PFPA的最大值和最小值 解 设P点坐标为(x0,y0)由题意知a2,eca12,c1,b2a2c23.所求椭圆方程为x24y231.2x02,3y0 3.又F(1,0),A(2,0),PF(1x0,y0),PA(2x0,y0),PFPAx20 x02y2014x20 x0114(x02)2.当x0
7、2 时,PFPA取得最小值 0,当x02 时,PFPA取得最大值 4.点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本,利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题,利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程 变式训练 1 如图,F1、F2分别是椭圆C:x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF260.(1)求椭圆C的离心率;5(2)若AF1B的面积为 40 3,求椭圆C的方程 解(1)由题意可知,AF1F2为等边三角形,a2c,所以e12.(2)方法一 a24c2,b23c2,直线AB的方程可为y 3(xc),将其代入椭
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