8.2 正交基.ppt
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1、 8.2 正交基 定义1:欧氏空间 的一组两两正交的非零向量叫做 的一个正交组。若一个正交组的每一个向量都是单位向量,这个正交组叫做一个规范正交组。欲证规范正交组,即证:(1)(2)(3)例1、证明:向量构成 的一个规范正交组。定理8.2.1:设 是欧氏空间的一个正交组,则 线性无关。定义:设 是一个 维欧氏空间。中含 个向量的正交组 称为 的一个正交基。若该正交基还是一个规范正交组,则称其为一个规范正交基(标准正交基)。欲证规范正交基,需证:(1)(2)例2、证明:欧氏空间 的基 ,是 的规范正交基。思考:规范正交组和规范正交基的异同。证明 是规范正交基的另一种方法:。定理8.2.2:设 是
2、欧氏空间 的一组线性无关的向量,那么可以求出 的一个正交组 ,使得 可以由 线性表示 定理8.2.3:任意 维欧氏空间一定有正交基,因而有规范正交基。求欧氏空间的一个基的规范正交基的步骤:(1)施密特正交化方法:(此步骤求得一个正交基)(2)将上述正交基单位化:则 即为所求。例3、已知 是欧氏空间 的一个基。对这个基施行正交化方法,求 的一个规范正交基。定义:设 是欧氏空间 的一个非空子集。如果 的一个向量 与 的每一个向量都正交,则称 与 正交,记作:。结论:令 ,则 是 的一个子空间(叫做 的正交补)定理8.2.4:令 是欧氏空间 的一个有限维子空间。那么 ,因而 的每一个向量 可以唯一地
3、写成 。这里 ,。定义:一个 阶实矩阵 叫做一个正交矩阵,如果 。定理8.2.6:维欧氏空间的一个规范 正交基到另一个规范正交基的过渡矩 阵是一个正交矩阵。定义3:欧氏空间 和 同构,如果 (1)存在实数域上两个向量空间到 的一个同构映射 ;(2),都有 。定理8.2.7:两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相等。推论:任意 维欧氏空间都与 同构。补充练习:1、设 ,问:对以下规定的内积是否作成欧氏空间?2、在欧氏空间 中,求下列向量 与 的夹角 :3、设 是 维欧氏空间 的一个基,且 ,。证明:是标准正交基的充分且必要条件是 。4、设 是 的标准正交基,其中 ,。求 的一个标准正交基。5、设 是三维欧氏空间中的一组规范正交基。证明:,也是一组规范正交基。6、求齐次线性方程组的解空间(作为 的子空间)的一组规范正交基。
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