非线性物理倍周期分岔到混沌阵发性混沌.pptx
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1、 混沌现象是一种普遍存在的复杂的运动形式。是确定论系统所表现的内在随机行为的总称,其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用,而不在于大量“分子”的无规则运动。蝴蝴蝶蝶效效应应的的姊姊妹妹效效应应很很多多,如如“蚁蚁穴穴效效应应”、“蹄蹄钉钉效效应应”等等等等,这这些些效效应应都都是是混沌现象的例子。混沌现象的例子。“千里之堤,溃于蚁穴千里之堤,溃于蚁穴”“蚁穴效应蚁穴效应”控控制制论论的的创创立立者者维维纳纳曾曾引引用用一一首首民民摇摇对对混混沌沌现现象象作作了了生生动动描描述述:丢丢失失一一个个钉钉子子,坏坏了了一一只只蹄蹄铁铁;坏坏了了一一只只蹄蹄铁铁,折折了了一一匹匹战战马马;折折了了一一
2、匹匹战战马马,伤伤了了一一位位骑骑士士;伤伤了一位骑士,输了一场战斗;输了一场战斗,亡了一个帝国。了一位骑士,输了一场战斗;输了一场战斗,亡了一个帝国。“蹄钉效应蹄钉效应”第1页/共24页1平方映射的倍周期分岔道路2费根鲍姆常数3杜芬方程的倍周期分岔第一节 由倍周期分岔走向混沌 第2页/共24页1.倍周期分岔道路 对对平平方方映映射射的的计计算算表表明明,随随着着参参数数的的增增长长,平平方方映映射射发发生生一一系系列列的的倍倍周周期期分分岔岔。但但倍倍周周期期分分岔岔在在一一临临界界点点c=3.5699时时终终止止。此此后后,每每次次迭迭代代得得到到的的值值是随机地出现的。是随机地出现的。=
3、3.7时时,每每次次迭迭代代计计算算得得到到的的 xn 值值既既不不趋趋向向于于零零或或稳稳定定值值,也也不不是是重重复复,而而是是随随机机地地出出现现。随随迭迭代代计计算算将将无无限限地地延延续续下下去去,迭迭代代值值偶偶尔尔出出现现先先前前得得到到过过某某个个迭迭代代值值点点附附近近,但但并并没没有有准准确确相相同同,于于是是在在继继续续迭迭代代计计算算中中又又很很快快地地分分离离开开来来了了,说说明明系系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。临界点以上的迭代计算 第3页/共24页平方映射的分岔图平方映射的分岔图平方映射的平方映射的分岔
4、分岔序列:序列:分分岔岔是是在在=1=1处处开开始始的的,从从这这里里迭迭代代由由零零值值进进入入到到单单周周期期运运动动,出出现现一一次次霍霍夫夫分分岔岔;随随后后在在 3处处开开始始了了倍倍周周期期分岔:分岔:3.000 3.4495,二二周周期期循循环环;3.4496 3.5441,四四周周期期循循环环;3.5441 3.5644,八八周周期期循循环环;3.5644 3.56993.56443.56883.54413.56443.49953.54413 3.49951 31m m2费根鲍姆常数第7页/共24页 此此外外,他他发发现现2n周周期期分分岔岔的的超超稳稳定定点点之之间间的的距距
5、离离dn 之之比比也也趋趋于于一一个个常常数数,称为费根鲍姆第二常数。称为费根鲍姆第二常数。费根鲍姆常数 2费根鲍姆常数 设设n n为为第第n 次次分分岔岔的的值值,则则相相继继两两次次分分岔岔的的间间隔隔之之比比趋趋于于一一个个常常数数,被被称称为为费费根鲍姆第一常数。根鲍姆第一常数。第8页/共24页研研究究发发现现,对对于于所所有有在在0,1区区间间内内的的单单峰峰光光滑滑映映射射,如如正正弦弦映映射射、圆圆与与椭椭圆圆映映射射等等,都都可可计计算算得得同同样样常常数数。而而且且许许多多包包含含耗耗散散的的非非线线性性系系统统,只只要要发发生生倍倍周周期期分分岔岔也也会有同样的常数。会有同
6、样的常数。两两个个费费根根鲍鲍姆姆常常数数 d d 与与 a a 都都反反映映了了非非线线性性系系统统沿沿倍倍周周期期分分岔岔系系列列通通向向混混沌沌过过程程所所具有的某种普适特性。可见费根鲍姆常数具有普遍意义。具有的某种普适特性。可见费根鲍姆常数具有普遍意义。费根鲍姆常数的意义 2费根鲍姆常数大大自自然然中中存存在在一一些些普普适适常常数数,例例如如长长度度与与直直径径之之比比的的圆圆周周率率,反反映映物物理理量量随随时时间间衰衰变变的的自自然然对对数数e,反反映映物物质质微微观观量量度度的的普普朗朗克克常常数数h,真真空空中中光光速速c等等,但但普普适适常常数数为为数不多,数不多,它们代表
7、了大自然运动所遵循的某些规律它们代表了大自然运动所遵循的某些规律。费费根根鲍鲍姆姆常常数数的的发发现现说说明明在在对对自自然然规规律律的的认认识识上上又又前前进进一一步步,它它所所包包含含的的意意义义还还有待进一步去发掘。有待进一步去发掘。第9页/共24页杜芬方程的倍周期分岔杜芬方程的倍周期分岔 倍倍周周期期分分岔岔不不仅仅在在平平方方映映射射中中存存在在,利利布布沙沙伯伯的的液液氦氦证证明明,在在真真实实的的物物理理学学系系统统中中,如如LCR振振荡荡、激激光光振振荡荡等等许许多多系系统统中中都都存存在在,这这里里分分析析一一下下受受驱驱杜杜芬芬方方程程中中的分岔现象。一个软弹簧系统杜芬方程
8、可以写成:的分岔现象。一个软弹簧系统杜芬方程可以写成:曾曾经经分分析析过过受受驱驱杜杜芬芬方方程程的的幅幅频频特特性性是是倾倾倒倒的的。并并且且在在 nw nw 时时有有个个多多值值共共振振区区。它它的倍周期分岔与混沌也发生在这里。的倍周期分岔与混沌也发生在这里。3杜芬方程的倍周期分岔第10页/共24页杜芬方程:杜芬方程:设设=0.4,=1,=4,F=0.115,从小到大改变驱动频率,从小到大改变驱动频率n n。计计算算表表明明,在在n n 0.8时时,杜杜芬芬方方程程的的解解是是反反对对称称的的极极限限环环,极极限限环环呈椭圆形状;呈椭圆形状;当当n n 0.8时时,极极限限环环的的反反对对
9、称称性性虽虽然然仍仍存存在在,但但椭椭圆圆形形状状已已明明显显变变形。形。当当到到达达n n 0.535处处时时出出现现对对称称性性破破缺缺,极极限限环环分分裂裂为为两两个个周周期期 1 的的不对称极限环,这两个不对称的极限环互为反演。不对称极限环,这两个不对称的极限环互为反演。在在n n 0.53杜杜芬芬方方程程的的解解开开始始倍倍周周期期分分岔岔。由由于于两两个个吸吸引引子子在在n n 0.53保保持持互互为为反反演演,可可以以在在观观察察n n 0.53时时的的分分岔岔特特性性可可以以只只考考虑虑其其中一个极限环。中一个极限环。杜芬方程的倍周期分岔杜芬方程的倍周期分岔3杜芬方程的倍周期分
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- 非线性 物理 周期 分岔 混沌 阵发性
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