泰勒公式和泰勒级数.pptx
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1、3 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可导,并可以逐项求导任意次,且求导后级数的收敛半径不变.即 f(x)=x(R,R)4 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(R,R)内可积,并可逐项求积分,且积分后级数的收敛半径不变.x(R,R)即n=1(an xn)第1页/共24页注注:常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数(1)(1x1)(2)(3)(4)(5)第2页/共24页3二、麦克劳林(Maclaurin)公式三、泰勒级数一、泰勒公式的建立7.6 泰勒(Taylor)公式与泰勒级数第3页/共24页一次多项式在微分的应用中有近似计算公式:若 f(x0)存在,则在 x0点附近有f(x
2、)=f(x0)+f(x0)(xx0)f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0)需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足:1.精确度不高;2.误差不能定量的估计.希望:在x0点附近,用适当的高次多项式Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n f(x)一、泰勒公式第4页/共24页猜想2 若有相同的切线3 若弯曲方向相同近似程度越来越好 n次多项式系数的确定 1 若在x0点相交Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)y=f(x)假设 Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y=Pn(x)xoyx0第5页/共24页即有Pn(x)
3、=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n假设 Pn(k)(x0)=f(k)(x0)Pn(n)(x)=n!an Pn(x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+nan(xx0)n1Pn(x)=2a2+32a2(xx0)+n(n 1)an(xx0)n2a0=f(x0),2a2=f(x0),n!an=f(n)(x0),k=0,1,2,3,n令x=x0得a1=f(x0),a0=f(x0),a1=f(x0),第6页/共24页k=0,1,2,3,n代入Pn(x)中得Pn(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(xx0)2+(xx0)nPn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx
4、0)2+an(xx0)n称为函数 f(x)在x0处的泰勒多项式.k=0,1,2,3,n称为泰勒系数f(x)=Pn(x)+o(xx0)n.第7页/共24页其中定理1(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域UR(x0)内具有直到n+1阶连续导数,则当x取UR(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0与x之间)+Rn(x)公式(1)称为函数 f(x)在x0处的泰勒公式.(1)Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.泰勒系数k=0,1,2,n是唯一的.第8页/共24页设 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+k 证由于
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