矩阵的乘法学习.pptx
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1、高等代数高等代数面向面向2121世纪新教材世纪新教材高等代数高等代数面向面向2121世纪新教材世纪新教材矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义矩阵乘法矩阵乘法的应用的应用矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质课件导航课件导航结结 束束作作 业业小小 结结新课讲授新课讲授第1页/共24页先从一个例子开始先从一个例子开始先从一个例子开始先从一个例子开始 :第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之 内不发生
2、变化,记录近三周牛肉、羊肉、鸡内不发生变化,记录近三周牛肉、羊肉、鸡内不发生变化,记录近三周牛肉、羊肉、鸡内不发生变化,记录近三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格,得到如下价格矩阵蛋的价格,得到如下价格矩阵蛋的价格,得到如下价格矩阵蛋的价格,得到如下价格矩阵(人民币人民币人民币人民币/千克千克千克千克).).第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格:设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分设某个家庭每周对牛肉
3、、羊肉、鸡蛋的需求分设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分别是别是别是别是3 3千克、千克、千克、千克、4 4千克、千克、千克、千克、2 2千克。则需求矩阵千克。则需求矩阵千克。则需求矩阵千克。则需求矩阵B B表示为:表示为:表示为:表示为:第2页/共24页这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为:这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为:这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为:这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为:这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示:这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示:这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表
4、示:这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示:第一周:第一周:第一周:第一周:1212 3+11 3+11 4+6 4+6 2=922=92(元)(元)(元)(元)第二周:第二周:第二周:第二周:1111 3+11 3+11 4+7 4+7 2=912=91(元)(元)(元)(元)第三周:第三周:第三周:第三周:1111 3+10 3+10 4+7 4+7 2=872=87(元)(元)(元)(元)第3页/共24页 定义定义定义定义 设设设设A A=(=(a aij ij)是是是是mm n n矩阵,矩阵,矩阵,矩阵,B B=(=(b bij ij)是是是是n n p p矩阵,则矩阵,则矩阵,则矩阵
5、,则A A与与与与B B的乘积的乘积的乘积的乘积ABAB是一个是一个是一个是一个mm p p矩阵,矩阵,矩阵,矩阵,这个矩阵的第这个矩阵的第这个矩阵的第这个矩阵的第i i行第行第行第行第j j 列位置上的元素列位置上的元素列位置上的元素列位置上的元素c cij ij等于等于等于等于A A 的第的第的第的第i i行的元素与行的元素与行的元素与行的元素与B B的第的第的第的第j j列的对应元素的乘积列的对应元素的乘积列的对应元素的乘积列的对应元素的乘积的和的和的和的和.即即即即运算过程演示运算过程演示运算过程演示运算过程演示演示演示第4页/共24页由矩阵的定义可以看出由矩阵的定义可以看出由矩阵的定
6、义可以看出由矩阵的定义可以看出:两个矩阵的乘积两个矩阵的乘积两个矩阵的乘积两个矩阵的乘积ABAB亦是矩阵亦是矩阵亦是矩阵亦是矩阵,ABAB的行数等的行数等的行数等的行数等于矩阵于矩阵于矩阵于矩阵A A的行数的行数的行数的行数,ABAB的列数等于矩阵的列数等于矩阵的列数等于矩阵的列数等于矩阵B B的列的列的列的列数数数数.前行乘后列前行乘后列前行乘后列前行乘后列:乘积矩阵乘积矩阵乘积矩阵乘积矩阵ABAB中第中第中第中第i i行第行第行第行第j j列的列的列的列的元素等于元素等于元素等于元素等于A A的第的第的第的第i i行与行与行与行与B B的第的第的第的第j j列对应元素乘列对应元素乘列对应元
7、素乘列对应元素乘积之积之积之积之和和和和,简称行乘列的法则简称行乘列的法则简称行乘列的法则简称行乘列的法则。1 1.2 2.第6页/共24页想一想想一想想一想想一想:两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗?两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗?两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗?两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗?矩阵矩阵矩阵矩阵要要要要满足满足满足满足什么条件才什么条件才什么条件才什么条件才能相乘能相乘能相乘能相乘呢?呢?呢?呢?矩阵的乘法是否满足交换律呢矩阵的乘法是否满足交换律呢矩阵的乘法是否满足交换律呢矩阵的乘法是否满足交换律呢?1 1.2 2.3 3.矩阵的乘法适合消去律吗矩阵的乘法适合消去律吗矩阵
8、的乘法适合消去律吗矩阵的乘法适合消去律吗?4 4.返回返回例 1例2,例3例 4例5,例6第7页/共24页矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质:1.1.结合律结合律结合律结合律 (ABAB)C C=A A(BCBC),其中其中其中其中A A=(a aij ij)mm n n,B B=(b bij ij)n n p p,C C=(c cij ij)p p q q.2.2.数乘结合律数乘结合律数乘结合律数乘结合律 k k(ABAB)=()=(kAkA)B B=A A(kBkB),其中其中其中其中k k为任意实数为任意实数为任意实数为任意实数.A A=(a aij ij)mm s
9、 s ,B B=(b bij ij)s s n n.3.3.分配律分配律分配律分配律 (A A+B B)C C=A AC C+B BC C,其中其中其中其中A A,B B都为都为都为都为mm n n矩阵矩阵矩阵矩阵,C C=(c cij ij)n n s s.C C(A A+B B)=)=C CA A+C CB,B,其中其中其中其中C C为为为为mm n n 矩阵矩阵矩阵矩阵,A A,B B都为都为都为都为n n s s矩阵矩阵矩阵矩阵.返回返回证明证明第8页/共24页 任意给定任意给定任意给定任意给定r r个矩阵个矩阵个矩阵个矩阵A A1 1,A A2 2,A Ar r,只要前一个矩阵只要前
10、一个矩阵只要前一个矩阵只要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数的列数等于后一个矩阵的行数的列数等于后一个矩阵的行数的列数等于后一个矩阵的行数,就可以把它们依次相就可以把它们依次相就可以把它们依次相就可以把它们依次相乘乘乘乘,由于矩阵的乘法满足结合律由于矩阵的乘法满足结合律由于矩阵的乘法满足结合律由于矩阵的乘法满足结合律,在作这样的乘积时在作这样的乘积时在作这样的乘积时在作这样的乘积时,可以把因子任意结合可以把因子任意结合可以把因子任意结合可以把因子任意结合,而乘积而乘积而乘积而乘积A A1 1A A2 2A Ar r有完全确定的有完全确定的有完全确定的有完全确定的意义意义意义意义.我们再约定我
11、们再约定我们再约定我们再约定A A00=I In.n.这样这样这样这样,一个一个一个一个n n阶方阵的任意非负整数次方有意义阶方阵的任意非负整数次方有意义阶方阵的任意非负整数次方有意义阶方阵的任意非负整数次方有意义(以后要定义某些特殊方阵的负整数次方以后要定义某些特殊方阵的负整数次方以后要定义某些特殊方阵的负整数次方以后要定义某些特殊方阵的负整数次方,将会看到将会看到将会看到将会看到,并不是每个方阵都有负整数次方并不是每个方阵都有负整数次方并不是每个方阵都有负整数次方并不是每个方阵都有负整数次方).).多个矩阵的乘积多个矩阵的乘积多个矩阵的乘积多个矩阵的乘积 A Arr=AAAAA A.r r
12、个个A A特别地特别地特别地特别地,一个一个一个一个n n阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵A A的的的的r r次方次方次方次方(r(r是正整数是正整数是正整数是正整数)有意义有意义有意义有意义.第9页/共24页例例例例7 7 设设设设A A是是是是n n阶数量矩阵阶数量矩阵阶数量矩阵阶数量矩阵.即即即即B B=(=(b bij ij)是是是是n n p p矩阵矩阵矩阵矩阵,计算计算计算计算AB.AB.因此有因此有因此有因此有ABAB=kBkB.即用数量矩阵即用数量矩阵即用数量矩阵即用数量矩阵A A乘以矩阵乘以矩阵乘以矩阵乘以矩阵B B时时时时,相当于用数相当于用数相当于用数相当于用数k k乘矩乘矩乘矩
13、乘矩阵阵阵阵B B.如果如果如果如果C C 是是是是mm n n矩阵矩阵矩阵矩阵,那么类似地容易验证那么类似地容易验证那么类似地容易验证那么类似地容易验证CACA=kC.kC.即即即即C C乘以数量矩阵乘以数量矩阵乘以数量矩阵乘以数量矩阵A A时时时时,相当于用数相当于用数相当于用数相当于用数k k乘矩阵乘矩阵乘矩阵乘矩阵C C.这就是数量矩这就是数量矩这就是数量矩这就是数量矩阵有时也叫做数乘矩阵的原因阵有时也叫做数乘矩阵的原因阵有时也叫做数乘矩阵的原因阵有时也叫做数乘矩阵的原因.第10页/共24页特别地特别地特别地特别地,在在在在n n阶数量矩阵中阶数量矩阵中阶数量矩阵中阶数量矩阵中,当当当
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- 矩阵 乘法 学习
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