第50讲 双曲线(达标检测)(教师版).docx
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1、双曲线达标检测A组一应知应会21.(2020红岗区校级模拟)双曲线J_0i(bO)的渐近线方程是产2j,x,则双曲线的焦距为(A. 3B. 6C. 277D. 亚【分析】利用双曲线的渐近线方程,求出。,然后求解c,即可求解双曲线的焦距.2【解答】解:双曲线/-,1缶0)的渐近线方程是产2近,可得。=2后,所以。=匕2+/=3,所以双曲线的焦距为6.故选:B.222.(2020安徽模拟)已知双曲线七一二f1(软0, b0)的离心率为2.则其渐近线的方程为()A. xV3Y=0 B. y=0 c. y=0 D. xy=0【分析】通过双曲线的离心率求出。与。的关系,然后求解双曲线的渐近线方程.22【
2、解答】解:双曲线七-三1(软0, b0)的离心率为2.,2可得:=2,即1+2一=4, aa2可得上=加,a则双曲线。的渐近线方程为:各,=0.故选:A.3.(2020天津二模)抛物线=以的焦点到双曲线用一丫2=的一条渐近线的距离是乂2,则双曲线的实 o2轴长是()A. V3B. 273C. 1D. 2h2=c2 - a2,代入上式化简可得c2 = 3ac - 2a2, e=9 a可得 e2-3e+2=0, el,解得e2.故答案为:2.2218. (2020春成都期末)已知双曲线C:三-01(40, b0)的左右焦点分别为尸1,尸2,点尸在第一象限的双曲线C上,且PF2_l_x轴,PFi放内
3、一点M满足元+2耐+3而=1,且点M在直线y=2x上,则双曲线C的离心率为.【分析】由 PF1F2 内一点 M 满足 MF;+2MF ;+3而=7,可得 S&IF:F2: S AMPFj: S&iTF = 3: 2: 1, 乙122即可求得“(, 红),即可得二为,=3 12-/)=4c,3 2a2a 3从而求得双曲线。的离心率.【解答】解:点p在第一象限的双曲线。上,且P五轴,2 yn2,2:.P (c,如),44- = 1,解得:yo=.a2 b24丁 APFi/2内一点M满足而4-2MF?+3昨=3, 乙1如图,取MB=3MP,MA=2MFj,则有血+血+吩;=柞 故M为ABb2的重心,
4、/. smab=s AMAF2=AMBF2=ySAABF2,又 以MF:F二而$岫S吵*S呼,1=1Samab,ASAMF.F,: SAMPF7: SAMPF =3: 2: 1, A 44X2A5AMFiF2=fsAPF:F;即,另告即 XM = ,35AMPF.=Ar a , 2 3 bAPF.F2,2综上,M (,),3 2a2_点M在直线y=2x上,4二生,=3 (J-/) =4的2 a 3=3J-46-3 = 0, =生医,(负值舍去)3则双曲线C的离心率为生匡,3故答案为:ZjY亘.19. (2019秋城关区校级期末)已知双曲线的中心在原点,焦点为,F2在坐标轴上,离心率为血,且过
5、点p(4, -Vio).(1)求双曲线的方程;(2)若点加(3,相)在双曲线上,试求MF; -MF;的值,【分析】(1)通过离心率设出双曲线方程,利用双曲线经过的点,转化求解双曲线方程即可.(2)求出焦点坐标,利用向量的数量积公式,结合已知条件求解即可.【解答】解:(1)7=亚,可设双曲线的方程为/-=入(入wo).;双曲线过点P(4, -J13), .16-10=入,即入=6.双曲线的方程为?-y2=6.(2 )由(1)可知,=。=证,得 c = 2 近,Fi (-2 灰,0 ),尸2 (2 近,0 ),呵=(-2百-3, -m), 呵=(2后3,-力从而可耐=(-2后3, -m)(273-
6、3, -m)=-3+m2由于点M(3,加)在双曲线上,.9-?2=6,即能2 .3=0,故MF; .MF; = O.222220. (2019秋河西区期末)已知双曲线C J-=l (。0, Z?0)与双曲线匚-三=1有相同的渐 a2 b242近线,且经过点M (加,-V2).(I )求双曲线C的方程;(II)求双曲线。的实轴长,离心率,焦点到渐近线的距离.【分析】(I )由题意设双曲线的方程,代入M的坐标,即可求解双曲线方程.(II)利用双曲线方程,然后求解双曲线。的实轴长,离心率,焦点到渐近线的距离.22【解答】解:(I ),双曲线。与双曲线工-二=1有相同的渐近线,42设双曲线的方程为式一
7、工:二人(入W0),24代入M (血,-V2).得入=,2故双曲线的方程为:乂2_上二1.*2(II )由方程得1=1, =。=让,故离心率 =加.其渐近线方程为=土心;实轴长为2,焦点坐标/(近,0),解得到渐近线的距离为:、中立=.V1+221. (2020春山东月考)已知双曲线C的离心率为灰,且过(近,0)点,过双曲线C的右焦点厂2,做TT倾斜角为卫-的直线交双曲线于4 3两点,。为坐标原点,为为左焦点.3(1)求双曲线的标准方程;(2)求A08的面积.【分析】(1)有题意离心率和过的点的坐标,可得双曲线的焦点在x轴上,可得的值和c的值,再由b, C的关系求出m8的值,进而求出双曲线的方
8、程;(2)由(1)可得左右焦点的坐标,有题意可得直线AB的方程,与双曲线联立求出两根之积,两根之和进而求出面积.【解答】解:(1)有题意可得,双曲线的焦点在X轴上,且,=&,=&,b2=c2-a解得:“2=3, a序=6,2 2所以双曲线的方程:1-二=1;3 6(2)由(1)可得尸2 (3, 0), F1 ( - 3, 0),由题意设 丁=的(x-3),设交点 A (xi, yi), B (x2, ”),f Y=V3(x-3)联立直线与双曲线的方程:,整理可得:x2 - 18x+33 = 0, X1+X2=18, xu2 = 33,2x-y2=6可得 yi - 2=31 (xi - - 3)
9、 - (%2 - 3) = Vs (xi - x2),所以 Saob=之 |0F2 I -lyi - |=a3 VsJ(X1+X9) 2-4x1x2=* 7182-4X33=36 J乙乙乙2222. (2019秋广陵区校级月考)双曲线C =-=1的左右两个焦点分别为乃、F2, P为双曲线上一 45动点,且在第一象限内,已知PgF2的重心为G,内心为/.(1)若NBPF2=60 ,求PF1F2 的面积;(2)若IGFiF2,求点P的坐标.【分析】(1)由曲线方程求得a与c的值,在焦点三角形。四尸2中,由双曲线定义及余弦定理求得|尸Fi|PF2|,再由三角形面积公式求解;(2)P(xo, jo)
10、(xoO, yoO),则G (生,),利用三角形面积相等及G与/的纵坐标求得|P尸2|, 33再由两点间的距离公式及P在双曲线上列方程组求解.22【解答】解:(1)如图,由双曲线方程1-工=1,得/=%庐=5, 02=%45 4=2, c=3设|。乃| =加,PF2 = n,则 m - 71=4,在三角形P为歹2中,由余弦定理可得:4c2=m2+n2 - 2mn9cos60 ,即 36= (m - /1) 2+mn=16+mn,得 wi=20./.PF1F25,=-mnpsin60 =&/3;x(2)设 P (xo, yo) (xoO, yoO),则 G (设PF1F2的内切圆的半径为一,则s
11、apf.f2:于是/2cVlFiF2ly0 卷(、m+n+2c) pr,q(m+n+2c),r,得厂=乙2cy。mtn+2c2cyn Yn由/G尸1月2,知即m+=4c=12.mtn+2c 3又 m - =2。=4,解得 72=4.因此,(x0-3)2+y02=162 y 2,解得 Xq=4, y0=4士士1点。的坐标为(4, V15).x2223. (2020大同模拟)已知双曲线C:b0)的右焦点八 半焦距c=2,点/到直线213的距离为,,过点尸作双曲线C的两条互相垂直的弦A& CD,设A& CO的中点分别为M, N.c2(1)求双曲线。的标准方程;(2)证明:直线MN必过定点,并求出此定
12、点的坐标.21【分析】(I)由题意可得c的值,再由点尸到直线工4的距离为,,可得,的值,再由小b, c之间 c2的关系求出双曲线的方程;(2)设弦所在的直线方程,与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得A5的中点M的坐标,再由椭圆可得弦CO的中点N的坐标,分别讨论当的斜率存在和不存在两种情况可得直线恒过定点.21【解答】解:(I)由题意可得C=2,- a1,解得:/=3,/=1,c 22所以双曲线的方程为:3(2)证明:设/(2, 0)设过b的弦AB所在的直线方程为:尤=6+2, A (xi, yi), B (必”),则有中点M (.+2, ) 220),可得 A (C +a , bka -C
13、),a2 b22c 2ac设|AQ| = m, AF2n,由三角形的面积的等积法可得2上(m+2c)2 42 2aca 2化简可得 m+n=- - 4a - 2c(T) a由双曲线的定义可得m - n=2a1 / 2_ 2在三角形AA放中侬in9= 6 一&乙(0为直线人质的倾斜角), 2ac由 tan8=, sin204-cos20=l,可得 sin6 = a2 2可得=c -a ,2a由化简可得3c2 - 2c - 5a2 = 0,即为(3c - 5a) (c+a) =0,c 5可得3c=5,则故答案为:1.3223.(2019秋雁峰区校级月考)已知P为双曲线C J-9=1(40, bQ)
14、右支上的任意一点,经过a2 L点尸的直线与双曲线。的两条渐近线分别相交于A, B两点.若点A, 5分别位于第一、四象限,O为坐标原点,当AP=pb时,AAOB的面积为24则双曲线。的实轴长为.2【分析】设A (xi, yi), B (犬2, ”),P (x, y),由已知向量等式把P的坐标用A, B的坐标表示,代入双曲线方程,结合4 8分别在双曲线的渐近线上可得软由双曲线的对称性结合角的关系求 9得sinNAOB,再由三角形面积公式列式求解外则答案可求.【解答】解:设A (X1, yi), B (x2, 2), P (x, y),由 AppB,得(xX,y-y p -(x2-x* 了之一了),
15、ij| 21_21w x=txi4tx2, y万了1%了2(|X14jx2)2 (|-yi+fy2)2?由题意知A在直线=旦乂上,3在=一且工上,则y2=TX2-b2=L 即 b2 (jX1+yx2)2-a22 = a2b22a化简得:a21-x 2)J由渐近线的对称性可得sin N A 03=sin2 NA Ox2b2sin/A0xcos/A0x _ 2tan/A0x = a =_ 2absin2ZAOx+cosAOx tan/AOx+l () 2 +1 b2 + a2A05 的面积为日|oa| |OB | sinZA0B4Jxi2+yi2pJx92+y92psinZA0B=1_ I2 zb
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