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1、问题解决之提出、分析与解决问题解决之提出、分析与解决你是怎样理解问题解决的?你是怎样理解问题解决的?关于问题解决教学,你有什么想法?关于问题解决教学,你有什么想法?你在实现问题解决教学目标有哪些成功的经验?你在实现问题解决教学目标有哪些成功的经验?你希望我们交流什么样的话题?你希望我们交流什么样的话题?前言前言仙居教研室仙居教研室 吴增生吴增生 仙居官路中学胡建成仙居官路中学胡建成在一次七年级下的数学测试中有下面一题在一次七年级下的数学测试中有下面一题:仙居漂流是仙居的一种特色旅游仙居漂流是仙居的一种特色旅游,筏手小林在载满游客筏手小林在载满游客顺流而下时顺流而下时,为了使游客有更多的时间欣赏
2、两岸的景色为了使游客有更多的时间欣赏两岸的景色,用用力向与水流相反的方向划力向与水流相反的方向划,用了用了3 3小时划到了下游码头小时划到了下游码头;另一另一次没有游客次没有游客,小林顺流而下用同样的力气与水流同向划小林顺流而下用同样的力气与水流同向划,结结果用果用1.51.5小时就划到了下游码头小时就划到了下游码头;如果上下游两个码头之间如果上下游两个码头之间的距离为的距离为9 9千米千米,而且小林用同样的力气在静水中划时而且小林用同样的力气在静水中划时,载满载满乘客时的速度是没有乘客时的速度的乘客时的速度是没有乘客时的速度的6060多多,请问水流的速度请问水流的速度是多少是多少?这个问题是
3、由我们比较熟悉的行程问题改编而来这个问题是由我们比较熟悉的行程问题改编而来,在实际教学中在实际教学中,对于静水、逆水、顺水中的行程问题学生对于静水、逆水、顺水中的行程问题学生做了大量的练习做了大量的练习,但是本题的但是本题的全县平均得分率全县平均得分率只有只有15.2%15.2%,说明在解决这类方程组问题的学习过程中说明在解决这类方程组问题的学习过程中,学生没有完整学生没有完整地经历问题的阅读、表征、数量关系分析、建立数学模地经历问题的阅读、表征、数量关系分析、建立数学模型的过程型的过程,只是形式化地倾听教师的分析只是形式化地倾听教师的分析,对静水中的速对静水中的速度、水流速度、逆水速度和顺水
4、速度之间的关系进行记度、水流速度、逆水速度和顺水速度之间的关系进行记忆忆,而本题表面上与典型样例相似而本题表面上与典型样例相似,而实际上数量关系有而实际上数量关系有变化变化,学生用同样的数量关系去套用导致错误学生用同样的数量关系去套用导致错误,这种错误这种错误的类型在所有没有得分的学生中占的类型在所有没有得分的学生中占61.4%61.4%多多.解决问题解决问题 问题解决问题解决1.1问题解决不是新问题问题解决不是新问题一、背景与发展一、背景与发展标准标准(2011年版)年版)美国美国“问题解决问题解决”的起始的起始u1980.4,美国数学教师理事会公布了指导,美国数学教师理事会公布了指导80年
5、代学校数年代学校数学教育的纲领性文件学教育的纲领性文件行动的议事日程行动的议事日程指出:指出:8080年代的数学大纲,应当在各年级都介绍数学的应用,把学生引进年代的数学大纲,应当在各年级都介绍数学的应用,把学生引进问题解决中去。问题解决中去。数学课程应当围绕问题解决来组织。数学课程应当围绕问题解决来组织。数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境。数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境。问题解决作为学校数学教育的核心。问题解决作为学校数学教育的核心。u1980.8,“问题解决问题解决”被列入第四届国际数学教育大会被列入第四届国际数学教育大会(ICME-4)的议程)的议程
6、.u1984年年,第五届国际数学教育大会(第五届国际数学教育大会(ICME-5),),“问题问题解决解决”成为大会最主要的议题之一成为大会最主要的议题之一.美国美国“问题解决问题解决”的起始的起始u1988年,美国数学指导委员会(年,美国数学指导委员会(NCSM)认为)认为:“学习数学的主要目的在于问题解决学习数学的主要目的在于问题解决”。u1989年,美国全国数学教师理事会制定了年,美国全国数学教师理事会制定了学校学校数学课程和评估的标准数学课程和评估的标准明确明确:把把“具有数学地解决问题的能力具有数学地解决问题的能力”置于使所有学置于使所有学生有较高的数学素养的目标中的中心地位。生有较高
7、的数学素养的目标中的中心地位。美国美国“问题解决问题解决”的起始的起始问题是数学的心脏问题是数学的心脏1.2数学教育中要解决什么样的问题解决?数学教育中要解决什么样的问题解决?o问题:问题:可接受性、障碍性、探究性、生活性可接受性、障碍性、探究性、生活性 常规性,经典的问题常规性,经典的问题o解决结果:解决结果:开放性开放性荷兰的弗赖登塔尔认为:荷兰的弗赖登塔尔认为:如果数学是无用的,它就不会存在。如果数学是无用的,它就不会存在。不能忘记数学在社会中扮演的角色,从过去、现不能忘记数学在社会中扮演的角色,从过去、现在一直到将来,教数学的教室不可能浮在半空中,而在一直到将来,教数学的教室不可能浮在
8、半空中,而学数学的学生也必然是属于社会的。学数学的学生也必然是属于社会的。引自引自弗兰登塔尔的弗兰登塔尔的数学教育反思数学教育反思o先理论后实践,先顿悟后操练看似有效,但对前者的精通先理论后实践,先顿悟后操练看似有效,但对前者的精通并不意味着对后者也能精通。并不意味着对后者也能精通。o把文字题的范例在结构上加以修饰,概括出题型,看起来把文字题的范例在结构上加以修饰,概括出题型,看起来好像很有用,但不会成功,因为这些假的题型丝毫无助于好像很有用,但不会成功,因为这些假的题型丝毫无助于解决由文字叙述的那些实际问题。解决由文字叙述的那些实际问题。o让学生再创造越早越好,一旦学生已经被灌输了现成的模让
9、学生再创造越早越好,一旦学生已经被灌输了现成的模式和题型就太晚了。式和题型就太晚了。o应用是不能从教应用中学会的,数学在自然界和社会中的应用是不能从教应用中学会的,数学在自然界和社会中的一些应用不能只由教科书的作者或教师示范说明,而应该一些应用不能只由教科书的作者或教师示范说明,而应该留给学生去再发现。留给学生去再发现。一个好的数学问题应具有以下特征一个好的数学问题应具有以下特征:(l)(l)问题必须能引出与所学领域相关的概念原理。在设计问题问题必须能引出与所学领域相关的概念原理。在设计问题时时,首先要确定学生需要获得的基本概念和原理首先要确定学生需要获得的基本概念和原理,由此出发设计出由此出
10、发设计出要解决的问题。要解决的问题。(2)(2)问题应该是具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的问题应该是具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系联系,颇具趣味性的问题。符合颇具趣味性的问题。符合课程标准课程标准:“学生的数学学习学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测学生主动地进行观察、实验、猜测.验证、推理与交流等数学活验证、推理与交流等数学活动。动。”(3)(3)问题应该是结构不良的和开放的。问题应该是结构不良的和开放的。(4)(4)问题应该是能够激发学生的学习动机
11、问题应该是能够激发学生的学习动机,具有较强探索性的。具有较强探索性的。学生通过对这类问题的解决学生通过对这类问题的解决,亲身感受前人已有的数学知识的再发亲身感受前人已有的数学知识的再发现过程现过程,从而为将来进行科学研究打下坚实的基础。从而为将来进行科学研究打下坚实的基础。苏小平苏小平 赵冬生赵冬生 薛钟俊薛钟俊新课程标准理念下的数学问题解决教学新课程标准理念下的数学问题解决教学(1)已知)已知=,问,问x是多少?是多少?(2)(盎斯为容积单位(盎斯为容积单位,1,1盎斯盎斯29.57cm29.57cm3 3;“”表示表示“美分美分”,1,1=0.01=0.01美元)美元)(3)如果一杯)如果
12、一杯7盎斯的汽水卖盎斯的汽水卖25,问一杯,问一杯12盎斯的汽水卖多少钱?盎斯的汽水卖多少钱?(4)三个学生正在筹办一次野餐,他们了解到一杯)三个学生正在筹办一次野餐,他们了解到一杯7盎斯的汽水通常盎斯的汽水通常卖卖25,现在他们想知道一杯,现在他们想知道一杯12盎斯的汽水应该收多少钱?盎斯的汽水应该收多少钱?(5)社区举办慈善性野餐,有位办事人员定出一杯)社区举办慈善性野餐,有位办事人员定出一杯7盎斯的汽水的价盎斯的汽水的价格是格是25,并问你一杯,并问你一杯12盎斯的汽水应卖多少钱?盎斯的汽水应卖多少钱?基尔巴屈克基尔巴屈克(美美)曾列举下列题目曾列举下列题目-显示显示“问题问题”的不同意
13、义的不同意义72512x(6)如果一杯)如果一杯7盎斯的汽水卖盎斯的汽水卖25,则照比例,则照比例计算时,一杯计算时,一杯12盎斯的汽水的价格不刚好为盎斯的汽水的价格不刚好为整数。一个解决的方式是把一杯整数。一个解决的方式是把一杯7盎斯的汽盎斯的汽水价格提高一些,使得照比例算出来的一杯水价格提高一些,使得照比例算出来的一杯12盎斯的汽水的价格为整数。请你提出解决盎斯的汽水的价格为整数。请你提出解决的方案,在各种可能的解决方案中,提高的的方案,在各种可能的解决方案中,提高的最少数目是多少?最少数目是多少?泽田利夫泽田利夫(日日)提出例子提出例子-结果的开放性结果的开放性A,B,C三个做三个做掷掷
14、石子游石子游戏戏,结结果如果如图图1-2,这这个游个游戏戏是以石子散落的距离小者是以石子散落的距离小者为胜为胜。请请想一想如何想一想如何用用“数数”来表示来表示这这个个“散度散度”?1.1.多边形的面积;多边形的面积;2.2.多边形的周长;多边形的周长;3.3.连结两点的最长线段;连结两点的最长线段;4.4.连结各点的线段之和;连结各点的线段之和;5.5.从某一点引向各点的线段之和;从某一点引向各点的线段之和;6.6.覆盖各点的圆的最小半径;覆盖各点的圆的最小半径;7.7.由于坐标的引入而产生的平均差;由于坐标的引入而产生的平均差;8.8.标准差。标准差。下面是学生考虑到的几种比较下面是学生考
15、虑到的几种比较“散度散度”的方法:的方法:(1 1)能通过问题解决探究和把握数学内容)能通过问题解决探究和把握数学内容(2 2)能从数学内部和外部的情景出发提出问题)能从数学内部和外部的情景出发提出问题(3 3)能发展和运用多种解决问题的策略,尤其是解)能发展和运用多种解决问题的策略,尤其是解决多学科相互交织和非常规的问题的策略决多学科相互交织和非常规的问题的策略(4 4)能结合原始问题对得出的结论做出验证和说明)能结合原始问题对得出的结论做出验证和说明(5 5)能把得出的结果和方法向新的问题推广及应用)能把得出的结果和方法向新的问题推广及应用(6 6)能在丰富多彩的解决问题过程中树立对数学的
16、)能在丰富多彩的解决问题过程中树立对数学的信心信心美国数学课程标准中问题解决指:美国数学课程标准中问题解决指:1.3彼彼“问题解决问题解决”此此“问题解决问题解决”标准标准(2011年版年版)总体目标:总体目标:通过义务教育阶段的数学学习,学生能:通过义务教育阶段的数学学习,学生能:1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。基本技能、基本思想、基本活动经验。2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思考
17、,增强间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。出问题的能力、分析和解决问题的能力。3.了解数学的价值,提高学习数学的兴趣,增强学好数学的了解数学的价值,提高学习数学的兴趣,增强学好数学的信心,养成良好的学习习惯,具有初步的创新意识和实事信心,养成良好的学习习惯,具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。求是的科学态度。标准标准(2011年版年版)具体目标具体目标-问题解决问题解决核心词:模型思想、应用意识、创新意识核心词:模型思想、应用意识、创新意识初步学会从初步学会从数学的角度数学的角度发现问题发现问题和和提出问题提出问题,综合,综合 运用
18、数学知识解决简单的实际问题,增强运用数学知识解决简单的实际问题,增强应用意应用意 识识,提高,提高实践能力实践能力。获得获得分析问题分析问题和和解决问题解决问题的一些基本方法,体验解的一些基本方法,体验解 决问题方法的决问题方法的多样性多样性,发展,发展创新意识创新意识。学会与他人合作、交流。学会与他人合作、交流。初步形成评价与反思的意识。初步形成评价与反思的意识。二、对问题解决的理解二、对问题解决的理解 问题解决包括从数学角度发现、提出、分析和解问题解决包括从数学角度发现、提出、分析和解决问题四个方面。应用意识、解决问题的策略、方法决问题四个方面。应用意识、解决问题的策略、方法和途径可以是多
19、种多样的。和途径可以是多种多样的。2.1“问题解决问题解决”与与“解决问题解决问题”是一种教学方式是一种教学方式是一种课程内容展开形式是一种课程内容展开形式是学生应该掌握的学习形式是学生应该掌握的学习形式是学生应该具备的能力是学生应该具备的能力是课程目标是课程目标它们不完全相同它们不完全相同案例案例1:探索并探索并证明平行四边形的性质定理证明平行四边形的性质定理-探索探索发现结论发现结论证明结论正确证明结论正确案例案例2:探索并探索并证明证明:过圆外一点所画的圆的两:过圆外一点所画的圆的两 条切线长相等。条切线长相等。教学参考:教学参考:探索探索发现发现结论结论 说明:说明:通过通过操作操作发
20、现图形性质发现图形性质,启发学生由特殊到一启发学生由特殊到一般,通过合情推理推测出切线长定理的结论。般,通过合情推理推测出切线长定理的结论。教材的做法教材的做法证明结论正确证明结论正确 说明说明:通过探索和了解此结论的证明,通过探索和了解此结论的证明,帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。由此可见,合情推理与演绎推理是相辅相成由此可见,合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式,都是研究图形性质的有效的两种推理形式,都是研究图形性质的有效工具。工具。2.2关于关于“四能四能”的理解的理解o解决老师提出的问题、别人提出的问题固然重要;能够发现新解决老师提出的
21、问题、别人提出的问题固然重要;能够发现新问题,提出新问题更加重要问题,提出新问题更加重要-创新性人才的基本要求创新性人才的基本要求o“发现问题发现问题”,是经过多方面、多角度的数学思维,从表面上,是经过多方面、多角度的数学思维,从表面上看来没有关系的一些现象中找到数量或空间方面的某些联系,看来没有关系的一些现象中找到数量或空间方面的某些联系,或者找到数量或空间方面的某些矛盾,并把这些联系或者矛盾或者找到数量或空间方面的某些矛盾,并把这些联系或者矛盾提炼出来。提炼出来。o“提出问题提出问题”,是在已经发现问题基础上,把找到的联系或者,是在已经发现问题基础上,把找到的联系或者矛盾用数学语言、数学符
22、号集中地以矛盾用数学语言、数学符号集中地以“问题问题”的形态表述出来。的形态表述出来。o分析问题和解决问题分析问题和解决问题-“已知已知”和和“未知未知”都是清楚的都是清楚的,是,是利用已有的概念、性质、定理、公式、模型,采用恰当的思路利用已有的概念、性质、定理、公式、模型,采用恰当的思路和方法得到问题的答案。和方法得到问题的答案。o发现问题和提出问题发现问题和提出问题-“已知已知”和和“未知未知”都是不清楚的都是不清楚的,培养学生的创新意识和创新精神,创新往往始于问题。培养学生的创新意识和创新精神,创新往往始于问题。2.3问题解决问题解决应用题应用题o传统的应用题有题型传统的应用题有题型o应
23、用题重在分析解决问题应用题重在分析解决问题o应用题往往是应用题往往是“烧中段烧中段”o应用题的解往往是确定的唯一的应用题的解往往是确定的唯一的标准标准所提到的所提到的“问题问题”不限于纯粹的数学题,不限于纯粹的数学题,特别是不同于那些仅仅通过特别是不同于那些仅仅通过“识别题,回忆解法,模识别题,回忆解法,模仿例题仿例题”等非思维性活动就能解决的等非思维性活动就能解决的“题题”。这里所。这里所说的问题既可以是纯粹的数学题,也可以是以非数学说的问题既可以是纯粹的数学题,也可以是以非数学形式呈现的问题,但无论什么类型的问题,其核心都形式呈现的问题,但无论什么类型的问题,其核心都是需要学生通过是需要学
24、生通过“观察、思考、猜测、交流、推理观察、思考、猜测、交流、推理”等有思维成分的活动才能够解决的。等有思维成分的活动才能够解决的。课标解读课标解读P181P181三、问题解决如何落实三、问题解决如何落实创设适当的情境(见案例八上、八下)创设适当的情境(见案例八上、八下)采用探究式的教学方法采用探究式的教学方法-教给探索的方法教给探索的方法关注问题的特征关注问题的特征o不是数学习题不是数学习题专门为复习与训练。专门为复习与训练。o不是依靠记忆题型和套用程式可解决的问题。不是依靠记忆题型和套用程式可解决的问题。o有较高思维含量,具有普遍性,典型性,规律性和新颖性。有较高思维含量,具有普遍性,典型性
25、,规律性和新颖性。o与生活、生产、实际相联系与生活、生产、实际相联系。3.1发现和提出问题的落实发现和提出问题的落实培养从数学角度出发的问题意识培养从数学角度出发的问题意识培养学生提出问题的能力培养学生提出问题的能力,可采取以下途径可采取以下途径:1 1、对概念提出问题。、对概念提出问题。弄清概念是学生学好数学的基础和前弄清概念是学生学好数学的基础和前提提,教学中教师应让学生从自己的角度结合对概念的理解教学中教师应让学生从自己的角度结合对概念的理解,提出提出一些问题一些问题,加深对概念的理解和掌握。加深对概念的理解和掌握。2 2、通过类比、通过类比,联想提出问题。联想提出问题。当几个不同对象在
26、某些方面当几个不同对象在某些方面有类同之处时有类同之处时,可引导学生合理地联想其他方面类同之处可引导学生合理地联想其他方面类同之处,进行进行猜想、提问。猜想、提问。3 3、通过一般化或特殊化、通过一般化或特殊化,提出问题。提出问题。在一般结论中包含着在一般结论中包含着特殊的结论特殊的结论,而在特殊的结论中往往又孕育着一般的结论。在数而在特殊的结论中往往又孕育着一般的结论。在数学教学中学教学中,教师要善于捕捉特殊与一般的辩证关系教师要善于捕捉特殊与一般的辩证关系,引导学生从引导学生从中提出问题中提出问题,然后深入探究得出新的结论。然后深入探究得出新的结论。广西梧州师范高等专科学校学报广西梧州师范
27、高等专科学校学报 20052005。6 6 欧志武欧志武数学数学“问题解决问题解决”教学策略初探教学策略初探 4 4、对解法提出问题。、对解法提出问题。解题是学习数学的一个重要方面解题是学习数学的一个重要方面,但但单纯的做题单纯的做题,既不思考既不思考,也不提问也不提问,效果会不理想。在解题中引效果会不理想。在解题中引导学生进行反思导学生进行反思,就解法本身提出问题就解法本身提出问题,不但能够提高学生的解不但能够提高学生的解题能力题能力,而且可以起到优化思维的作用。而且可以起到优化思维的作用。5 5、设计开放性题型、设计开放性题型,引导学生提出问题。引导学生提出问题。结合教学内容设结合教学内容
28、设计一些开放性的题型计一些开放性的题型,引导学生提问和探究引导学生提问和探究,有利于培养他们的有利于培养他们的发散思维能力。如只给题目的一些条件发散思维能力。如只给题目的一些条件,可得出什么结论可得出什么结论?或只或只给结论给结论,使结论成立的条件是哪些使结论成立的条件是哪些?或对已给条件作出某种增删或对已给条件作出某种增删,结论有什么变化结论有什么变化,改变结论改变结论,条件有什么变化条件有什么变化?等等。等等。3.2解决问题的策略、方法和途径的多样性解决问题的策略、方法和途径的多样性教学上,鼓励学生思考与交流。教学上,鼓励学生思考与交流。关注问题解决的过程。关注问题解决的过程。关注问题解决
29、的评价与反思。关注问题解决的评价与反思。策略、方法、途径的多样性。策略、方法、途径的多样性。方程、不等式、函数、算术、列表、图象。方程、不等式、函数、算术、列表、图象。案例:案例:20112011年的中考题。年的中考题。基本策略基本策略-义务教育义务教育算术算术估算估算反例反例方程方程枚举枚举旋转旋转不等式不等式特殊点特殊点函数函数列表列表统计统计图象图象1.通过制表,分类组织和分析数据。通过制表,分类组织和分析数据。2.通过试误,修正,接近问题的解决。通过试误,修正,接近问题的解决。3.构造、寻找和使用一个模型。构造、寻找和使用一个模型。4.画一个简图帮助解答。画一个简图帮助解答。5.解决一
30、个或几个相关的简单问题。解决一个或几个相关的简单问题。6.寻找一个反例。寻找一个反例。关于关于“基本策略基本策略”汪文贤汪文贤:7.估计和猜测答案。估计和猜测答案。8.通过尝试通过尝试错误错误修正,逼近问题。修正,逼近问题。9.通过数形结合或转换。通过数形结合或转换。10.进行比较和类比。进行比较和类比。11.考虑问题的逆否命题。考虑问题的逆否命题。12.排除不可能的选择。排除不可能的选择。13.试着用多种方法解决问题。试着用多种方法解决问题。14.对问题作推广研究。对问题作推广研究。1.枚举法;枚举法;2.模式识别;模式识别;3.问题转化;问题转化;4.中途点法;中途点法;5.以退求进;以退
31、求进;6.推进到一般;推进到一般;7.从整体看问题;从整体看问题;8.正难则反正难则反戴再平戴再平数学习题的解题策略数学习题的解题策略四、积累解决问题的经验四、积累解决问题的经验4.1丰富生活体验丰富生活体验案例案例打折促销打折促销4.2学会审题学会审题耐心、静心读完题耐心、静心读完题已知、未知。已知、未知。数量关系数量关系表征。表征。等量关系等量关系用不同的方式表示同一个量。用不同的方式表示同一个量。王文森:王文森:相遇问题相遇问题中的审题中的审题关健词关健词案例案例1她需要什么的帮助?她需要什么的帮助?有这样一道题目:有这样一道题目:XX牌牌52型拖拉机,一天耕地型拖拉机,一天耕地150公
32、亩,公亩,问问12天耕地多少公亩?天耕地多少公亩?一位学生是这样解的:一位学生是这样解的:5215012=93600。(会乘法计算,不理解乘法的意义)会乘法计算,不理解乘法的意义)因为是新接的四年级班,对孩子不熟悉,所以老师就找因为是新接的四年级班,对孩子不熟悉,所以老师就找她问话:她问话:“告诉我,你为什么这么列式?告诉我,你为什么这么列式?”“老师,我错了老师,我错了”。“好的,告诉我,你认为正确的该怎么列式?好的,告诉我,你认为正确的该怎么列式?”“除。除。”“怎么除?怎么除?”“大的除以小的。大的除以小的。”“为什么是除呢?为什么是除呢?”“老师,我又错了。老师,我又错了。”“你说,对
33、的该怎样做呢?你说,对的该怎样做呢?”“应该把它们加起来。应该把它们加起来。”看来,这位学生是在瞎猜,只要老师重复问一看来,这位学生是在瞎猜,只要老师重复问一句,她就习惯性地说自己错了,接着拿另一种计算句,她就习惯性地说自己错了,接着拿另一种计算方法来搪塞。显然,她没有学会分析,她知道加、方法来搪塞。显然,她没有学会分析,她知道加、减、乘、除肯定有一种是适合这道题目的,这也是减、乘、除肯定有一种是适合这道题目的,这也是在许多数学学习困难的学生中常见的现象。在许多数学学习困难的学生中常见的现象。于是,老师又对她说:于是,老师又对她说:“我们换一道题目,比如你每天吃两个大饼,我们换一道题目,比如你
34、每天吃两个大饼,5天吃几个大饼?天吃几个大饼?”老师认为这道题她应该会做,因为其结构与前老师认为这道题她应该会做,因为其结构与前面的题目一样,都是每份数、份数、与总数的关系,面的题目一样,都是每份数、份数、与总数的关系,引导学生迁移一下就可以了。引导学生迁移一下就可以了。“老师,我早上不吃大饼的。老师,我早上不吃大饼的。”“那你吃什么?那你吃什么?”“我经常吃粽子我经常吃粽子”。“好,那你每天吃好,那你每天吃2个粽子,个粽子,5天吃几个粽子?天吃几个粽子?”“老师,我一天根本吃不下两个粽子。老师,我一天根本吃不下两个粽子。”“那你能吃几个粽子?那你能吃几个粽子?”“吃半个就可以了。吃半个就可以
35、了。”“好,那你每天吃半个(小数乘法没学)粽子,好,那你每天吃半个(小数乘法没学)粽子,5天吃几个粽子?天吃几个粽子?”“两个半。两个半。”“怎么算出来的怎么算出来的?”“2天一个,天一个,5天两个半。天两个半。”这位学生的问题在哪里这位学生的问题在哪里?-俞正强:不让一个学生落后俞正强:不让一个学生落后从四个数学准备性从四个数学准备性学习案例谈学生群体学习质量的提高,人民教育,学习案例谈学生群体学习质量的提高,人民教育,20072007,7 74.3教给学生分析应用题的方法教给学生分析应用题的方法o列表法列表法o图象法图象法o分析法分析法o数量关系法数量关系法案例:案例:怎样分析解决问题怎样
36、分析解决问题4.4一题多解并不难。一题多解并不难。案例案例多个方程多个方程4.5引导学生自编应用题。引导学生自编应用题。案例案例小学小学五、让解决问题融于平时课堂五、让解决问题融于平时课堂5.1少解习题少解习题多做问题多做问题教好第一次教好第一次喜新厌旧喜新厌旧5.2充分地发展数学思想充分地发展数学思想重点重点:模型思想模型思想代数:代数式、方程、不等式、函数代数:代数式、方程、不等式、函数几何:基本图形几何:基本图形统计:池塘中的鱼统计:池塘中的鱼案例:案例:统计的教学统计的教学、中考题中考题5.3让课堂充满问题解决让课堂充满问题解决问题意识问题意识以问题解决的方式组织教学以问题解决的方式组
37、织教学 案例:案例:巨人的教室巨人的教室 平均数平均数勾股定理勾股定理5.4解决问题的主要方式解决问题的主要方式类比类比模仿模仿-多题一解多题一解开普勒开普勒:我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何中它应该是最不容忽师,它能揭示自然界的秘密,在几何中它应该是最不容忽视的。视的。类比:发现具有性质类比:发现具有性质ABC的事件都具有性质的事件都具有性质D,设想所有,设想所有具有性质具有性质ABC的事件都具有性质的事件都具有性质D。类比:由两个对象的某些相同或相似的性质,推断它们在类比:由两个对象的某些相同或相似
38、的性质,推断它们在 其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。案例:案例:糖水加糖变甜了糖水加糖变甜了“糖水加糖糖水加糖变变甜了(糖水未甜了(糖水未饱饱和)和)”的情境可提的情境可提炼炼出一个数学命出一个数学命题题:真分数不等式真分数不等式ba0,m0。下述情景又能提下述情景又能提炼炼出一个什么数学命出一个什么数学命题题呢?呢?(1)将)将3小杯小杯浓浓度相同的糖水混合成一大杯后,度相同的糖水混合成一大杯后,浓浓度度还还相同。相同。(2)将几杯)将几杯浓浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后,大杯糖水的度不尽相同的糖水混合成一大杯后,大杯糖水的浓浓度一定
39、度一定比淡的比淡的浓浓而又比而又比浓浓的淡。的淡。(3)取)取浓浓度不等的两杯糖水,它度不等的两杯糖水,它们们有一个平均有一个平均浓浓度,合在一起后又有一度,合在一起后又有一个个浓浓度,度,这这两个两个浓浓度哪个大呢?度哪个大呢?(4)有)有4杯杯浓浓度不等的糖水度不等的糖水a,b,c,d,若若a比比b浓浓,c比比d浓浓,那么,那么a与与c混合是混合是不是比不是比b与与d混合混合浓浓?aba+mb+m请阅读请阅读下面的事下面的事实实:某校高中一年:某校高中一年级级有两个班,教有两个班,教导处导处工作人工作人员统计员统计期末数学考期末数学考试试成成绩时绩时,计计算出每一算出每一个班中男生及格率都
40、比女生的及格率高(个班中男生及格率都比女生的及格率高(计计算没有算没有错错误误),于是得出全年),于是得出全年级级男生及格率比女生及格率高的男生及格率比女生及格率高的结论结论。校。校长长听完他的听完他的汇报汇报后,根据同后,根据同样样的成的成绩绩表却得表却得出全年出全年级级女生及格率比男生及格率高的相反女生及格率比男生及格率高的相反结论结论。事。事实证实证明校明校长长是是对对,工作人,工作人员员感到感到费费解。解。请请通通过过数学方法数学方法说说服工作人服工作人员员。案例:女生及格率问题案例:女生及格率问题方法方法1:举举反例。反例。班班级级甲甲班班乙乙班班男女人数男女人数男男25人人女女30
41、人人男男29人人女女24人人及格人数及格人数23人人27人人17人人14人人及格率及格率92%90%58.6%58.3%男生及格率男生及格率=100%100%=女生及格率。女生及格率。23+1725+2927+1430+24甲班有男生甲班有男生a1人,及格人,及格b1人,女生有人,女生有c1人,及格人,及格d1人;人;乙班有男生乙班有男生a2人,及格人,及格b2人,女生有人,女生有c2人,及格人,及格d2人。人。每班的及格率每班的及格率,.全年全年级级的男女生及格率分的男女生及格率分别为别为,.工作人工作人员员的推理是的推理是,方法方法2:5.4解决问题的主要方式解决问题的主要方式类比类比模仿
42、模仿-多题一解多题一解大类比:大类比:代数式类比数代数式类比数分式类比分数分式类比分数不等式类比方程不等式类比方程四边形类比三角形四边形类比三角形5.4解决问题的主要方式解决问题的主要方式归纳归纳找规律找规律归纳:归纳:在一个集合中,如果观察到的每一个元素都在一个集合中,如果观察到的每一个元素都具有某一个性质,则猜想这个集合中的所有具有某一个性质,则猜想这个集合中的所有元素都具有这个性质。元素都具有这个性质。高斯高斯:用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。:用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。(哥德巴赫猜想、费尔玛大定理)(哥德巴赫猜想、费尔玛大定理)怎样得到公式怎样得到公式 a a2 2 b b2
43、 2=(a-b)(a+b)=(a-b)(a+b)首先进行化简,令首先进行化简,令 b=1b=1。变化。变化 a a 可以得到:可以得到:2 22 2 1=4-1=3 1=4-1=3 3 32 2 1=9-1=8 1=9-1=8 4 42 2 1=16-1=15 1=16-1=15 5 52 2 1=25-1=24 1=25-1=24 6 62 2 1=36-1=35 1=36-1=35 因为因为3=13=13,8=23,8=24,15=34,15=35,24=45,24=46,35=56,35=57,7,可以想到可以想到 a a2 21=(a-1)(a+1)1=(a-1)(a+1),然后考虑一
44、般的,然后考虑一般的b b。归纳教学的例子:尝试归纳教学的例子:尝试5.4解决问题的主要方式解决问题的主要方式从特殊,简单开始从特殊,简单开始例例如图,已知如图,已知RtABC,C=90,问是否存在这样的直,问是否存在这样的直线,使得它同时平分三角形的线,使得它同时平分三角形的周长和面积?周长和面积?6ACB8105.4解决问题的主要方式解决问题的主要方式正难则反正难则反例例设有甲、乙、丙设有甲、乙、丙3个小组,现对这个小组,现对这3组人员进组人员进行调整。第一次丙组不动,甲、乙两组中的一组调出行调整。第一次丙组不动,甲、乙两组中的一组调出7人给另一组;第二次乙组不动,甲、丙两组中的一人给另一
45、组;第二次乙组不动,甲、丙两组中的一组调出组调出7人给另一组;第三次甲组不动,乙、丙两组人给另一组;第三次甲组不动,乙、丙两组中的一组调出中的一组调出7人给另一组。经人给另一组。经3次调整后,甲组有次调整后,甲组有5人,乙组有人,乙组有13人,丙组有人,丙组有6人。问甲、乙、丙各组原人。问甲、乙、丙各组原来有多少人?来有多少人?5.4解决问题的真谛解决问题的真谛o怎样解题表怎样解题表(波利亚波利亚)弄清问题弄清问题第一,第一,你必须你必须弄清问弄清问题题未知是什么未知是什么?已知是什么已知是什么?条件是什么条件是什么?满足条件是否可能满足条件是否可能?要确定未知,条件是否充分要确定未知,条件是
46、否充分?或者它是否不充分或者它是否不充分?或者是多余的或者是多余的?或者是矛盾的或者是矛盾的?画张图,引入适当的符号画张图,引入适当的符号把条件的各个部分分开你能否把它们写下来把条件的各个部分分开你能否把它们写下来?拟定计划拟定计划第二,第二,找出已知数找出已知数与未知数之与未知数之间的联系间的联系.如果找不出如果找不出直接的联系直接的联系,你可能不你可能不得不考虑辅得不考虑辅助问题你助问题你应该最终得应该最终得出一个求解出一个求解的计划的计划你以前见过它吗你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍你是否见过相同的问题而形式稍有不同有不同?你是否知道与此有关的问题你是否知道与此有关的问题?你
47、是否知道一个可能你是否知道一个可能用得上的定理用得上的定理?看着未知数,试想出一个具有相同未知数或相似看着未知数,试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题未知数的熟悉的问题这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题你能不能利用它问题你能不能利用它?你能利用它的结果吗你能利用它的结果吗?你你能利用它的方法吗能利用它的方法吗?为了能利用它,你是否应该引为了能利用它,你是否应该引入某些辅助元素入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方你能不能用不同的方法重新叙述它法重新叙述它?回到定义去回到定义去拟定计划
48、第二,第二,找出已知找出已知数与未知数与未知数之间的数之间的联系联系.如果如果找不出直找不出直接的联系接的联系,你可能不你可能不得不考虑得不考虑辅助问题辅助问题.你应该最你应该最终得出一终得出一个求解的个求解的计划计划如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题你能不能想出一个更容易着手的有关问题关的问题你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题一个更普遍的问题?一个更特殊的问题一个更特殊的问题?一个类比的问题一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分这样对于未仅仅
49、保持条件的一部分而舍去其余部分这样对于未知数能确定到什么程度知数能确定到什么程度?它会怎样变化它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想你能不能想出适合于确定未知数的其他数据出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话,你能如果需要的话,你能不能改变未知数或数据,或者二者都改变,以使新未不能改变未知数或数据,或者二者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?实现计划实现计划回顾回顾第三,第三,实行你的实行你的计划计划实现你的求解计划,检验每一步骤实现你的求解计划,检验每一步骤你能否清楚地看出这一步骤是正确的你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的你能否证明这一步骤是正确的?第四,第四,验算所得验算所得到的解到的解你能否检验这个论证你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其他的问题你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?
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