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1、A B C P A C P B A B C D P O O1 6求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置;长方体正方体的对角线是其外接球的直径;将多面体“补”成长方体正方体是研究多面体外接球的常用的方法。举例 1 三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,ABBC,假设 PA=AC=2,则该三棱锥的外接球的体积是 。解析:思路一:“找球心”到三棱锥 四个顶点距离相等等的点。注意到 PC 是 RtPAC 和 RtPBC 的 公共的斜边,记它的中点为 O,则 OA=OB=OP=OC=21PC=1,即该三棱锥 的外接球球心为 O,半径为 1,故它的体积为:34 方法二:“补体”,将三棱锥补成长方体,
2、如下图;它的对角线 PC 是其外接球的直径。举例 2正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点在同一球面上,假设该正四棱锥的底面边长为 4,侧棱长为62,则 这个球的外表积为 。解析:正四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上,记为 O,PO=AO=R,PO1=4,OO1=R-4,或 OO1=4-R此时 O 在 PO1的延长线上,在 RtAO1O 中,R2=8+(R-4)2得 R=3,球的外表积 S=36 稳固 1 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为 62cm、42cm和 32cm,那么它的外接球的体积是 。稳固 2 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的
3、三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是:07 高考陕西理 6 A433 (B)33 (C)43 (D)123 迁移点 P 在直径为 2 的球面上,过 P 两两垂直的 3 条弦,假设其中一条弦长是另一条的 2倍,则这 3 条弦长之和的最大值是 。8球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心。球的内接长方体的体对角线是球的直径,球的外切正方体的边长是球的直径,与边长为 a 的正方体各条棱都相切的球的直径为2a;边长为 a 的正四面体的内切球的半径为a126正四面体高的41,外接球的半径为 a46。举例已知棱长为 a 的正四面体 ABCD 有内切球 O,经过该棱锥 A-BCD 三侧棱中点
4、的截面为,则 O 到平面的距离为 。解析:记棱锥 A-BCD 的高为 AO1,O 在 AO1上且 OO1=41AO1;AO1与面交于 M,则 MO1=21AO1,故 MO=OO1=41AO1=a126 1稳固 1P 在面 ABC 上的射影为 O,则 OA=OB=OC=OP=R,CabSABCsin21=Rabc4 1231abcRSVABCABCP=10,故选 B;稳固 2;2、稳固450;3、稳固 11:2;稳固 2B;4、稳固2;5、稳固3:16;6、稳固 1 62929,稳固 2C,迁移 设三条弦长分别为 x,2x,y,则:x2+(2x)2+y2=4,用椭圆的参数方程求 3x+y 的最大
5、值为5702;7、稳固 B;8、稳固 C 四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中,几何体外接球是一个常考的知识点,对于学生来说这是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形的情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为cba,,则体对角线长为222cbal,几何体的外接球直径R2为体对角线长l 即2222cbaR 【例题】:在四面体ABCD中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为3,61,假设该四面体的四个顶点在一个球面上,
6、求这个球的外表积。解:因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以:四面体外接球的直径为AE的长 即:22224ADACABR 1663142222R 所以2R 球的外表积为1642RS 二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】:已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,BCAB 且7PA,5PB,51PC,10AC,求球O的体积。解:BCAB 且7PA,5PB,51PC,10AC,因为22210517 所以知222PCPAAC 所以 PCPA 所以可得图形为:在ABCRt中斜边为AC 在PACRt中斜边为AC 取
7、斜边的中点O,在ABCRt中OCOBOA 在PACRt中OCOBOP 所以在几何体中OAOCOBOP,即O为该四面体的外接球的球心 521ACR ACDBEOABCP所以该外接球的体积为3500343RV 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解 【例题】:已知在三棱锥BCDA中,ABCAD面,120BAC,2ACADAB,求该棱锥的外接球半径。解:由已知建立空间直角坐标系 )000(,A )002(,B )200(,D 由平面知识得 )031(,C 设球心坐标为),(zyxO 则DOCOBOAO,由空间两点间距离公式知
8、222222)2(zyxzyx 222222)2(zyxzyx 222222)3()1(zyxzyx 解得 1331zyx 所以半径为3211331222)(R 【结论】:空间两点间距离公式:221221221)()()(zzyyxxPQ 四、四面体是正四面体 外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点,ABCDzxy 根据勾股定理知,假设正四面体的边长为a时,它的外接球半径为a46。5(2012唐山模拟)一个几何体的三视图如下图,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的外表积为()A.83 B.163 C4 3 D2 3 解析 根据三视图复原几何体为一个如下图的三棱锥 DABC,其中
9、平面 ADC平面 ABC,ADC 为等边三角形 取 AC 的中点为 E,连 接 DE、BE,则有 DEAC,所以 DE平面 ABC,所以 DEEB.由图中数据知 AEECEB1,DE 3,ADAE2DE22DCDB,ABBC 2,ACO,则它落在高线 DE 上,连接 OA,则有 AO2AE2OE21OE2,AOBODEOE 3OE,所以 AO23,故球 O 的半径为23,故所求几何体的外接球的外表积 S4(23)2163,故选 B.答案 B 2012广州模拟一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为 3,则这个球的体积为_ 答案:43 解析:正六棱柱的侧棱长 h986316 3,球心在六棱柱的最长体对角线上,球的直径、正棱柱的侧棱、底面正六边形的最长对角线构成直角三角形,2R 32122,R1,V球431343.3.2012南昌模拟如图为一个几何体的三视图,则该几何体的外接球的外表积为()A.4 B.8 C.12 D.16 答案:C 解析:由几何体的三视图知该几何体为一个底面是正方形,有一条侧棱与底面垂直的四棱锥,由已知数据可求得该几何体外接球的半径 R 3,所以 S4R212,故选 C.
限制150内