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1、离散数学离散概率离散数学离散概率1现在学习的是第1页,共20页第第1212章章 离散概率离散概率12.1随机事件与概率、事件的运算随机事件与概率、事件的运算12.2条件概率与独立性条件概率与独立性12.3离散型随机变量离散型随机变量12.4概率母函数概率母函数现在学习的是第2页,共20页12.1 随机事件与概率、事件的运算随机事件与概率、事件的运算12.1.1随机事件与概率随机事件与概率样本空间与样本点样本空间与样本点,离散样本空间离散样本空间基本事件基本事件,必然事件必然事件,不可能事件不可能事件12.1.2事件的运算事件的运算和事件和事件,积事件积事件,差事件差事件,逆事件逆事件,互不相容
2、互不相容加法公式与若当公式加法公式与若当公式现在学习的是第3页,共20页随机试验与随机事件随机试验与随机事件 例例1掷硬币试验掷硬币试验例例2摸小球试验摸小球试验.设袋中有设袋中有10个相同的小球个相同的小球,分别编号分别编号0,1,9,从中任取一个从中任取一个.随机试验随机试验:可以在相同条件下重复进行的试验可以在相同条件下重复进行的试验样本点样本点:随机试验的可能结果随机试验的可能结果样本空间样本空间:样本点的全体样本点的全体,通常记作通常记作.离散样本空间离散样本空间:只有有穷个或可数无穷个样本点的样本空间只有有穷个或可数无穷个样本点的样本空间随机事件随机事件(事件事件):样本空间的子集
3、样本空间的子集事件事件A发生当且仅当随机试验的结果发生当且仅当随机试验的结果 A现在学习的是第4页,共20页随机事件的概率随机事件的概率基本事件基本事件:只含一个样本点的事件只含一个样本点的事件必然事件必然事件:必然发生的事件必然发生的事件,即即 本身本身不可能事件不可能事件:不可能发生的事件不可能发生的事件,即空集即空集定义定义12.1设设 是离散样本空间是离散样本空间,实函数实函数p:R满足条件满足条件:(1),0p()1,(2)称称p是是 上的上的概率概率,p()是样本点是样本点 的概率的概率.事件事件A的概率的概率规定为规定为现在学习的是第5页,共20页实例实例例例1(续续)掷硬币掷硬
4、币.样本点样本点:0(正面向上正面向上),1(背面向上背面向上).=0,1,p(0)=p(1)=0.5.例例2(续续)摸小球摸小球.样本点样本点:i(摸到编号摸到编号i的小球的小球),i=0,1,9,=i|i=0,1,9,p(i)=0.1,i=0,1,9.记记A:摸到编号不超过摸到编号不超过5的小球的小球,B:摸到编号为偶数的小球摸到编号为偶数的小球,C:摸到编号小于摸到编号小于10的小球的小球,D:摸到编号大于摸到编号大于10的小球的小球,A=i|i=0,1,5,P(A)=0.6.B=i|i=0,2,4,6,8,P(B)=0.5.C=,必然事件必然事件,P(C)=1.D=,不可能事件不可能事
5、件,P(D)=0.现在学习的是第6页,共20页实例实例例例3考虑某网站主页在一天内被访问的次数考虑某网站主页在一天内被访问的次数,=N.设设 上的概率上的概率其中其中 0是一常数是一常数.不难验证不难验证p(i)满足条件满足条件:(1)i,0p(i)1,(2)现在学习的是第7页,共20页事件的运算事件的运算 和事件和事件A B:A B发生当且仅当发生当且仅当A发生或发生或B发生发生积事件积事件A B(AB):AB发生当且仅当发生当且仅当A与与B同时发生同时发生差事件差事件A B:A B发生当且仅当发生当且仅当A发生且发生且B不发生不发生逆事件逆事件:=A,发生当且仅当发生当且仅当A不发生不发生
6、A与与B互不相容互不相容:AB=A与与互不相容互不相容,但反之不真但反之不真现在学习的是第8页,共20页事件运算的计算公式事件运算的计算公式1加法公式加法公式 P(A B)=P(A)+P(B)P(AB).当当A与与B互不相容时互不相容时,P(A B)=P(A)+P(B).2若当公式若当公式当当A1,A2,An两两互不相容时两两互不相容时,3P()=1 P(A),现在学习的是第9页,共20页实例实例例例4从从1100中任取一个整数中任取一个整数n,求求n能被能被6或或8整除的概率整除的概率.解解记记A:n能被能被6整除整除,B:n能被能被8整除整除.所求概率为所求概率为P(A B)=P(A)+P
7、(B)P(AB)例例3(续续)求该网站主页在一天内至少被访问一次的概率求该网站主页在一天内至少被访问一次的概率.解解记记A:至少被访问一次至少被访问一次,P(A)=1 P()=1 e .现在学习的是第10页,共20页12.2条件概率与独立性条件概率与独立性 12.2.1条件概率条件概率乘法公式乘法公式 全概率公式全概率公式 12.2.2独立性独立性 12.2.3伯努利概型与二项概率公式伯努利概型与二项概率公式现在学习的是第11页,共20页条件概率的引入条件概率的引入 某班有某班有30名学生名学生,其中其中20名男生名男生,10名女生名女生,身高身高1.70米以米以上的有上的有15名名,其中其中
8、12名男生名男生,3名女生名女生.任选一名学生任选一名学生,问问:(1)该学生身高该学生身高1.70米以上的概率是多少米以上的概率是多少?(2)发现该生是男生发现该生是男生,他的身高他的身高1.70米以上的概率是多少米以上的概率是多少?答案答案 (1)15/30=0.5.(2)12/20=0.6.分析分析记记A:男生男生,B:1.7米以上米以上(1)求求P(A);(2)已知已知A发生发生,求求B发生的概率发生的概率.称作在称作在A发发生的条件下生的条件下,B 的条件概率的条件概率,记作记作P(B|A).现在学习的是第12页,共20页条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式定义定义12.2设设A,B
9、是两个随机事件且是两个随机事件且P(A)0,称称 P(B|A)=P(AB)/P(A)为在事件为在事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B的的条件概率条件概率.4乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A),其中其中P(A)0.更一般地更一般地,设设P(A1A2An 1)0,n2,则则 P(A1A2An)=P(A1A2An 1)P(An|A1A2An 1)=P(A1A2An 2)P(An 1|A1A2An 2)P(An|A1A2An 1)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An 1).现在学习的是第13页,共20页全概率公式全概率公式设样本空间设样本空间 ,如果
10、事件如果事件B1,B2,Bn两两互不相容且两两互不相容且=,则称则称B1,B2,Bn是样本空间是样本空间 的一个的一个划分划分.定理定理12.1(全概率公式全概率公式)设设B1,B2,Bn是样本空间的一个是样本空间的一个划分且划分且P(Bi)0,i=1,2,n,A是任一随机事件是任一随机事件,则则证证且且(ABi)(ABj)=(ij),故故现在学习的是第14页,共20页实例实例例例1 1某系统有某系统有5条通信线路条通信线路.据统计资料系统接收的报文据统计资料系统接收的报文来自这来自这5条线路的百分比分别为条线路的百分比分别为20%,30%,10%,15%和和25%,报文超过报文超过100个字
11、母的概率分别为个字母的概率分别为0.4,0.6,0.2,0.8和和0.9.任取一个报文任取一个报文,求其长度超过求其长度超过100个字母的概率个字母的概率.解解记记A:超过超过100个字母个字母,Bi:来自第来自第i条线路条线路,i=1,2,5.P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.1,P(B4)=0.15,P(B5)=0.25,P(A|B1)=0.4,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=0.2,P(A|B4)=0.8,P(A|B5)=0.9,由全概率公式由全概率公式 P(A)=0.20.4+0.30.6+0.10.2+0.150.8+0.250.9=0.625.现在学习
12、的是第15页,共20页实例实例例例2袋中有袋中有6个红球和个红球和4个绿球个绿球,从袋中取两次从袋中取两次,每次任取每次任取一个球一个球.有两种取法有两种取法:a.放回抽样放回抽样,b.不放回抽样不放回抽样.(1)求第一次取到红球的概率求第一次取到红球的概率.(2)求第二次取到红球的概率求第二次取到红球的概率.(3)已知第一次取到红球已知第一次取到红球,求第二次取到红球的概率求第二次取到红球的概率.解解设设A:第一次取到红球第一次取到红球,B:第二次取到红球第二次取到红球.(1)求求(2)求求(3)求求P(A)P(B)P(B|A)a.放回抽样放回抽样.P(A)=P(B)=P(B|A)=6/10
13、.b.不放回抽样不放回抽样.P(A)=6/10,P(B|A)=5/9,现在学习的是第16页,共20页独立性独立性放回抽样中放回抽样中P(B)=P(B|A),不放回抽样中不放回抽样中 P(B)P(B|A).当当P(A)0时时,P(B)=P(B|A)当且仅当当且仅当P(AB)=P(A)P(B).定义定义12.3如果如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件则称事件A和和B相互独立相互独立.例例3两战士打靶两战士打靶,已知甲的命中率为已知甲的命中率为0.9,乙的命中率为乙的命中率为0.7.两人射击同一个目标两人射击同一个目标,各打一枪各打一枪.求目标被击中的概率求目标被击中的概率.解解设设A:甲击中
14、目标甲击中目标,B:乙击中目标乙击中目标.可以假设可以假设A与与B相互独相互独立立.于是于是,P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.9+0.7 0.90.7=0.97.现在学习的是第17页,共20页独立性独立性(续续)定义定义12.4设设n个事件个事件A1,A2,An,n3.如果对任意的正整如果对任意的正整数数kn和和11i1i2ikn,则称这则称这n个事件相互独立个事件相互独立.(1)若若A与与B相互独立相互独立,则则A与与,与与B,与与都相互独立都相互独立.(2)设设A1,A2,An相互独立相互独立,则将其中的任意若干个事件则将其中的任意若干个事件换成它们的逆事件后也相互独立
15、换成它们的逆事件后也相互独立.现在学习的是第18页,共20页伯努利概型与二项概率公式伯努利概型与二项概率公式 伯努利概型伯努利概型:在相同的条件下重复进行试验在相同的条件下重复进行试验,每次试验的每次试验的结果只有两个结果只有两个:事件事件A发生或不发生发生或不发生,且各次试验是相互且各次试验是相互独立的独立的.定理定理12.2(二项概率公式二项概率公式)设在伯努利概型中设在伯努利概型中,每次试验事每次试验事件件A发生的概率为发生的概率为p(0p1),则在则在n次试验中次试验中A恰好发生恰好发生k(0kn)次的概率为次的概率为现在学习的是第19页,共20页实例实例解解(1)(2)P10(1)+P10(2)+P10(10)=1 P10(0)例例4一台工作站有一台工作站有10个终端个终端.假设每个终端的使用率为假设每个终端的使用率为且是否使用是相互独立的且是否使用是相互独立的,求求:(1)恰好有恰好有5个终端在使用的概率个终端在使用的概率.(2)至少有一个终端在使用的概率至少有一个终端在使用的概率.现在学习的是第20页,共20页
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