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1、;.积的最大与最小 基础知识篇 导入:周长为 20 厘米的长方形与正方形(边长为整数)谁的面积大?1、提出问题后学生有两种答案(正方形或长方形),举手表决,看赞成哪种答案的学生较多。2、教师提问:周长为 20 厘米的正方形面积是多少?(55=25)3、教师提问:周长为 20 厘米的长方形面积是多少,能不能确定长方形的面积具体是多少?(不能)4、我们能确定周长是 20 的长方形的长+宽的和是多少?(长+宽=10)5、学生列举长+宽=10 的情况有哪几种。长 宽 9 1=9 8 2=16 7 3=21 6 4=24 5 5=25 得出结论:周长相等的长方形、正方形,正方形的面积大。学生自主探索当长
2、+宽=9 时的结果。长 宽 8 1=8 7 2=14;.6 3=18 5 4=20 得出结论:1、当两数的和一定时,两数的差越小,乘积就越大,当两数相等时积最大。2、当两数的和一定时,两数的差越大,积就越小。例 1 和是 10 的两个自然数,这两个数的乘积最大是多少?和是 9 的两个自然数,这两个数的乘积最大是多少,最小是多少?分析与解:要使积最大,则两个数之间的差要最小,5+5=10 时,两数相等,两数的乘积最大;5+4=9 时,两数相差最小,两数的乘积最大。要使两数的乘积最小,则两个数之间的差要最大,1+8=9 时,两数之间的差最大,两数之间的乘积最小。练习:1、用 30 厘米的铁丝围成一
3、个长方形(长和宽都是整数),要使面积最大,长和宽各是多少?面积最大是多少?例 2 用长 36 米的竹篱笆围成长方形一个菜园,围成菜园的最大面积是多少?分析与解:已知这个菜园的周长是 36 米,即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为长+宽=362=18(米)由结论知,围成长方形的最大的面积是 99=81 米2)练习:龙大爷想在笔直的墙下用 20 米的塑料网围成一个长方形鸡舍,鸡舍的面积最大是多少?;.例 3 比较下面两个乘积的大小:a=57128463,b=57128460。分析与解:对于 a,b 两个积,它们都是 8 位数乘以 8 位数,尽管两组对应因数很相似,但并不完全相同。直接计
4、算出这两个 8 位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现,因为比多 3,比少3,所以它们的两因数之和相等,即57128463+87596512=57128460+87596515。因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差,根据结论1可得ab。练习:比较下面两个乘积的大小:a=3712847567546514,b=3712847167546518。能力提高篇 例 4 三个不同质数的和是 100,这三个数的乘积最大是多少?分析与解:100 是个偶数,若三个质数都是奇数,则三个奇数相加的和不可能是偶数,所以其中必然有一个数是 2,另两个数的和就是 98,;.要使乘积最大,这两个数之间的差要
5、最小,这两个数分别是 37、61,所以乘积最大是 23761=4736。练习:三个不同质数的和是 50,要使者三个数的乘积最小,这三个分别是多少?例 5 要砌一个面积为 72 米2的长方形猪圈,长方形的边长以米为单位都是自然数,这个猪圈的围墙最少长多少米?分析与解:将 72 分解成两个自然数的乘积,72=172,1+72=73;72=236,2+36=38;72=324,3+24=27;72=418,4+18=22;72=612,6+12=18;72=89,8+9=17;这两个自然数的差最小的是 9-8=1。猪圈围墙长 9 米、宽 8 米时,围墙总长最少,为(8+9)2=34(米)。得出结论:
6、3、两个自然数的乘积一定时,两个自然数的差越小,这两个自然数的和也越小,两个自然数的差越大,这两个数的和也越大。;.练习:.现计划用围墙围起一块面积为 5544 平方米的长方形地面,为将剩下的材料尽量用完,要求围墙最长,那么这块长方形地的围墙有多少米长?例 6 已知三个非零自然数的和是 15,这三个数的乘积最大是多少?分析与解:分别设三个数为 a、b、c,积=abC,要使积最大,这三个数之间的差要最小,当 a=b=c 时,他们之间的差最小(相差“0”),所以 a=b=c=5 时乘积最大。练习:四个非零自然数的和是 24,这四个数的乘积最大是多少?小结:几个数的和一定,当几个数相等时,积最大。例
7、 7 若将 12 拆分成几个自然数的和,这几个数的乘积最大是多少?分析与解:将 12 拆分成几个相等的数,可以拆分成六个 2,四个 3,三个 4,而四个 3 相乘的积最大,所以积最大为 3333=81。练习:将 21 拆分成几个自然数的和,这几个数的乘积最大是多少?例 8 把 17 分成几个自然数的和,怎样分才能使它们的乘积最大?分析与解:假设分成的自然数中有 1,a 是分成的另一个自然数,因为 1a1+a,也就是说,将 1+a 作为分成的一个自然数要比分成 1和 a 两个自然数好,所以分成的自然数中不应该有 1。如果分成的自然数中有大于 4 的数,那么将这个数分成两个最接近的整数,这两个数的
8、乘积大于原来的自然数。例如,5=2+323,8=3+535。也就是说,只要有大于 4 的数,这个数就可以再分,所以分成的自然数中不应该有大于 4 的数。如果分成的自然数中有 4,因为 4=2+2=22,所以可以将 4 分成两个 2。由上面的分析得到,分成的自然数中只有 2 和 3 两种。因为2+2+2=6,222=8,3+3=6,33=9,说明虽然三个 2 与两个 3 的;.和都是 6,但两个 3 的乘积大于三个 2 的乘积,所以分成的自然数中最多有两个 2,其余都是 3。由此得到,将 17 分为五个 3 与一个 2 时乘积最大,为 333332=486。结论 4:把一个数拆分成若干个自然数之
9、和,如果要使这若干个自然数的乘积最大,那么这些自然数应全是 2 或 3,且 2 最多不超过两个。练习:把 49 分拆成几个自然数的和,这几个自然数的连乘积最大是多少?课后练习 1、把 15 分成几个自然数的和,再求出这些自然数的乘积,要使的乘积尽可能大,这个乘积是几?2、把 19 分拆成几个自然数的和,使这些自然数的乘积最大。3、把 14 分成几个自然数的和,怎样分能使这些数的乘积最大。4、.将 11 拆分成若干个互不相等的自然数的和,且使这些自然数的乘积最大,该乘积是多少?5、要砌一个面积为 72 平方米的长方形猪圈,长方形的边长是以米为单位的自然数,这个猪圈的围墙最少长多少米?6、.用铁丝扎一个长方体模型,为了使长方体的体积敲好是 216 立方厘米,长方体的长、宽、高各是多少厘米时,所用的铁丝长度最短?这根铁丝最短是多少厘米?7、18 这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少?;.
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